수면 위를 미끄러지는 두 소용돌이 — 표면 소용돌이 쌍

탐구 주제

IYPT 2016 문제 16 ‘Frisbee Vortices’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」(운동량·유체; 소용돌이 동역학·자유표면·표면장력은 유체역학 심화 주제) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

소용돌이(와류), 반대 방향으로 도는 소용돌이 쌍(와류 쌍·vortex dipole), 소용돌이 방출(vortex shedding), 순환, 유도 속도, 자기유도 전진(self-propulsion), 랭킨 와류(Rankine vortex), 와류 코어, 코어 저압, 베르누이 원리, 자유표면, 표면장력, 수면 딤플(함몰), 소용돌이 링과의 유비, 헬름홀츠 소용돌이 정리, 점성 감쇠, 레이놀즈 수, 각운동량, 스넬 굴절, 안정성

원리 살펴보기

물에 세운 판을 옆으로 슥 끌었을 뿐인데, 왜 수면에 두 눈동자 같은 소용돌이가 생겨 저 혼자 미끄러져 갈까? 판을 당기면 양쪽 세로 모서리에서 물이 매끄럽게 돌아 나가지 못하고 뜯기듯 말려, 서로 반대로 도는 소용돌이가 하나씩 떨어져 나온다(소용돌이 방출). 이렇게 태어난 반대 회전 소용돌이 한 쌍이 이 현상의 주인공이다. 수영장에서 이 모습이 워낙 인상적이라 흔히 ‘팔라코 솔리톤(Falaco soliton)’이라 불린다.

그런데 이 한 쌍은 왜 함께 앞으로 나아갈까? 소용돌이는 저마다 둘레의 물을 끌고 도는데, 짝이 되는 소용돌이는 바로 그 흐름에 올라타 밀려간다. 두 소용돌이가 서로를 실어 나르며 나란히 전진하는 것이다 — 연기 고리(smoke ring)가 스스로 나아가는 것과 똑같은 원리로, 수면에 반쪽만 잠긴 소용돌이 링인 셈이다. 한편 소용돌이 코어는 물이 빠르게 도는 곳이라 압력이 낮아(베르누이 원리), 수면이 아래로 옴폭 빨려 들어가며 딤플이 팬다. 이 두 딤플을 표면장력과 압력이 함께 떠받쳐 오래 유지하고, 햇빛이 팬 수면에 굴절되어(스넬 굴절) 물 바닥에 두 개의 검은 점으로 비친다. 그래서 잔잔한 물에서는 이 소용돌이 쌍이 몇 분씩 살아남아 먼 거리를 미끄러져 간다.

반대 방향으로 도는 소용돌이 쌍이 스스로 나아가는 이 원리는 자연과 공학 곳곳에서 되풀이된다. 항공기 날개끝 와류(비행기 뒤로 뻗는 반대 회전 소용돌이 쌍은 뒤따르는 항공기를 위협해 이착륙 간격의 기준이 된다), 소용돌이 링(돌고래가 뿜는 공기 고리·연기 고리·심장 속 혈류가 모두 같은 자기유도로 나아간다), 유체 혼합과 생물 추진(물고기·오징어가 뿜은 소용돌이가 추진력을 만들고, 미세 유체 소자는 소용돌이 쌍으로 시료를 섞는다), 바다·대기의 소용돌이 수송(반대로 도는 소용돌이 쌍이 열과 오염물질을 먼 곳까지 실어 나른다)에 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

넓고 얕은 수조(또는 욕조·긴 정리함), 물, 손잡이를 붙인 납작한 판(아크릴판·자·도마 등), 식용 색소나 물감(소용돌이를 물들여 보이게), 스포이트나 붓, 모눈·눈금을 붙인 배경판(수조 바닥이나 옆면), 삼각대에 고정한 스마트폰(위에서 똑바로 내려다보는 고정 촬영), 자와 초시계(또는 영상 프레임 계수).

변인

독립변인은 판을 당기는 속도이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 판이 물에 잠긴 깊이, 당기는 거리(행정), 판의 크기와 모서리 모양도 각각 하나씩 바꿔 볼 수 있는 독립변인이다. 종속변인은 소용돌이 쌍이 흐트러지지 않고 나아가는 이동 거리(또는 수명)와 전진 속도, 그리고 두 소용돌이 사이의 간격이다. 통제변인은 물의 깊이와 온도, 수면의 청결도(기름·먼지 제거), 수조의 크기, 그리고 바람이 없는 잔잔한 환경이다.

실험 순서

1. 넓은 수조에 물을 충분히 담아 수면이 완전히 잔잔해질 때까지 기다리고, 모눈 배경판 위에서 스마트폰을 삼각대에 고정해 수면을 위에서 똑바로 내려다보게 맞춘다.

2. 소용돌이를 눈에 보이게 하려고, 판의 양쪽 모서리가 지나갈 자리에 식용 색소를 살짝 풀어 둔다.

3. 판을 일정 깊이만큼 물에 담근 뒤 판 면에 수직인 방향으로 일정한 속도로 정해진 거리만큼 곧게 당기고 부드럽게 멈춘다 — 양쪽 모서리에서 반대로 도는 소용돌이 한 쌍이 떨어져 나와 함께 앞으로 미끄러지는 모습을 위에서 촬영한다.

4. 영상에서 모눈 배경을 자 삼아, 소용돌이 쌍이 흐트러질 때까지 나아간 이동 거리(수명)와 전진 속도, 두 소용돌이 사이의 간격을 읽는다.

5. 독립변인인 당기는 속도만 단계적으로 바꾸며(다음에는 잠긴 깊이·당기는 거리·판 크기를 하나씩) 같은 측정을 조건마다 3회씩 되풀이한다.

6. 맑은 날 햇빛 아래라면 같은 실험을 하며 수조(또는 수영장) 바닥에 맺히는 두 개의 검은 점을 함께 관찰하고, 수면에 기름·세제가 섞이면 소용돌이가 얼마나 빨리 사라지는지도 비교해 본다.

안전 안내

물을 다루므로 바닥에 흘린 물은 바로 닦아 미끄러짐을 막고, 스마트폰·조명 같은 전기 기기는 물에서 떨어뜨려 감전을 예방한다(젖은 손으로 만지지 않는다). 큰 수조나 욕조에 물을 받을 때는 넘치지 않게 하고, 어린 동생이 있는 곳에서는 물을 받아 둔 채 자리를 비우지 않는다(익수 위험). 수영장에서 관찰할 때는 반드시 보호자와 함께 하고 수심·안전 수칙을 지킨다. 식용 색소는 옷과 손에 물드니 장갑을 끼고 다룬다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

판을 더 빠르게 당기면 소용돌이 쌍은 더 멀리 갈까, 아니면 너무 세게 휘저어 오히려 금세 흐트러질까? 그리고 판을 더 깊이 담글수록 소용돌이 쌍은 더 오래 살아남을까?

자료 정리

당기는 속도별로 소용돌이 쌍의 이동 거리(수명)와 전진 속도를 표로 모아, 가로축을 당기는 속도로 하여 그래프를 그린다. 두 소용돌이 사이의 간격과 전진 속도를 함께 그리되, 전진 속도는 간격뿐 아니라 소용돌이가 도는 세기(순환)에도 달려 있으므로 같은 조건으로 만든 쌍끼리만 견준다. 후추 알갱이가 코어 둘레를 한 바퀴 도는 시간으로 도는 세기를 어림해 함께 적는다. 잠긴 깊이·당기는 거리·판 크기를 바꾼 실험은 각각 따로 표로 정리해 어느 변수가 이동 거리를 가장 크게 좌우하는지 비교한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

당기는 속도를 올릴수록 소용돌이 쌍은 처음에는 더 멀리·빠르게 나아가다가, 너무 빠르면 흐름이 어지러워져 오히려 일찍 흐트러질 것으로 예상된다. 가장 멀리 가는 ‘알맞은 속도’가 있다는 것 자체가, 이 현상이 소용돌이의 생성과 안정성이 맞겨루는 문제임을 보여 준다. 간격이 넓은 쌍이 느리게 간다면 짝이 서로의 흐름에 올라타 나아간다는 자기유도 그림과 들어맞는 방향이지만, 조건을 바꿔 만든 쌍은 도는 세기부터 다르므로 간격만으로 이 관계를 확정할 수는 없다. 수면에 기름막 한 겹이 수명을 크게 줄인다면 자유표면의 상태가 소용돌이 안정성을 지배한다는 뜻으로, 왜 이 실험이 ‘잔잔하고 깨끗한 수면’을 그토록 따지는지가 드러난다.

더 탐구하기

1. 판의 모서리를 둥글게 다듬거나 톱니처럼 거칠게 바꿔, 모서리 모양이 소용돌이가 얼마나 깔끔하게 떨어져 나오는지와 그 수명에 미치는 영향을 살펴보자.

2. 소용돌이 쌍을 잇달아 두 번 만들어 같은 길로 보내고, 뒤 쌍이 앞 쌍을 따라잡거나 서로 밀어내는지 — 소용돌이끼리의 상호작용 — 을 관찰해 보자.

3. 색소 대신 작은 부유물(후추·반짝이)을 물에 띄워, 소용돌이 코어가 실제로 회전하는지와 두 소용돌이의 회전 방향이 서로 반대인지를 슬로 모션으로 확인해 보자.

4. 물 깊이를 아주 얕게 했을 때와 깊게 했을 때 소용돌이 쌍의 이동 거리가 어떻게 달라지는지 비교해, 바닥 마찰과 물 깊이의 효과를 가늠해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 대신, 회전하는 물의 자유표면과 소용돌이 코어의 저압이 만드는 수면 함몰을 다루는 「2020년 문제 12 다각형 와류」와 이어진다 — 위·옆에서 고속 촬영으로 수면 소용돌이를 읽고, 랭킨 와류의 코어 저압으로 수면이 파이는 원리를 공유한다. 다만 다각형 와류는 한 용기에 갇혀 도는 소용돌이가 대칭을 깨 다각형이 되는 현상인 반면, 이 문제는 갇히지 않은 반대 회전 소용돌이 한 쌍이 서로를 밀어 스스로 멀리 나아간다는 점에서 기제가 구분된다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Rankine vortex(랭킨 와류)’ — 코어는 강체처럼 돌고 바깥은 감아 도는 모형(코어 저압으로 수면이 파이는 근거) / 다이애나 코원(Physics Girl), “Crazy pool vortex”(유튜브, 2014) — 수영장에서 판을 끌어 소용돌이 쌍을 만드는 데모 / 검색어 “pool vortex plate”, “vortex dipole self-propelled”. 이 수영장 현상은 흔히 ‘팔라코 솔리톤’이라 불린다. [심화] W.-T. Tsai · D. K. P. Yue, “Interactions between a free surface and a vortex sheet shed in the wake of a surface-piercing plate,” Journal of Fluid Mechanics 257, 691–721 (1993), DOI 10.1017/S0022112093003271 — 물에 세워 끄는 판 뒤로 방출된 와류가 자유표면과 상호작용하는 과정을 수치로 규명 · T. Sarpkaya, “Vorticity, Free Surface, and Surfactants,” Annual Review of Fluid Mechanics 28, 83–128 (1996), DOI 10.1146/annurev.fluid.28.1.83 — 수면에 닿은 소용돌이 쌍의 딤플·자국과 계면활성제의 영향을 정리한 개관 · P. A. Tyvand, “Motion of a vortex near a free surface,” Journal of Fluid Mechanics 225, 673–686 (1991), DOI 10.1017/S0022112091002227 — 자유표면 근처 소용돌이의 유도 운동을 다룬 이론. ※ ‘팔라코 솔리톤’이라는 이름은 R. M. 킨(Kiehn)의 관찰 기록(arXiv gr-qc/0101098)에서 왔지만, 그가 이 수면 소용돌이에 붙인 우주끈·블랙홀 같은 해석은 비주류·사변적 주장이므로 물리 근거로 삼지 않는다 — 핵심 물리는 반대 회전 소용돌이 쌍의 자기유도 전진과 랭킨 코어의 표면장력 딤플이라는 표준 유체역학이다. 소용돌이 쌍이 자유표면·판 뒤에서 어떻게 행동하는지는 위 문헌이 다루지만, 학교 수조에서 당기는 속도·깊이·판 모양에 따라 이동 거리와 안정성이 어떻게 달라지는지(가장 멀리 가는 최적 속도가 정말 있는지)를 정량화하는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.