2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2018 · 문제 13 · 유체역학, 물성·재료

떨어지는 모래는 저울을 속일까 — 시간의 무게

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2018 문제 13 ‘Weighing Time’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2018 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력과 무게)·「운동과 에너지」(자유 낙하) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템 — 운동량과 충격량) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(뉴턴 운동 법칙·운동량 보존) · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

무게, 겉보기 무게, 수직 항력, 질량중심, 뉴턴 운동 법칙, 운동량, 충격량, 자유 낙하, 입상체(과립) 흐름, 질량 유량, 정상 상태, 과도 상태, 측정 분해능, 응답 시간

원리 살펴보기

작동 중인 모래시계는 멈춘 모래시계보다 가벼울까, 무거울까? 공중에서 떨어지는 모래는 저울에 실리지 않으니 그만큼 가벼워질 것 같다. 그러나 같은 순간, 먼저 떨어진 모래가 아래 더미에 부딪히며 충격력을 보탠다. 정상적으로 흐르는 동안에는 떨어지기 시작하는 모래와 바닥에 닿는 모래의 양이 같아서, 낙하 중인 모래의 빠진 무게와 충돌이 보태는 힘이 거의 정확히 상쇄된다. 그래서 오랫동안 “무게는 변하지 않는다”가 퀴즈의 모범 답안이었다.

그런데 1985년 셴(Shen)과 스콧(Scott)은 이 상쇄가 완전하지 않음을 보였다. 위 칸의 모래 면은 내려가고 아래 더미는 쌓여 올라오므로, 모래 전체의 질량중심은 일정한 속도로 내려가지 못하고 조금씩 느려진다. 질량중심이 감속하면 저울은 정지 상태보다 조금 더 큰 힘으로 계를 떠받쳐야 한다 — 즉 정상 흐름 중의 모래시계는 미세하게 더 무겁다. 투인스트라(Tuinstra) 부자는 2010년 구멍 수백 개를 뚫은 원통형 모래시계와 0.01 g 저울로 이 초과를 실측했다 — 모래 1.6 kg에서 약 0.12 g, 1만분의 1 수준이었다. 한편 흐름이 시작되는 순간에는 첫 모래가 아직 바닥에 닿기 전이라 눈금이 잠깐 짧게 떨어지고(결손), 끝나는 순간에는 마지막 낙하 모래가 만드는 뾰족한 초과가 나타난다.

이 문제의 역학은 곳곳에 닿아 있다. 입상체 계량·포장 라인(곡물·분말을 저울 위로 흘리며 계량할 때 낙하 충격과 유량의 효과를 보정한다), 사일로·호퍼 설계(구멍을 지나는 입상체의 유량이 쌓인 높이와 거의 무관해 모래시계가 시계가 된다), 로켓·제트 추진(질량이 빠져나가는 계의 운동량 변화가 힘을 만든다 — 모래시계와 같은 뼈대의 역학이다), 동적 계량 기술(주행 중인 트럭·컨베이어 위 물체의 무게 측정 — 눈금과 참 무게가 달라지는 상황을 다루는 계측학)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

분해능 0.01 g의 전자저울, 시판 모래시계(1~3분용), 투명 페트병 2개와 구멍 뚫은 판(자작 모래시계용), 체로 거른 마른 모래, 스마트폰(저울 표시부 동영상 촬영), 초시계, 받침 접시.

변인

독립변인은 모래의 질량 유량이다(자작 모래시계의 구멍 지름이나 구멍 수로 바꾼다). 종속변인은 정지 상태 눈금을 기준으로 한 저울 눈금의 변화이며, 정상 흐름 구간의 평균 차이와 시작·끝 과도기의 순간 변화를 나눠 읽는다. 통제변인은 모래의 종류와 총 질량, 두 칸의 모양과 낙하 높이, 저울의 수평과 주변 진동이다.

실험 순서

  1. 모래가 다 내려간 정지 상태의 모래시계를 저울에 올리고, 눈금이 안정될 때까지 기다려 기준값을 기록한다.

  2. 저울의 응답을 먼저 확인한다 — 작은 분동(또는 클립 뭉치)을 올렸다 내리며 눈금이 따라오는 데 걸리는 시간을 재 둔다. 빠른 과도기 신호를 저울이 놓칠 수 있기 때문이다.

  3. 모래시계를 뒤집어 저울 중앙에 조심스럽게 올리고, 표시부를 스마트폰으로 촬영하며 흐름이 끝난 뒤까지 눈금 변화를 통째로 기록한다(같은 조건 3회).

  4. 영상을 재생해 시작 직후·정상 흐름 중·끝 직전 구간의 눈금을 시간별로 표에 옮기고, 기준값과의 차이를 구한다.

  5. 자작 모래시계의 구멍 조건을 바꿔 같은 측정을 반복하고, 받아낸 모래의 질량을 흐른 시간으로 나눠 질량 유량을 따로 구해 둔다.

안전 안내

⚠ 안전

유리 모래시계는 깨지기 쉬우므로 받침 위에서 다루고 떨어뜨리지 않는다. 마른 모래의 미세 먼지를 들이마시지 않도록 환기하고, 실험 뒤 손을 씻는다. 전자저울은 수평을 맞추고 최대 하중을 넘기지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

흐르는 동안 저울 눈금은 정지 상태보다 커질까, 작아질까, 그대로일까? 흐름이 시작되는 순간과 끝나는 순간에는 각각 어떤 일이 벌어질까?

자료 정리

시간에 따른 눈금 변화를 그래프로 그리고 정지 기준선을 함께 표시해, 시작 과도기·정상 흐름·끝 과도기의 세 구간으로 나눠 각 구간의 평균과 흩어짐을 표로 정리한다. 구멍 조건별로는 (정상 흐름 눈금 − 기준값)을 질량 유량의 제곱에 대해 그려 비례 경향과 견준다. 받아낸 질량을 흐른 시간으로 나눈 값은 흐름이 거의 일정할 때에만 정상 구간의 유량으로 볼 수 있다.

결과의 의미

문헌의 정밀 측정에 따르면 정상 흐름 중의 초과는 전체 무게의 1만분의 1 수준이라, 시판 모래시계와 학교 저울로는 보이지 않을 가능성이 높다. 대신 시작의 결손과 끝의 초과 같은 과도기 신호는 상대적으로 커서 잡힐 여지가 있다. 저울이 가리키는 것은 물체의 무게 자체가 아니라 저울이 계를 떠받치는 힘이며, 계 내부에서 질량중심이 가속하면 그 둘은 달라진다 — 이것이 이 문제의 핵심이다. 신호가 보이지 않았다면 문헌값과 저울의 분해능·응답 시간을 비교해 “왜 안 보였는지”를 정량적으로 말하는 것 자체가 훌륭한 결론이다.

더 탐구하기

  1. 구멍 수십~수백 개를 뚫은 판(체)으로 질량 유량을 키운 자작 모래시계를 만들어, 정상 흐름 초과가 유량에 따라 어떻게 커지는지 확인해 보자 — 투인스트라 부자가 쓴 신호 증폭 전략이다.

  2. 모래 대신 좁쌀·쇠구슬 등 알갱이가 다른 재료로 바꿔, 시작·끝 과도기 신호의 크기와 모양을 비교해 보자.

  3. 깔때기로 물줄기를 저울 위 그릇에 떨어뜨려, 연속 유체와 입상체의 눈금 변화가 어떻게 다른지 살펴보자.

  4. 위 칸의 모래 높이가 줄어도 유량이 거의 일정하게 유지되는지 받아낸 질량–시간 그래프로 확인해 보자 — 모래시계가 시계로 쓰일 수 있는 이유다.

연결 주제

같은 입상체 흐름 계열인 IYPT 2020 문제 15 ‘바닥을 문지르면 쏟아진다 — 소금·후추 통’ — 구멍을 지나는 가루 흐름의 유량 측정과 정밀 저울·영상 분석 기법을 그대로 주고받을 수 있다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Hourglass(모래시계)’ / 영상 검색어 “weight of an hourglass”, “모래시계 무게” / [심화] K. Y. Shen and B. L. Scott, “The hourglass problem,” American Journal of Physics 53(8), 787–788, 1985, DOI 10.1119/1.14321 (질량중심의 감속 때문에 정상 흐름 중 미세하게 무거워짐을 보인 고전) · F. Tuinstra and B. F. Tuinstra, “The weight of an hourglass,” Europhysics News 41(3), 25–28, 2010, DOI 10.1051/epn/2010302 (구멍 수백 개의 원통형 모래시계와 0.01 g 저울로 정상 흐름 중 초과 0.121±0.006 g을 측정 — 이론값 2ṁv와 일치) · A. Sack and T. Pöschel, “Weight of an hourglass—Theory and experiment in quantitative comparison,” American Journal of Physics 85(2), 98–107, 2017, DOI 10.1119/1.4973527 (무게 변화의 여러 단계를 시간에 따라 측정해 이론과 정량 비교) · W. P. Reid, “Weight of an hourglass,” American Journal of Physics 35(4), 351–352, 1967, DOI 10.1119/1.1974078 (초기 이론 분석). ※ 정밀 문헌은 특수 제작 모래시계와 실험실급 저울을 썼다 — 학교용 0.01 g 저울과 시판·자작 모래시계로 어느 단계까지 재현되는지, 저울의 응답 시간이 과도기 신호를 어떻게 왜곡하는지는 이 탐구의 개방 지점이다.

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