구멍 난 그릇이 시계가 된다 — 색슨 그릇

탐구 주제

IYPT 2020 문제 6 ‘Saxon Bowl’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2020 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(부력)·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (부력은 중학 「힘의 작용」, 토리첼리 정리·유출계수는 교육과정 밖 심화) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

부력, 아르키메데스 원리, 건현(여유 높이), 여유 부력, 토리첼리 정리, 유출 속도, 유량, 유출계수(discharge coefficient), 베르누이 방정식, 수두(head), 준정적 과정, 임계 조건, 되먹임, 물시계(클렙시드라), 점성, 표면장력

원리 살펴보기

바닥에 구멍이 뚫린 그릇을 물에 띄우면, 왜 곧바로 가라앉지 않고 한동안 떠 있다가 어느 순간 쑥 잠겨 버릴까? 그릇이 물에 떠 있는 것은 밀어 올리는 힘인 부력이 그릇의 무게와 균형을 이루기 때문이다(아르키메데스 원리). 이때 그릇은 일부만 잠긴 채 물 위로 테두리를 내밀고 있는데, 물 밖으로 나온 이 여유 높이를 건현이라 하고 그만큼이 아직 쓰지 않은 여유 부력이다. 그런데 바닥 구멍으로 물이 조금씩 새어 들어와 무게를 보태면 이 균형이 서서히 무너지기 시작한다.

구멍으로 들어오는 물의 빠르기는 토리첼리 정리를 따른다. 구멍을 사이에 둔 안팎 물높이의 차이(수두)가 클수록 물은 그 높이차의 제곱근에 비례해 빠르게 밀려 들어오고, 실제 유량은 여기에 구멍 넓이와 유출계수(구멍 모양에 따른 손실 보정)를 곱한 만큼이다. 문제는 여기에 되먹임이 숨어 있다는 점이다. 들어온 물이 무게를 더하면 그릇은 더 깊이 잠기지만, 안쪽 수위도 그만큼 함께 올라가 안팎 물높이의 차(수두)는 그릇 무게로 정해진 값에 거의 일정하게 유지된다 — 그래서 유입은 대체로 꾸준하고, 바로 이 수두의 일정함이 색슨 그릇을 쓸 만한 시계로 만든다. 그러다 쌓인 물의 무게가 그릇이 낼 수 있는 최대 부력을 넘어서는 순간, 남은 여유가 한꺼번에 사라지며 그릇은 급격히 가라앉는다. 이 ‘버티다가 갑자기 침몰’하는 문턱이 바로 색슨족이 시간을 재던 신호였다.

작은 구멍 하나가 흐름을 조절해 시간을 재는 이 원리는 장난감을 넘어선다. 고대 물시계(클렙시드라)는 가라앉는 그릇으로 연설·야간 경비의 시간을 쟀고, 선박의 침수·손상 복원성은 선체에 난 구멍으로 물이 차오르는 속도가 배가 기울고 가라앉기까지의 시간을 좌우하며, 저수지·수조의 배수구(오리피스) 설계는 같은 토리첼리·유출계수로 방류 유량을 계산한다. 점적 관개나 정량 주입 장치도 작은 구멍의 유량으로 물·약액의 공급 속도를 맞춘다.

실험 설계

준비물

같은 규격의 플라스틱 또는 금속 그릇 여러 개, 지름이 서로 다른 구멍을 바닥 중앙에 뚫을 드릴(또는 미리 구멍을 낸 그릇들), 캘리퍼스, 전자저울, 충분히 깊고 넓은 물통이나 수조, 스톱워치, 스마트폰(고속 촬영), 하중을 더할 동전·추, 방수 표시펜, 사포, 보안경.

변인

독립변인은 그릇 바닥에 낸 구멍의 지름(즉 구멍의 넓이)이다. 종속변인은 그릇을 물에 놓은 순간부터 완전히 가라앉을 때까지 걸린 시간이다. 통제변인은 그릇의 종류·질량·모양과 바닥 두께, 처음 놓을 때의 건현(늘 같은 방식으로 가만히 놓기), 물의 깊이(구멍 유출이 방해받지 않도록 충분히 깊게)와 온도, 그리고 물결이 없는 잔잔한 수면이다. (심화로는 구멍을 하나로 고정하고 그릇에 추를 더해 적재 하중을 이차 변인으로 둘 수 있다.)

실험 순서

1. 지름이 서로 다른 구멍을 바닥 중앙에 하나씩 낸 같은 규격의 그릇 여러 개를 준비한다(막았다 뚫는 교체식 구멍도 좋다). 구멍 지름은 캘리퍼스로, 그릇 질량은 저울로 미리 잰다.

2. 충분히 깊고 잔잔한 물 위에 그릇을 기울지 않게 가만히 내려놓고, 손을 떼는 순간 스톱워치를 누른다 — 매번 같은 초기 건현에서 정지 상태로 출발시킨다.

3. 테두리가 물 아래로 완전히 잠겨 그릇이 가라앉을 때까지의 시간을 잰다. 마지막 급격한 침몰 순간을 놓치지 않도록 스마트폰으로 함께 촬영하고, 구멍 지름마다 3회 이상 반복한다.

4. 구멍 지름을 작은 값부터 큰 값까지 바꿔 가며 같은 측정을 반복한다. 이어서 구멍은 하나로 고정하고 동전·추로 하중을 더해, 건현(여유 부력)이 줄면 가라앉는 시간이 어떻게 달라지는지 살핀다.

안전 안내

구멍을 뚫을 때는 어른의 도움을 받고 보안경을 쓰며 날카로운 모서리는 사포로 다듬는다. 깊은 물통을 쓰므로 어린 동생이 있는 곳에서는 물통을 늘 지키고, 무거운 금속 그릇을 발등에 떨어뜨리지 않게 조심한다. 스마트폰·저울 같은 전자기기는 물에서 멀리 두고 젖은 손으로 만지지 않는다. 전반적으로 위험은 낮은 편이다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

구멍의 지름을 두 배로 키우면 그릇이 가라앉기까지 걸리는 시간은 얼마나 짧아질까 — 절반쯤일까, 아니면 그보다 더 크게 줄어들까?

자료 정리

구멍 지름(또는 넓이)별 가라앉는 시간을 표로 모은 뒤, 가로축을 구멍 넓이로 하여 그래프를 그린다. 이어 가로축을 넓이의 역수(1/넓이)로 바꿔 직선이 되는지 확인하고, 로그–로그 그래프의 기울기에서 시간이 지름의 몇 제곱에 반비례하는지 지수를 읽는다. 하중을 바꾼 계열은 가로축을 건현(또는 더한 무게)으로 하여 따로 정리한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

구멍이 넓을수록 물이 빨리 들어와 그릇은 더 이른 시간에 가라앉고, 가라앉는 시간은 구멍 넓이에 대략 반비례(즉 지름의 제곱에 반비례)하는 경향을 보일 것으로 예상된다. 이는 작은 구멍 하나의 넓이가 물시계의 ‘초침’을 조절한다는 뜻으로, 유출 유량(토리첼리)과 부력의 균형이 시간이라는 측정량으로 바뀌는 지점이다. 또 촬영한 영상에서 잠김 깊이를 시간에 따라 읽어 보면, 그릇에 물이 차는 동안 안팎의 수위 차(수두)가 거의 일정하게 유지되는 만큼 잠김도 거의 고른 빠르기로 늘다가 테두리가 잠기기 직전에만 급해지는지 확인할 수 있다. 다만 실제 그릇은 물이 차는 동안 위아래로 진동(보빙)하고, 유출계수·표면장력(아주 작은 구멍에서)·점성이 얽혀 있어 ‘딱 1/넓이’보다 벗어난 관계로 나타날 수 있다. 이 진동과 유출계수는 이 탐구의 개방 지점이다.

더 탐구하기

1. 구멍은 하나로 고정하고 그릇에 추를 더해 하중을 바꾼 뒤, 건현(여유 부력)이 줄수록 가라앉는 시간이 어떻게 짧아지는지 확인해 보자.

2. 같은 지름이라도 얇은 판에 뚫은 구멍과 짧은 관(대롱)처럼 만든 구멍을 비교해, 유출계수(Cd)가 가라앉는 시간에 미치는 영향을 살펴보자.

3. 물의 온도를 바꿔(찬물·더운물) 점성과 표면장력의 변화가, 특히 아주 작은 구멍에서 시간에 영향을 주는지 관찰해 보자.

4. 고른 구멍 하나를 정확히 60초에 가라앉도록 맞춘 뒤, 실제 색슨족처럼 그 그릇으로 발표 시간을 재는 물시계를 만들어 보자.

연결 주제

IYPT 2001 문제 9 ‘병 비우기’, IYPT 2026 문제 1 ‘자가 개시 사이펀’과 같은 유체 배출 계열의 짝 탐구다. 그쪽은 물이 밖으로 나가는 유출이고 색슨 그릇은 그릇 안으로 들어오는 반대 방향 유입이지만, 셋 모두 토리첼리 정리와 유출계수를 함께 쓴다.

참고문헌

[학생] Allan Greer & Eric Kincanon, “An experiment with Saxon bowls,” The Physics Teacher 38(2), 112, 2000 (구멍 지름과 가라앉는 시간의 관계를 찾는 학교 수준 실험 — 이 탐구의 출발점) / 위키백과 ‘Torricelli’s law’(구멍 유출 속도 v≈√(2gh))·‘Water clock’(가라앉는 그릇형 물시계 클렙시드라의 역사) / 영상 검색어 “Saxon bowl IYPT”, “sinking bowl water clock”, “Torricelli’s law demonstration” / [심화] S. Jaikumar & L. Yang, “Theoretical and experimental study of motion and sinking time of Saxon bowls,” European Journal of Physics 43(2), 024001, 2022 (DOI 10.1088/1361-6404/ac4b6a; 준정적 모형과 유출계수를 넣은 수정 베르누이 방정식으로 그릇의 운동과 가라앉는 시간을 예측하고 실측과 비교) · H. X. Sim & B. Ricardo, “Understanding the oscillatory motion of Saxon bowls: An experimental and theoretical approach,” American Journal of Physics 93(6), 447–453, 2025 (DOI 10.1119/5.0096408; 그릇이 채워지며 위아래로 진동하는 효과와 초기 조건·항력계수가 침수 시간에 미치는 영향을 실험·이론으로 분석). ※ 색슨 그릇이 가라앉기 전에 보이는 상하 진동(보빙), 구멍 모양에 따른 유출계수 Cd, 아주 작은 구멍에서의 표면장력·젖음성, 물의 점성·온도 의존성, 그리고 학교 규모 장치에서 가라앉는 시간을 정밀하게 재현·정량화하는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.