끌수록 날뛰는 여행가방 — 요동치는 두 바퀴 가방

탐구 주제

IYPT 2016 문제 17 ‘Crazy Suitcase’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(돌림힘과 평형) · 진로선택 「역학과 에너지」(단진동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

무게중심, 관성 모멘트, 돌림힘, 힘의 평형과 안정성, 끌리는 바퀴(towed wheel), 흔들림 불안정(shimmy), 로킹(rocking) 진동, 매개변수 여기, 임계 속도, 고유 진동수, 공진, 감쇠, 되먹임 제어, 반응 시간(지연), 호프 분기

원리 살펴보기

평평한 바닥에서 얌전히 굴러오던 두 바퀴 여행가방이, 왜 어느 순간 갑자기 좌우로 미친 듯이 흔들리다 뒤집힐까? 열쇠는 이 가방이 뒤에서 끌려오는 ‘끌리는 바퀴(towed wheel)’라는 데 있다. 손잡이가 앞으로만 당기므로 가방이 한쪽으로 기울면 두 바퀴의 접지와 무게중심이 어긋나 반대쪽으로 되돌리고, 그 되돌림이 중심을 지나쳐 반대편으로 넘어가기를 되풀이한다. 문제는 앞으로 끌고 가는 움직임이 이 진동을 가라앉히기는커녕 키울 수 있다는 것이다. 끄는 속도가 임계값보다 낮으면 흔들림은 잦아들지만, 임계 속도를 넘으면 한 번 생긴 기울기가 굴러갈수록 조금씩 커져 마침내 가방이 한쪽 바퀴로 넘어간다. 가방의 불안정은 몸체가 좌우로 기우뚱거리는 로킹(rocking)이지만, ‘속도가 문턱을 넘으면 흔들림이 스스로 자란다’는 성격은 끌리는 바퀴의 시미(shimmy)와 한집안이다.

플로트(Plaut)는 1996년에 이 가방을 좌우로 번갈아 기우뚱거리는(로킹) 강체로 모형화했다. 끄는 사람의 걸음이 손잡이에 주기적인 힘을 싣고, 그 리듬이 가방의 고유 흔들림 진동수에 가까워지면 걸음마다 힘이 보태져 진폭이 부풀어 오른다는 그림이다. 그런데 트레드밀에서 모형 가방만 일정 속도로 끈 실험은 주기적인 힘이 없어도 흔들림이 자람을 보였다 — 미끄러지지 않고 구른다는 제약이 전진과 3차원 회전을 묶어 흔들림을 키우는 것이라 두 기제는 별개다(파키니 2017). 사람은 손목으로 되돌림 돌림힘을 주어 억누를 수 있지만 반응 지연 탓에 타이밍이 어긋나면 오히려 부추긴다(수허만·플로트 1997). 여기서 짐 싸기가 끼어든다 — 짐 배치는 무게중심 높이와 관성 모멘트를 바꾸고, 이 둘이 고유 흔들림 진동수와 넘어지는 문턱 각도를 정한다. 무거운 짐을 바퀴 가까이 낮고 가운데로 실으면 무게중심이 내려가 흔들림 문턱이 높아지지만, 위·바깥으로 실으면 그 반대다.

끌리는 바퀴가 임계 속도에서 요동친다는 이 원리는 여행가방 밖에서 더 크게 문제가 된다. 자동차 앞바퀴·비행기 앞착륙장치의 시미(어떤 속도에서 바퀴가 격렬히 떨려 조종을 위협한다), 승용차가 끄는 트레일러·카라반의 사행(蛇行)(옆바람·과속에 뒤 칸이 크게 흔들려 전복으로 이어진다), 쇼핑카트·병원 침대의 앞 캐스터 떨림(빨리 밀면 앞바퀴가 파르르 떤다), 오토바이의 워블(wobble)까지, 모두 끌리거나 방향을 자유롭게 트는 바퀴가 임계 속도 위에서 옆으로 불안정해지는 한집안 현상이다.

실험 설계

준비물

두 바퀴가 달린 장난감 카트나 소형 여행가방 모형(축·바퀴·손잡이가 있는 것), 안쪽 여러 높이·위치에 단단히 고정할 작은 추 여러 개, 일정한 속도로 끌 방법(도르래에 줄을 감거나 메트로놈에 맞춘 보폭), 각도기·자·모눈 배경판, 스마트폰(고속·후방 촬영), 추적용 스티커, 넓은 바닥.

변인

독립변인은 한 번에 하나씩만 바꾸는 끄는 속도·무게중심 높이·짐 배치(관성 모멘트)이다. 종속변인은 흔들림이 커지기 시작하는 임계 속도, 로킹 진폭이 자라는 정도(감쇠인지 발산인지)와 끝내 넘어지는지 여부이다. 통제변인은 카트의 바퀴 간격(윤거)·바퀴 크기, 바닥 재질, 손잡이 길이·끄는 각도, 배치를 비교할 때의 총질량이다.

실험 순서

1. 카트에 추를 낮고 가운데로 실어 기준 배치를 만들고, 흔들림을 읽을 추적용 스티커를 가방 위와 손잡이에 붙인다.

2. 느린 일정 속도로 똑바로 굴러오는지 확인한 뒤 속도를 조금씩 높여, 좌우 흔들림이 잦아들지 않고 처음 커지기 시작하는 임계 속도를 찾는다 — 도르래로 줄을 감아 일정 속도로 끄는 방식을 기본으로 하고, 메트로놈 걸음 방식과 견주면 주기적 힘의 유무를 갈라 볼 수 있다.

3. 총질량은 그대로 두고 같은 추를 위로 올려 무게중심만 높인 뒤 속도 올리기를 되풀이해, 임계 속도가 어떻게 달라지고 전에 안전하던 속도에서 넘어지는지 본다.

4. 이번엔 무게중심 높이와 총질량은 맞추고 추를 좌우로 벌리거나 가운데로 모아 관성 모멘트만 바꿔 가며 임계 속도를 다시 잰다.

5. 각 시행을 뒤·위에서 고속 촬영해 로킹 각을 시간에 따라 읽고 진폭이 잦아드는지·유지되는지·넘어지는지로 분류한다.

안전 안내

요동치던 카트는 갑자기 뒤집히며 튀어 오르니 궤도의 앞·양옆을 비우고, 발등·발목을 치지 않도록 발을 궤도에서 뺀다. 추는 날아가지 않게 볼트나 끈으로 단단히 고정하고(테이프만으로는 부족) 매 시행 전 확인한다. 끄는 줄에 걸려 넘어지지 않게 바닥을 정리하고, 책상이 아니라 넓은 바닥에서 하여 카트가 모서리로 떨어지지 않게 한다. 속도는 낮은 쪽부터 천천히 올린다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 무게라도 짐을 위쪽·바깥쪽으로 실으면, 흔들림이 시작되는 임계 속도는 높아질까 낮아질까? 그리고 무게중심을 높이면 넘어지기까지 걸리는 걸음 수는 어떻게 달라질까?

자료 정리

짐 배치마다 잰 임계 속도를 표로 모아, 가로축을 무게중심 높이(또는 관성 모멘트), 세로축을 임계 속도로 하여 그래프를 그린다. 고속 영상의 로킹 각–시간 그래프는 세로축을 로그로 두어, 기울기가 음수면 잦아드는 안정·양수면 커지는 불안정으로 읽고, 임계 속도를 경계로 그 부호가 뒤집히는 지점을 표시한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

무게중심을 높이고 짐을 바깥으로 벌릴수록 임계 속도는 낮아져, 얌전하던 속도에서도 가방이 흔들리다 넘어질 것으로 예상된다. 로킹 각–시간 그래프의 기울기가 어느 속도에서 음(잦아듦)에서 양(자라남)으로 뒤집힌다면 그 경계가 임계 속도다. 이는 ‘짐을 어떻게 싸는가’가 취향이 아니라 무게중심 높이와 관성 모멘트를 통해 임계 속도와 넘어짐 문턱을 옮기는 제어 손잡이임을 보여 준다. 같은 이유로 앞착륙장치와 트레일러는 임계 속도를 운행 속도보다 늘 높게 설계한다.

더 탐구하기

1. 카트의 바퀴 간격·바퀴 크기·손잡이 길이를 바꿔 가며 임계 속도가 어디로 옮겨 가는지 조사해 보자.

2. 같은 속도에서 옆으로 살짝 칠 때와 세게 칠 때를 비교해, 작은 흔들림은 잦아들지만 큰 흔들림은 커져 넘어가는 진폭 문턱(아임계 분기)이 있는지 찾아보자.

3. 손잡이로 되돌림을 즉시 줄 때와 늦춰 줄 때를 비교해, 반응 지연이 흔들림을 억누르는지 키우는지 확인해 보자.

4. 매끈한 바닥과 카펫·고무 매트에서 되풀이해, 바퀴–노면 마찰·감쇠가 임계 속도를 어떻게 바꾸는지 견줘 보자.

연결 주제

1992년 문제 2 ‘외발자전거’ — 표제 물음은 바퀴의 최대 지름이지만 사람이 지연된 되먹임으로 역진자를 세우는 능동 균형을 함께 다룬다. 기제는 다르되 ‘반응 시간이 안정을 좌우한다’는 개념과 그 측정법을 공유한다. 2014년 문제 5 ‘추달린굴렁쇠’ — 구르는 강체의 결말을 짐 배치로 바꾸고 그 결과를 매개변수 평면에 지도화하는 꼴이 똑같다(기제는 편심 도약 대 끌림 흔들림으로 다르다).

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Speed wobble’(바퀴·보드가 임계 속도에서 떠는 흔들림) / IYPT 2016 문제 17 공개 발표자료(solutions.iypt.org “Crazy suitcase”) / 검색어 “suitcase wobble physics”, “wheel shimmy”, “trailer sway” / [심화] R. H. Plaut, "Rocking instability of a pulled suitcase with two wheels," Acta Mechanica 117(1–4), 165–179 (1996), DOI 10.1007/BF01181045 — 두 바퀴 가방을 강체 로킹으로 보고 걸음의 주기적 가진과 사람의 되돌림 돌림힘으로 임계 가진 진폭을 구한 논문 · S. Suherman, R. H. Plaut, L. T. Watson, S. Thompson, "Effect of human response time on rocking instability of a two-wheeled suitcase," J. Sound and Vibration 207(5), 617–625 (1997), DOI 10.1006/jsvi.1997.1141 (반응 지연이 흔들림을 억제도 증폭도 함) · D. Takács, G. Stépán, S. J. Hogan, "Isolated large amplitude periodic motions of towed rigid wheels," Nonlinear Dynamics 52(1–2), 27–34 (2008), DOI 10.1007/s11071-007-9253-y (arXiv:0711.2228; 시미가 아임계 호프 분기로 큰 진폭 진동과 공존하는 쌍안정임을 밝힘) · G. Facchini, K. Sekimoto, S. Courrech du Pont, “The rolling suitcase instability: a coupling between translation and rotation,” Proc. R. Soc. A 473(2202), 20170076 (2017), DOI 10.1098/rspa.2017.0076 (트레드밀 모형 가방 — 주기적 강제 없이 구름 제약이 병진과 3차원 회전을 묶어 로킹을 구동하고, 유한한 교란이 있어야 시작된다). ※ 끌리는 바퀴의 시미와 로킹 불안정이라는 기제 자체는 잘 모형화돼 있으나, 시작이 아임계(유한 교란 필요)라는 것은 파키니가 모형 가방으로 이미 보였고, 실제 가방 규모에서 짐 배치가 임계 속도와 넘어짐 문턱을 얼마나 옮기는지 학교 장비로 재어 정리한 자료는 드물다 — 그 정량화가 개방 지점이다.