노를 잃어도 갈 수 있다 — 관성 추진 보트

탐구 주제

IYPT 2021 문제 1 ‘Invent Yourself’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2021 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」 (뉴턴 운동 법칙·운동량 보존·유체에서 받는 저항) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

운동량 보존, 작용·반작용(뉴턴 제3법칙), 질량 중심, 관성 추진, 항력(유체 저항), 속도 제곱 저항, 비대칭 항력, 정류(진동을 한 방향 운동으로 바꾸기), 진동 구동 이동, 조파 저항, 질량비, 과도 상태와 정상 상태

원리 살펴보기

노를 잃은 뱃사공은 정말 꼼짝없이 갇힌 걸까? 마찰 없는 얼음판 위라면 그렇다 — 바깥에서 밀어 주는 힘이 없으면 안에서 아무리 몸부림쳐도 질량 중심은 제자리다(운동량 보존). 하지만 물 위의 배는 사정이 다르다. 배 안의 추를 뒤로 홱 가속하면 그 반작용으로 선체는 앞으로 밀리고, 추를 앞으로 되돌리면 선체는 뒤로 밀린다. 선체가 물속에서 움직이는 순간 물이 선체를 되밀기 때문에, 배와 추만 놓고 보면 더 이상 고립계가 아니다 — 물이 운동량을 가져가거나 돌려줄 수 있다.

그래도 앞뒤로 미는 효과가 똑같이 상쇄되면 배는 제자리에서 몸살만 앓는다. 만약 물의 저항이 속도에 정비례한다면 한 주기 동안의 평균 힘이 0이 되어 알짜 전진은 없다. 열쇠는 비대칭이다. 물의 저항은 빠를수록 가파르게 커지므로(대략 속도의 제곱), 추를 한쪽으로는 홱 빠르게, 반대쪽으로는 스르르 천천히 움직이면, 빠른 위상에서 물에 내준 운동량을 느린 위상에서 다 돌려받지 못한다. 주기 운동이 아니라 앞뒤의 비대칭이 알짜 전진을 만든다 — 진동을 한 방향 운동으로 바꾸는 정류인 셈이다. 뾰족한 뱃머리와 뭉툭한 선미처럼 선체 모양의 비대칭으로도 같은 일을 할 수 있고, 이때 최대 속력은 진동수·추와 선체의 질량비·왕복의 비대칭 정도가 함께 정하는 최적화 문제가 된다.

이 원리는 배관·재난 현장의 진동 구동 로봇(바퀴도 다리도 없이 밀폐된 몸통째 기어간다), 캡슐형 의료 로봇(몸속에서 프로펠러 대신 내부 추의 진동으로 움직이려는 설계), 프로펠러 없는 수중 로봇(수초나 그물에 감기지 않고 물속 생물을 놀라게 하지 않는다), 공장의 진동 부품 이송기(진동만으로 나사·알약이 한 방향으로 행진한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

뚜껑 있는 플라스틱 밀폐용기(선체), 소형 서보모터(또는 기어모터와 크랭크)와 건전지, 추(금속 너트 묶음)와 추가 미끄러질 레일, 왕복의 빠르기와 비대칭을 조절할 마이크로컨트롤러(아두이노 등), 긴 수조(또는 아기 욕조), 스마트폰(촬영)과 무료 영상 추적 프로그램(Tracker), 전자저울, 자, 방수 테이프.

변인

독립변인은 추를 왕복시키는 진동수이다(심화로는 왕복의 시간 비대칭비 — 빠른 되돌림 시간과 느린 밀기 시간의 비 — 를 독립변인으로 바꿔 같은 실험을 되풀이한다). 종속변인은 출발 직후의 과도 구간이 지난 뒤의 평균 속력이다. 통제변인은 선체와 추의 질량(질량비), 스트로크 길이, 선체의 모양과 물에 잠긴 깊이, 잔물결이 가라앉은 뒤 시작하는 수조의 물 상태이다.

실험 순서

1. 밀폐용기 안 레일에 추를 얹고 모터로 왕복하게 만든 뒤 뚜껑을 닫아, 배가 물과는 오직 단단한 선체로만 닿게 한다. 전자저울로 선체 전체와 추의 질량을 기록한다.

2. 잔잔한 수조에 배를 띄우고, 추를 앞뒤 같은 빠르기(대칭)로 왕복시켜 배가 제자리 진동만 하는지 먼저 확인한다 — 비대칭의 효과를 가려낼 기준 조건이다. 다만 앞뒤로 비대칭한 선체라면 대칭 왕복에서도 조금씩 나아갈 수 있으니, 그 값도 기준선으로 적어 둔다(선체 몫은 심화 ①에서 확인).

3. 왕복을 비대칭(한쪽은 홱 빠르게, 반대쪽은 스르르 천천히)으로 바꾸고, 진동수를 낮은 값부터 단계적으로 올려 가며 배의 운동을 자와 함께 촬영한다(조건마다 3회).

4. 영상 추적 프로그램으로 위치–시간 그래프를 얻어, 출발 과도 구간을 지난 뒤의 기울기에서 평균 속력을 읽는다. 이어 추의 질량·스트로크 길이·시간 비대칭비를 바꿔 반복하고, 평균 속력이 최대가 되는 조합을 찾는다.

안전 안내

물과 전기를 함께 다루는 실험이다. 건전지·모터·제어 회로는 반드시 밀폐용기 안이나 방수 봉지에 넣고, 젖은 손으로 배터리와 회로를 만지지 않는다. 리튬 배터리는 합선·침수 시 발열 위험이 있으므로 배가 침수되면 곧바로 회수해 전원을 분리한다. 용기를 칼로 가공할 때 베임, 글루건 화상에 주의하고, 수조 주변 바닥의 물기로 미끄러지지 않게 정리한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

추를 흔드는 진동수를 두 배로 올리면 배의 평균 속력도 두 배가 될까? 아니면 어느 진동수부터는 선체가 일으키는 물결 때문에 오히려 손해를 볼까?

자료 정리

진동수별 평균 속력을 표로 모으고, 가로축을 진동수로 한 속력 그래프를 그린다. 위치–시간 그래프에서는 한 주기당 전진량을 읽어 진동수와 곱한 값이 평균 속력과 맞는지 교차 확인한다. 대칭 왕복 기준선을 같은 축에 함께 그려 비대칭이 만든 알짜 전진만 분리하고, 심화로는 질량비를 달리한 곡선을 겹쳐 최적 조합을 찾는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

대칭 왕복에서는 배가 제자리 진동에 가깝고, 비대칭 왕복에서는 위치–시간 그래프가 톱니를 그리며 한쪽으로 기울어 갈 것으로 예상된다. 배를 밀어 주는 것은 결국 물이다 — 빠른 위상에서 물에 내준 운동량과 느린 위상에서 돌려받는 운동량이 저항의 비선형 때문에 상쇄되지 않는 것이 알짜 전진의 정체이며, 기준선과의 비교가 그것을 눈으로 확인시켜 준다. 진동수를 올릴 때 속력이 어느 지점에서 꺾인다면 오차가 아니라 선체가 일으키는 물결(조파 저항)과 구동계의 한계가 맞물린 실제 현상일 수 있다. ‘최대 속력’은 진동수 하나가 아니라 질량비·비대칭비가 얽힌 다변수 최적화 문제다.

더 탐구하기

1. 뱃머리는 유선형으로, 선미는 뭉툭하게 만든 비대칭 선체에 일부러 ‘대칭’ 왕복을 걸어, 선체 모양만으로도 배가 전진하는지 확인해 보자(방향에 따라 다른 저항).

2. 왕복 추 대신 내부 플라이휠(회전자)을 급회전·급정지시키고 바닥에 용골(keel) 판을 붙여, 배가 방향을 틀거나 물고기처럼 나아가는지 시험해 보자.

3. 같은 장치를 마른 책상 위에 올려 마찰 위에서의 전진(진동 로봇)과 물 위에서의 전진을 비교해 보자 — 저항의 종류가 최적 진동수를 바꾸는가?

4. 배를 살짝 밀었다 놓아 물 위에서 앞뒤로 흔들리는 고유 진동수를 잰 뒤, 추의 진동수를 그 근처로 맞추면 속력이 특히 커지는지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2021 문제 16 ‘초음파 펌프’(진동이 한 방향 수송으로 정류되는 또 다른 예)와 문제 6 ‘비가역 데카르트 잠수부’ — 같은 수조·방수 처리와 영상 추적 분석법을 그대로 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] IYPT 참고문헌 킷(Reference kit) 수록 시연 영상 “IYPT 2021 №1 Invent Yourself”(유튜브 채널 ЭйНШтейн, youtu.be/4HL0pNsh9NY) — 내부 추의 왕복만으로 물 위를 나아가는 보트 시연 / 영상 검색어 “IYPT 2021 Invent Yourself”, “vibration-driven robot” / [심화] F. L. Chernous’ko, “The optimal periodic motions of a two-mass system in a resistant medium,” Journal of Applied Mathematics and Mechanics 72(2), 116–125 (2008), doi:10.1016/j.jappmathmech.2008.04.014 (저항 매질 속 두-질량계에서 평균 속력을 최대로 하는 내부 추의 최적 주기 운동을 유도) · Yu. L. Karavaev, A. A. Kilin, A. V. Klekovkin, “Experimental investigations of the controlled motion of a screwless underwater robot,” Regular and Chaotic Dynamics 21(7–8), 918–926 (2016), doi:10.1134/S1560354716070133 (매끈한 강체 선체 안의 내부 회전자만으로 헤엄치는 수중 로봇의 실험) · S. Childress, S. E. Spagnolie, T. Tokieda, “A bug on a raft: recoil locomotion in a viscous fluid,” Journal of Fluid Mechanics 669, 527–556 (2011), doi:10.1017/S002211201000515X (유체 위 뗏목이 그 위 질량의 왕복만으로 이동하는 반동 추진의 이론·수치해석). ※ 위 문헌들은 마른 마찰·점성 극한·잠긴 강체를 주로 다루며, 실제 물 위 보트처럼 속도 제곱 항력과 조파 저항이 함께 작용하는 조건에서 최대 속력을 주는 진동수·질량비·비대칭비의 조합은 이 탐구의 개방 지점이다. 아직 파일럿(실측) 전이므로 위 관계는 예상·경향으로 서술했다.