달군 쇠구슬은 왜 스스로 굴러갈까 — 뜨거운 공

탐구 주제

IYPT 2009 문제 12 ‘Hot ball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2009 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「열」(온도와 열, 열팽창, 열의 이동) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(열과 에너지 전환) · 과학탐구실험1(다양한 도구를 활용한 측정과 해석) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」(열역학과 열기관) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

열팽창, 선팽창 계수, 열전도, 푸리에 법칙, 열확산율, 열용량, 대류, 복사, 불안정 평형, 양의 되먹임, 구름 저항, 열기관, 카르노 효율, 라이덴프로스트 효과, 표면 거칠기

원리 살펴보기

수백 °C로 달군 금속 공을 정성껏 수평을 맞춘 레일 위에 살며시 얹으면, 아무도 밀지 않았는데 공이 어느 순간 한쪽으로 구르기 시작한다. 경사도 바람도 없는데 무엇이 미는 걸까. 한 세기 넘게 이어져 온 답은 뜻밖에도 레일 자신이다. 공과 닿은 자리의 레일이 국소적으로 데워지며, 열팽창으로 눈에 보이지 않는 미세한 둔덕이 솟는다. 둔덕이라야 마이크로미터 규모지만, 그 위의 공에게는 충분한 언덕이다. 공은 자기가 만든 언덕 꼭대기에 앉은 셈이니 불안정 평형이고, 아주 작은 흔들림만으로도 어느 한쪽으로 굴러 내리기 시작한다. 옛 러시아의 고전 시연에서는 납으로 만든 원형 레일 위에서 달군 구리 공이 쉬지 않고 몇 바퀴씩 돌았다고 전해진다.

한번 출발하면 잘 멈추지 않는 이유는 열이 언제나 한 박자 늦기 때문이다. 방금 지나온 자리는 실컷 데워져 부풀어 있고, 앞쪽 레일은 아직 차갑고 낮다. 공은 늘 자기가 만든 둔덕의 앞비탈에 놓이므로, 중력이 공을 계속 앞으로 굴린다 — 시간 지연이 만드는 양의 되먹임이다. 뜨거운 톱니면 위에서 액체 방울이 증기에 밀려 한 방향으로 달리는 라이덴프로스트 자기추진과 닮아 보이지만, 이 문제의 레일은 매끈하고 증기막도 없다. 비대칭을 만드는 것이 톱니라는 공간 구조가 아니라 열 지연이라는 시간 구조인 셈이다. 다만 이 설명이 실험으로 확정된 것은 아니어서, 접촉부에서 데워진 공기의 흐름이나 표면 산화에 따른 마찰 변화 같은 경쟁 가설도 여전히 살아 있다. 기체 분자 수준의 열영동은 대기압에서 cm 크기의 공을 밀기에는 너무 약해 일찌감치 후보에서 밀려난다.

마이크로미터의 보이지 않는 팽창이 물체를 움직인다는 사실은 산업에서는 일상의 문제다. 철도 궤도 관리(여름철 국소 가열로 레일이 옆으로 배부르는 장출을 감시·예방한다), 바이메탈 서모스탯(두 금속의 팽창 차이를 스위치의 움직임으로 바꾼다), 정밀 공작기계·반도체 장비(µm 수준의 열변형이 정밀도를 좌우해 실시간으로 보정한다), 마이크로 열 액추에이터(칩 위에서 열팽창으로 미세한 움직임을 만든다)에 두루 이어진다.

실험 설계

준비물

강구 또는 황동 구(지름 2~3 cm), 길이 1 m 안팎의 금속 앵글 레일 2개(알루미늄·강철 — 재질 비교용), 수평계, 핫플레이트(토치는 교사 전용), 도가니 집게, 내열 장갑, 보안경, 접촉식 열전대 온도계(없으면 적외선 온도계와 내열 흑색 도료) 또는 열화상 카메라, 스마트폰(촬영), 금속 쟁반, 자.

변인

독립변인은 공의 초기 온도이고, 심화에서는 레일의 재질을 더한다. 종속변인은 공의 평균 속력과 멈출 때까지의 총 이동 거리이다. 통제변인은 공의 지름과 질량, 레일의 간격과 수평 상태, 레일의 초기 온도, 실내 기류(바람막이)이다.

실험 순서

1. 레일 간격을 일정하게 고정하고 수평계로 수평을 정밀하게 맞춘 뒤, 상온의 공을 여러 지점에 놓아 저절로 구르지 않는 것을 확인한다 — 이 기준 검증이 실험 전체의 신뢰를 좌우한다.

2. 핫플레이트에서 공을 가열하고, 표면 온도를 읽어 목표 온도(예: 150 °C·250 °C·350 °C)에 맞춘다. 적외선 온도계를 쓴다면 반드시 공의 한 지점에 내열 흑색 도료를 찍고 그 자리를 겨눈다 — 광택 금속의 방사율은 0.1~0.3에 지나지 않아 기본값 0.95로 맞춰진 온도계는 실제보다 수십 °C 이상 낮게 읽는다. 접촉식 열전대가 있다면 그쪽이 더 확실하다.

3. 도가니 집게로 공을 옮겨 레일 중앙에 살며시 얹고, 자를 배경 삼아 멈출 때까지 촬영한다. 움직임이 아주 느리면 타임랩스로 찍는 편이 또렷하다. 온도마다 3회 이상 반복하며 출발 방향도 함께 기록한다.

4. 영상에서 위치–시간 값을 읽어 평균 속력과 총 이동 거리를 구하고, 멈춘 직후의 공 온도를 재어 운동이 유지되는 최저 온도를 가늠한다.

5. 레일을 알루미늄에서 강철로 바꿔 같은 온도에서 반복한다 — 팽창 계수가 크고 열이 천천히 퍼지는 재질일수록 유리하다는 예상을 시험하는 단계다.

안전 안내

수백 °C의 공도 겉보기에는 차가운 공과 똑같다. 옮길 때는 반드시 도가니 집게를 쓰고 내열 장갑·보안경을 착용하며, 가열과 냉각은 금속 쟁반 위에서만 한다. 실험 중에는 공 곁을 떠나지 않고, 식히는 공에는 ‘뜨거움’ 표지를 둔다. 토치 가열은 교사가 맡고 주변 가연물을 치운다. 달군 공을 물에 넣으면 증기가 격렬하게 튀므로 급랭하지 않는다. 화상을 입으면 즉시 흐르는 시원한 물에 충분히 식히고 보건교사에게 알린다. 레일 양끝에는 금속 정지턱을 세우고 그 바깥에 깊은 금속 그릇을 받쳐, 공이 어느 쪽으로 굴러도 바닥으로 떨어지지 않게 한다. 공을 올리고 거두는 일은 교사가 맡고 학생은 레일에서 1 m 밖에 그은 표시선 뒤에서 촬영하며, 가열 온도의 상한을 350 °C로 미리 정해 두고 타는 냄새가 나거나 공이 레일을 벗어나면 즉시 멈춘다. 시행이 끝난 공과 레일은 ‘뜨거움’ 구역에 두고 접촉식 온도계로 40 °C 아래임을 확인한 뒤에 치운다. 고온 가열이 부담스러운 학교라면 오븐 수준(100~150 °C)으로 낮추고, 운동 대신 열화상 카메라로 레일에 남는 열 자국을 관찰하는 대체 설계를 택한다 — 다만 구동력은 온도차에 거의 비례하므로 온도를 낮추면 현상 자체가 사라질 수 있다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

공을 더 뜨겁게 달구면 속력과 이동 거리는 그에 비례해 늘어날까? 그리고 출발 방향은 매번 같은 쪽일까, 아니면 동전 던지기처럼 무작위일까?

자료 정리

초기 온도를 가로축으로 평균 속력과 총 이동 거리를 각각 그래프로 그리고, 출발 방향은 왼쪽·오른쪽 횟수로 집계해 무작위성 여부를 본다. 열화상 카메라가 있으면 공이 지나간 레일에 남는 열 자국 — 둔덕 가설이 예측하는 ‘열 발자국’ — 을 함께 기록한다. 위치–시간 그래프에서는 출발 직후 빨라지는 구간과 식어 가며 느려지는 구간을 나눠 읽어, 온도가 내려갈수록 추진이 약해진다는 예상과 대조한다. 움직이지 않은 시도도 실패가 아니라 데이터다. 온도·재질과 함께 표로 남겨, 효과가 나타나는 조건의 경계를 찾는다.

결과의 의미

초기 온도가 높을수록 속력과 이동 거리가 늘고, 어느 온도 아래로 식으면 운동이 멎을 것으로 예상된다. 둔덕의 높이가 접촉부의 온도 차에 비례하니, 온도가 곧 이 작은 엔진의 출력 손잡이인 셈이다. 출발 방향이 무작위로 나온다면 방향을 정하는 것이 레일의 기하가 아니라 우연한 첫 흔들림이라는 뜻으로, 톱니 모양이 방향을 정하는 라이덴프로스트 정류와 갈라지는 결정적 증거가 된다. 크기를 셈해 보면 접촉부가 100 K쯤 데워질 때 둔덕은 수 µm로 표면 거칠기보다 한 자릿수 크고, 지름 2~3 cm 공이 식는 데는 몇 분이 걸리므로 1 m 레일에서 넉넉히 관찰할 수 있는 규모다. 다만 강철·알루미늄 레일에서는 움직이지 않더라는 보고도 많다 — 고전 시연이 팽창 계수가 크고 열이 느리게 퍼지는 무른 납 레일에 구리 공을 썼다는 사실이 재료 선택의 힌트다. 이 계 전체는 뜨거운 공을 고열원, 레일과 공기를 저열원으로 삼아 열을 일로 바꾸는 지극히 비효율적인 열기관이며, 그래서 영구기관이 아니다.

더 탐구하기

1. 납땜인두로 레일의 한 지점을 미리 데워 두고 그 곁에 상온의 공을 놓아 보자 — 공이 굴러 내려가면 열팽창 둔덕 가설의 가장 직접적인 증거다.

2. 투명한 바람막이 상자 안에서 같은 실험을 반복해 실내 기류를 배제하고, 향 연기로 공 주변의 공기 흐름을 시각화해 공기 흐름 가설과 둔덕 가설을 갈라 보자.

3. (교사 시연) 무른 납판을 좁게 잘라 만든 레일로 고전 시연을 재현해 보자 — 납은 327 °C에서 녹으므로 이 시연에서만은 공을 250 °C 아래로 달구고, 납은 장갑을 끼고 다루며 만진 뒤 손을 씻는다.

4. 레일 간격을 바꿔 접촉점에 실리는 힘과 구름 기하를 바꾸면 속력과 지속 시간이 어떻게 달라지는지 재 보자.

연결 주제

같은 해 문제 1 ‘스테아린 엔진’ — 열이 운동으로 바뀌는 또 하나의 소형 열기관으로, 에너지 전환과 효율의 관점을 공유한다. IYPT 1993 문제 14·1994 문제 12(원제 모두 Boiling) — 1993은 상온의 공을 액체 질소에, 1994는 150~200 °C로 달군 공을 뜨거운 물에 넣어 증기막을 만드는 막비등 문제들로, 같은 ‘뜨거운 공’ 가열·취급 기법을 쓰지만 이 문제의 무대는 건조한 레일이라 메커니즘이 갈린다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 2권 1.3 ‘Thermal Expansion’(선팽창 계수 표와 예제) / 영상 검색어 “самобеглый шарик”(스스로 구르는 구슬 — 러시아의 고전 시연), “Leidenfrost effect ratchet” / А. И. 크라스노프의 옛 과학책 『영구기관은 가능한가?』(1956)가 납 레일 위 구리 공 시연을 영구기관이 아닌 열기관으로 해설했다 / [심화] H. Linke 외, “Self-Propelled Leidenfrost Droplets,” Physical Review Letters 96, 154502 (2006), doi:10.1103/PhysRevLett.96.154502 — 뜨거운 톱니면 위 액체 방울·드라이아이스가 증기 흐름의 정류로 자기추진함을 보인 대표 연구 / G. Dupeux 외, “Self-propelling uneven Leidenfrost solids,” Physics of Fluids 25, 051704 (2013), doi:10.1063/1.4807007 — 고체도 밑면이 비대칭이면 증기막 위에서 스스로 나아감을 실증 / A. Bouillant 외, “Leidenfrost wheels,” Nature Physics 14, 1188–1192 (2018), doi:10.1038/s41567-018-0275-9 — 매끈한 평면에서도 자발적 대칭 깨짐으로 자기추진이 생김을 보임 / D. Quéré, “Leidenfrost Dynamics,” Annual Review of Fluid Mechanics 45, 197–215 (2013), doi:10.1146/annurev-fluid-011212-140709 — 총설. ※ 위 심화 문헌은 모두 증기막 계다. 매끈한 레일 위 건식 뜨거운 공의 자발 운동을 정면으로 다룬 동료심사 논문은 확인하지 못했다 — 열팽창 둔덕의 직접 측정과 경쟁 가설의 분리가 이 탐구의 가장 큰 개방 지점이다.