앞뒤로 밀었는데 옆으로 흔들린다 — 방위-방사 진자

탐구 주제

IYPT 2018 문제 11 ‘Azimuthal-Radial Pendulum’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2018 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(진동과 역학적 에너지 전환)·「힘의 작용」(탄성력) / 고등학교 물리학 「힘과 에너지」 / 진로선택 「역학과 에너지」(단순 조화 운동, 역학적 에너지 전환) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

단순 조화 운동, 고유 진동수, 굽힘 강성, 결합 진동, 모드 결합, 정규 모드, 매개변수 공명, 자동매개변수 공명, 2:1 내부 공명, 마티외 방정식, 맥놀이, 리사주 도형, 역학적 에너지 전환

원리 살펴보기

추를 막대와 나란한 방향으로만 당겼다 놓았는데, 흔들림이 저절로 옆 방향으로 갈아타고 잠시 뒤 원래 방향으로 되돌아온다. 비밀은 지지점이 방향에 따라 다르게 반응한다는 데 있다. 막대는 제 길이 방향으로 거의 늘어나지 않으므로, 방사 진동(막대와 나란한)에서 추는 사실상 못에 매달린 보통 진자다. 반면 막대는 옆으로 낭창낭창 휘므로, 방위 진동(막대와 수직인)에서는 지지점이 추와 함께 밀리며 박자가 느려진다. 한 진자 안에 진동수가 다른 두 그네가 숨어 있는 셈이다.

두 그네는 막대의 작은 기하학적 버릇으로 이어져 있다. 막대 끝이 옆으로 휘면 끝점은 원호를 그리며 조금 안쪽으로 끌려 들어온다(길이는 변하지 않으므로). 방위로 한 번 왕복하는 동안 이 끌림이 두 번 일어나므로, 지지점은 방사 방향으로 방위 진동수의 두 배 박자로 잘게 흔들린다. 방사 진동수가 방위 진동수의 약 두 배로 조율되면(2:1 내부 공명) 이 흔들림이 그네를 제때 밀어 주는 손이 되어, 에너지가 두 모드 사이를 주기적으로 오간다. 거꾸로 방사 진동은 계의 조건을 두 배 박자로 흔들어 절반 진동수의 방위 진동을 키운다 — 그네 위에서 몸을 두 배 박자로 굽혔다 펴는 것과 같은 매개변수 공명이다.

조건이 맞을 때만 에너지가 폭발적으로 새어 나가는 이 성질은 공학 곳곳에 나타난다. 선박의 매개변수 횡동요(파도를 만나는 박자가 옆 흔들림의 두 배가 되면 배가 갑자기 크게 구른다), 사장교 케이블의 진동(상판의 작은 진동이 2:1 조건에서 케이블을 크게 흔든다), 자동매개변수 흡진기(같은 원리로 구조물의 진동 에너지를 보조 진자로 빼돌려 없앤다), 비선형 광학의 진자 모형(빛의 주파수를 두 배로 바꾸는 2차 조화파 발생이 같은 수학을 따른다)에서다.

실험 설계

준비물

낭창낭창한 긴 막대(가는 유리섬유 막대, 낚싯대 끝대, 얇은 플라스틱 자 등), 스탠드 2개와 클램프, 실, 추(너트 여러 개), 스마트폰(동영상 촬영), 모눈 배경지, 자, 초시계.

변인

독립변인은 진자 실의 길이이다(두 고유 진동수의 비를 바꾸는 손잡이 — 추의 질량으로 잡아도 좋다). 종속변인은 방사·방위 진동의 고유 진동수와, 방사 진폭이 잦아들며 방위 진폭이 자라났다 되돌아오는 전환 주기이다. 통제변인은 막대의 재질·자유 길이·두께, 지지줄의 길이와 팽팽함, 초기 진폭, 놓는 방향이다.

실험 순서

막대 한쪽 끝을 스탠드에 수평으로 단단히 고정하고, 자유단은 위쪽에서 내린 팽팽한 줄로 처지지 않게 받친 뒤, 그 끝에 실로 추를 매단다.
추를 방사 방향으로만 작게 당겼다 놓아 10회 왕복 시간으로 방사 진동수를 재고, 방위 방향도 같은 방법으로 재어 두 진동수의 비를 구한다.
실 길이를 바꿔 가며 ②를 반복해, 방사 진동수가 방위 진동수의 두 배에 가까워지는 길이(조율점)를 찾는다.
조율점에서 방사 방향으로만 당겼다 놓고 바로 위에서 동영상을 찍어, 방위 흔들림이 자라났다가 다시 방사로 되돌아오는 전환 주기를 잰다(3회 반복).
실 길이를 조율점에서 조금씩 벗어나게 하며 같은 촬영을 반복해, 진동수 비가 2에서 멀어질수록 전환이 얼마나 약해지는지 비교한다.

안전 안내

⚠ 안전

휘었던 막대가 튕기며 추가 날아갈 수 있으므로 얼굴을 막대 끝 높이에 두지 않고, 보안경을 쓰면 좋다. 추와 실의 매듭, 클램프의 조임을 실험 전마다 확인하고, 무거운 추를 쓸 때는 스탠드 바닥을 넓게 고정해 넘어짐을 막는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

방사 방향으로만 당겼다 놓으면 흔들림은 끝까지 그 방향을 지킬까? 실 길이를 바꾸면 옆 방향으로 넘어가는 빠르기는 어떻게 달라질까?

자료 정리

실 길이별 방사·방위 진동수를 표로 모아, 가로축을 실 길이로 하여 두 진동수의 비를 그래프로 그리고 비가 2를 지나는 지점을 찾는다. 위에서 찍은 영상에서 두 방향의 진폭을 시간에 따라 읽어 포락선 그래프를 그리고, 전환 주기를 진동수 비가 2에서 벗어난 정도에 대해 정리한다.

결과의 의미

진동수 비가 2:1에 가까울수록 전환은 빠르고 깊어지며(방사 진폭이 거의 0까지 줄며), 비가 어긋날수록 방사 진동이 제 방향을 오래 지킬 것으로 예상된다. 두 모드는 진동수가 달라 같은 진폭이 같은 에너지를 뜻하지는 않으므로, 진폭 포락선으로 읽는다. 지지점의 티끌 같은 되먹임도 공명 조건이 맞으면 계 전체의 운동 방향을 바꿔 놓는다 — 매개변수 공명이 왜 “조건이 맞을 때만” 나타나는 폭발적 현상인지 보여 주는 결과다. 윌버포스 진자의 1:1 조율과 달리 여기서는 2:1이 열쇠인데, 이 차이는 두 모드의 결합이 1차(선형)가 아니라 제곱(2차)으로 일어난다는 증거다.

더 탐구하기

추의 질량을 바꿔 조율점이 어느 실 길이로 옮겨 가는지 보자 — 무거운 추는 막대를 더 휘게 해 방위 박자도 바꾼다.
바로 위에서 장노출 사진이나 영상 추적으로 추의 궤적을 기록해, 직선이 타원을 거쳐 옆 방향 직선으로 변해 가는 개형을 그려 보자.
초기 진폭을 두세 배 키우며 전환 주기가 달라지는지 보자 — 주기가 진폭에 의존하면 비선형 결합의 증거다.
굵기가 다른 막대로 바꿔, 굽힘 강성이 방위 진동수와 조율점을 어떻게 옮기는지 보자.

연결 주제

‘에너지가 갈아타는 두 개의 그네 — 윌버포스 진자’(IYPT 2021 문제 12) — 에너지가 두 진동 모드 사이를 주기적으로 오가는 모드 결합이라는 뼈대가 같다. 다만 윌버포스 진자는 상하–비틀림 모드를 1:1로 조율할 때, 이 진자는 방사–방위 모드가 2:1 공명을 이룰 때 에너지가 넘어간다.

참고문헌

[학생] LUMS PhysLab 학생 보고서 “Azimuthal-Radial Pendulum”(physlab.org — 같은 장치의 제작·예비 관찰·실험) / 영상 검색어 “azimuthal radial pendulum”, “IYPT 2018 problem 11” / [심화] X. Fu, “Dynamic trajectory and parametric resonance in coupled pendulum-beam system,” American Journal of Physics 88(8), 625–639 (2020), doi:10.1119/10.0001389 — 이 문제를 정면으로 다룬 논문: 방사 진동수가 방위의 두 배일 때 전환이 일어남을 보이고, 막대 굽힘의 비선형 결합에서 마티외 방정식을 유도하고 여러 조건에서 실험으로 검증 / Q. Jia 외, “Nonlinear coupling in an asymmetric pendulum,” American Journal of Physics 90(8), 594–603 (2022), doi:10.1119/10.0010391 — 수평으로만 진동하는 탄성 막대에 매단 진자의 방사–방위 전환을 비선형 결합에 의한 진폭 변조로 설명하고 다중 척도법으로 해석 / M. G. Olsson, “Why does a mass on a spring sometimes misbehave?,” American Journal of Physics 44(12), 1211–1212 (1976), doi:10.1119/1.10265 — 용수철 진자의 2:1 자동매개변수 공명을 정리한 고전. ※ 지지줄의 장력·기울기가 조율에 주는 영향과, 감쇠 속에서 전환이 몇 번이나 반복되는지의 정량화는 이 탐구의 개방 지점이다.

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