작은 공이 하늘로 솟구치는 이유 — 아스트로블래스터

탐구 주제

IYPT 2008 문제 8 ‘Astroblaster’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2008 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(운동·역학적 에너지) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템·힘과 운동)·과학탐구실험1 「생활 속 과학 탐구」 / 진로선택 「역학과 에너지」(운동량 보존·탄성 충돌·역학적 에너지 보존) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

운동량 보존, 탄성 충돌, 비탄성 충돌, 반발계수, 상대 속도, 기준틀(갈릴레이 변환), 속도 증폭(velocity amplification), 연쇄 충돌(chain collision), 질량비, 최적 질량비(기하급수), 역학적 에너지 보존, 갈릴레이 대포(Galilean cannon)

원리 살펴보기

농구공 위에 테니스공을 살짝 얹어 함께 바닥에 떨어뜨리면, 테니스공이 천장까지 솟구치는데 정작 농구공은 그 자리에 툭 멈춘다. 혼자 떨어뜨렸으면 제자리로 낮게 되튀었을 작은 공이, 큰 공과 짝을 이루자 몇 배나 높이 날아오른다. 비밀은 순서에 있다 — 무거운 공이 먼저 바닥에서 튕겨 위로 올라오는 바로 그 순간 위의 가벼운 공과 부딪히면서, 큰 공의 운동에너지가 작은 공으로 몰려 속도가 증폭되는 것이다. 이 책의 문제는 이 현상을 파고들어, 공을 4개까지 쌓아 맨 위 공을 가장 높이 쏘아 올리는 최적의 조합을 찾자는 것이다.

왜 하필 몇 배일까? 무거운 공이 속도 v로 바닥에서 튕겨 올라오는 순간, 위의 가벼운 공은 아직 v로 내려오는 중이다. 무거운 공에 올라탄 사람의 눈(기준틀)으로 보면 작은 공이 2v로 다가와 그대로 2v로 되튕겨 나가므로, 바닥에 선 우리 눈에는 v + 2v = 3v로 보인다. 이상적인 탄성 충돌과 질량비 극한(위 공이 훨씬 가벼움)에서 위 공은 충돌 속도의 최대 3배로 튀고, 높이는 속도의 제곱에 비례하므로 최대 9배까지 오른다. 이 도약이 층층이 겹치면 맨 위 공의 속도는 이상적으로 (2ⁿ−1)배 — 공 2개면 3배, 3개면 7배, 4개면 15배(높이로는 225배)까지 — 늘어난다. 전달이 가장 큰 것은 위로 갈수록 공이 가벼워지는 질량비, 곧 대략 기하급수 꼴로 질량을 배치했을 때다.

이 ‘속도 증폭’은 놀이도구에 그치지 않는다. 갈릴레이 대포·아스트로블래스터 완구(쌓은 공의 순차 충돌로 맨 위 공을 멀리 쏜다), 충격·고가속(g-shock) 시험(연쇄 충돌로 부품에 극한 가속도를 순간적으로 가한다), 스포츠·라켓 공학(반발계수와 속도 전달로 라켓·배트가 공을 더 빠르게 때린다), 행성 중력 도움(gravity assist)(무거운 천체의 속도를 가벼운 탐사선에 넘겨 가속하는, 탄성 충돌과 같은 운동량 전달의 우주 규모 사촌)에 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

크기·질량이 서로 다르고 잘 튀는 공 여러 개(농구공·테니스공·탁구공·고무공/슈퍼볼 등), 벽에 붙일 눈금 배경(줄자·모눈), 단단하고 평평한 바닥(두꺼운 판이나 콘크리트), 슬로모션 촬영이 되는 스마트폰과 삼각대, 전자저울, 보안경, (선택) 공을 수직으로 정렬해 주는 투명 관이나 가이드.

변인

독립변인은 쌓는 공의 개수(2~4개), 또는 이웃한 두 공의 질량비(아래 공 대비 위 공의 질량)이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 맨 위 공이 도달한 최고 높이, 또는 그것에서 환산한 속도 증폭 배수(=√(상승 높이 ÷ 기준 낙하 높이))이다. 통제변인은 낙하 높이(충돌 직전 속도), 바닥 재질, 공들의 수직·중심 정렬, 각 공의 종류와 재질, 그리고 공과 바닥의 온도이다.

실험 순서

1. 공을 하나씩 일정 높이 h에서 떨어뜨려 되튀는 높이를 재고, 그 비로 각 공의 반발계수(≈√(되튀 높이 ÷ 낙하 높이))를 구해 기준값으로 적어 둔다 — 다만 이 값은 공과 바닥 사이의 것이라 공끼리의 충돌에는 그대로 쓸 수 없다.

2. 큰 공 위에 작은 공을 살짝 띄워 얹어 중심을 수직으로 맞춘 뒤 같은 높이 h에서 함께 떨어뜨리고, 눈금 배경 앞에서 슬로모션으로 촬영해 맨 위 공의 최고점을 읽는다 — 위 공을 혼자 떨어뜨렸을 때와 비교한다.

3. 위·아래 공의 짝을 바꿔 가며(질량비를 여러 값으로) ②를 반복해, 어떤 질량비에서 맨 위 공이 가장 높이 솟는지 찾는다.

4. 공을 3개·4개로 늘려 아래에서 위로 무거운→가벼운 순(대략 기하급수 질량비)으로 쌓아 떨어뜨리고, 맨 위 공의 최고 높이를 개수·질량비별로 여러 번 측정한다 — 정렬이 어긋나면 옆으로 튀므로 안전거리를 두고 반복한다.

안전 안내

위 공이 예상보다 훨씬 빠르고 높이(때로 천장까지) 솟구쳐 얼굴·조명·창문·물건을 맞힐 수 있으니, 반드시 보안경을 쓰고 위쪽 공간을 충분히 비운 곳에서 한다. 공이 옆으로 빗나가 튀는 일이 잦으므로 주변 사람과 안전거리를 두고, 낙하 지점 바로 위에 얼굴을 두지 않는다. 유리·형광등·깨지기 쉬운 물건 근처는 피한다. 무거운 공(농구공 등)을 발등에 떨어뜨리지 않도록 주의하고, 바닥에 걸림돌이나 미끄러운 것이 없게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

위 공을 더 가볍게 만들어(위·아래 질량 차이를 키워) 쌓으면 맨 위 공은 끝없이 더 높이 솟을까, 아니면 어느 질량비를 넘으면 오히려 낮아지는 최적점이 있을까?

자료 정리

질량비(또는 공의 개수)를 가로축, 맨 위 공의 상승 높이(또는 속도 증폭 배수)를 세로축으로 하여 경향 그래프를 그린다. 이상적 극한값 — 2개 9배·3개 49배·4개 225배, 곧 (2ⁿ−1)의 제곱 — 을 점선 기준선으로 함께 그어, 실측이 그보다 얼마나 낮은지 한눈에 비교한다. 바닥에서 잰 반발계수를 넣은 예측선과, 영상에서 읽은 공–공 충돌 전후 속도로 구한 반발계수를 넣은 예측선을 함께 그어 견주면, 어느 쪽이 실측을 맞히는지 드러난다. (그래프는 축과 개형만 잡고, 실측 전에는 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

이상적인 탄성 충돌만 있으면 위 공은 가벼울수록 더 빠르게 튀어(2개 공이면 최대 3배·높이 9배까지) 단조롭게 높아진다. 그러나 실제로는 반발계수가 1보다 작아 곡선 전체가 낮아지고, 지나치게 가벼운 위 공은 큰 속도를 얻어도 공기 저항으로 높이를 잃으며 정확한 순차 충돌도 어려워져, 어느 질량비 부근에서 상승 높이가 정점을 이룰 것으로 예상된다. 이는 충돌로 에너지가 새로 ‘생기는’ 것이 아니라, 무거운 공의 운동에너지가 가벼운 공으로 몰리는 운동량·에너지 전달임을 눈으로 확인하는 지점이다. 큰 공이 거의 튀지 않는 것도 같은 이야기의 뒷면으로, 제 에너지의 대부분을 위 공에 넘겼기 때문이다(에너지는 보존된다). 다만 실제 공은 반발계수가 1보다 작고, 여러 공이 정확히 순차로·수직 중심을 맞춰 부딪히기가 어려워 (2ⁿ−1) 극한에 크게 못 미친다. 그 격차가 얼마이고, 최대 상승을 내는 4개 공의 최적 질량비가 무엇인지를 실제로 재는 일이 이 탐구의 성패와 개방 지점을 함께 가른다.

더 탐구하기

1. 큰 공이 정말 ‘거의 안 튀는지’ 따로 확인해 보자 — 큰 공만의 되튐 높이와, 위 공을 얹었을 때 큰 공의 되튐 높이를 비교해 에너지가 어디로 갔는지 정량화해 본다.

2. 슬로모션 영상에서 충돌 직전·직후 각 공의 속도를 프레임으로 재어, 운동량 보존과 반발계수로 예측한 속도와 실제가 맞는지 검증해 보자.

3. 4개 공의 질량을 기하급수 꼴(단계마다 질량비를 일정하게)로 맞춘 조합과 아무렇게나 쌓은 조합을 비교해, 최적 질량비가 정말 더 높이 쏘는지 확인해 보자.

4. 시판 아스트로블래스터(갈릴레이 대포)와 직접 쌓은 공을 견주고, 투명 관 같은 정렬 가이드를 쓰면 재현성이 얼마나 좋아지는지 살펴보자.

연결 주제

IYPT 1990 문제 2 ‘공과 피스톤’ — 되튀어 올라오는 큰 공 대신 진동하는 피스톤이 ‘움직이는 벽’ 노릇을 하는, 같은 v + 2u 셈법의 한 판짜리 판이다. 뉴턴의 진자(연쇄 탄성 충돌), 두 공의 되튐, 반발계수 측정처럼 탄성 충돌·속도 증폭을 공유하는 탐구와도 개념적으로 이어진다. 이 문제 자체가 다중 공 탄성 충돌·속도 증폭 계열의 대표 상세본이다.

참고문헌

[학생] “Stacked Ball Drop,” sciphile.org(보존 법칙으로 (2ⁿ−1) 증폭을 유도하는 학교 수준 해설) · University of Iowa 물리 시연(physics.uiowa.edu) · 영상 검색어 “stacked ball drop slow motion”, “astroblaster” / [심화] W. R. Mellen, “Superball Rebound Projectiles,” Am. J. Phys. 36(9), 845 (1968) (쌓은 초탄성 공의 (2ⁿ−1) 극한을 처음 제시; DOI 10.1119/1.1975164) · W. G. Harter, “Velocity Amplification in Collision Experiments Involving Superballs,” Am. J. Phys. 39(6), 656–663 (1971) (질량비를 바꿔 가며 속도 증폭을 실험·이론으로 분석 — 공끼리의 충돌을 직접 다룬 문헌; DOI 10.1119/1.1986253) · J. D. Kerwin, “Velocity, Momentum, and Energy Transmissions in Chain Collisions,” Am. J. Phys. 40(8), 1152–1158 (1972) (연쇄 충돌의 질량비 해석; DOI 10.1119/1.1986776) · R. Cross, “The bounce of a ball,” Am. J. Phys. 67(3), 222–227 (1999) (반발계수는 충돌 속도가 커질수록 작아진다 — 위 칸으로 갈수록 바닥값이 과대; DOI 10.1119/1.19229). ※ 위 문헌은 이상적 탄성·질량비 극한에서 속도 증폭이 2개 공 3배(높이 9배)·n개 공 (2ⁿ−1)배임을 잘 보여 주지만, 반발계수가 1보다 작고 공들이 정확히 순차·수직 정렬로 충돌하기 어려운 실제 조건에서 그 격차가 얼마인지, 그리고 최대 상승을 내는 4개 공의 최적 질량비를 학교 장비로 재현·측정하는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.