구멍 하나로 음이 바뀐다 — 직접 만드는 플루트

탐구 주제

IYPT 2008 문제 9 ‘Flute’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2008 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「파동」(소리의 발생과 성질) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 탐구)·과학탐구실험1 「생활 속 과학 탐구」 / 일반선택 「물리학」(파동·정상파·공명, 소리) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

기주 공명, 정상파, 닫힌 관(폐관)·열린 관(개관), 마디·배(node·antinode), 기본 진동수, 배음(harmonics), 음높이(pitch), 음색(timbre), 유효 길이, 말단 보정(end correction), 음공(tone hole), 차단 진동수(음공 격자의 성질), 음향 임피던스, 에지톤(edge tone)

원리 살펴보기

빈 병이나 짧은 대롱의 열린 입구를 가로질러 불면 ‘부웅’ 하는 소리가 난다. 이는 관 속 공기 기둥이 특정 파장에서만 크게 되울리는 기주 공명 때문이다. 이 문제의 관은 한쪽 끝이 막혀 있어, 막힌 끝에는 공기가 못 움직이는 마디가, 부는 열린 끝에는 공기가 크게 흔들리는 배가 생긴다. 그래서 기본음의 파장은 관 길이의 약 네 배가 되고, 홀수 배음만 잘 울린다(닫힌 관). 그런데 옆면에 구멍을 하나 뚫으면, 공기 기둥은 막힌 끝이 아니라 그 구멍에서 바깥과 통하게 되어 ‘더 짧은 관’처럼 행동하고 음이 높아진다. 손가락으로 구멍을 막았다 떼며 음을 바꾸는 리코더·플루트가 바로 이 원리다.

구멍이 음을 얼마나 높이느냐는 구멍의 위치와 지름으로 정해진다. 구멍을 부는 끝 쪽으로 옮길수록 공기 기둥이 짧아져 음이 더 높아지고, 막힌 끝 쪽에 둘수록 원래의 긴 관에 가까워 음이 낮다. 지름도 중요하다. 구멍이 크고 잘 열리면 그 자리가 새로운 열린 끝이 되어, 부는 끝에서 구멍까지가 양쪽이 열린 관(개관)처럼 울린다. 그러면 음은 닫힌 관을 그냥 짧게 한 것보다 더 크게(대략 한 옥타브까지) 오르고, 홀수 배음만이 아니라 짝수 배음도 함께 실려 소리 색이 리코더·플루트에 가까워진다. 반대로 구멍이 작으면 그 자리가 덜 열려 소리가 조금만 새므로 관은 닫힌 관에 가깝게 남고 음도 덜 높아진다. 공기 기둥은 구멍에서 딱 끝나지 않고 조금 더 뻗은 듯 울리는데, 이 여윳값이 말단 보정이며 구멍의 지름과 관 벽 두께가 그 크기를 좌우한다.

음높이만이 아니라 음색도 구멍에 따라 달라진다. 음색은 기본음 위에 실린 배음들의 세기 분포로 정해지는데, 구멍 하나는 낮은 배음에서만 열린 끝 노릇을 하고 배음이 높아질수록 소리가 구멍을 그냥 지나쳐 관 전체를 다시 울린다. 그래서 배음의 진동수가 짧은 관 쪽에서 원래 관 쪽으로 되돌아간다. 구멍을 여럿 규칙적으로 뚫으면 이 성질이 격자의 차단 진동수로 정리되고, 구멍이 크고 많을수록 밝은 소리가 나는 경향이 있다. 이 원리는 악기에만 머물지 않는다. 관악기 설계·제작(구멍의 위치·지름으로 음정·음색을 조율), 음향 필터와 소음기(관에 뚫은 구멍의 배열로 특정 진동수를 통과·차단), 음향 임피던스 계측(관·공동의 공명을 임피던스로 재어 진단), 음성 합성과 성도 모델(성도를 관으로 보고 포먼트로 모음을 만든다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

양 끝을 다듬은 곧은 관 여러 개(PVC 파이프·대나무·굵은 빨대·시험관 등)와 한쪽 끝을 막을 마개(코르크·고무마개·찰흙), 여러 지름의 드릴 비트 또는 리머, 줄자·캘리퍼스(구멍 위치·지름 측정), 스마트폰(녹음·주파수 분석 앱)과 조율기 앱, 사포, 마스킹 테이프, (선택) 소리 스펙트럼 분석 소프트웨어.

변인

독립변인은 음공의 위치(부는 열린 끝에서 구멍 중심까지의 거리)와 지름으로, 한 번에 이 중 하나만 바꾼다. 종속변인은 소리의 기본 진동수(음높이)와 배음 스펙트럼의 개형(음색)이며, 여유가 되면 배음의 진동수가 원래 관 쪽으로 되돌아가는지도 읽는다. 통제변인은 관의 안지름과 전체 길이, 벽 두께, 막힌 끝의 마감, 부는 세기와 각도, 그리고 음속에 영향을 주는 실내 온도이다.

실험 순서

1. 관 한쪽 끝을 마개로 막고 구멍은 뚫지 않은 채, 열린 끝을 가로질러 일정하게 불어 소리를 녹음하고 스마트폰 주파수 분석으로 기본 진동수를 읽는다 — 구멍이 없는 닫힌 관의 기준값이다.

2. 관 옆면 한 위치에 구멍을 뚫고(또는 같은 위치에 지름만 다른 구멍을 뚫은 관 여러 개를 준비해), 지름을 단계별로 키우며 각 경우의 음높이와 배음 스펙트럼을 같은 세기로 불어 녹음한다.

3. 이번엔 지름을 고정하고 구멍의 위치를 부는 끝 쪽에서 막힌 끝 쪽으로 옮겨 가며(관 여러 개 사용) 음높이 변화를 측정한다.

4. 녹음을 분석해 기본 진동수와 배음들의 세기 분포를 구멍의 위치·지름에 대해 정리하고, 구멍이 없을 때의 닫힌 관(f≈v/4L, 홀수 배음)과 구멍이 열렸을 때의 개관(f≈v/2L′, 모든 배음) 가운데 실측이 어느 쪽에 더 맞는지 따진다.

안전 안내

관을 자르고 구멍을 뚫을 때 톱·드릴에 다칠 수 있으니 관을 단단히 고정하고 보안경과 장갑을 낀 뒤 필요하면 어른의 도움을 받는다. 자른 단면과 구멍의 날카로운 가장자리는 사포로 다듬는다. 플라스틱 가루를 들이마시지 않도록 환기하고, 관을 입에 대므로 개인용으로만 쓰며 사용 전후로 닦는다. 오래 세게 불면 어지럼증(과호흡)이 올 수 있으니 짧게 나눠 불고 어지러우면 곧바로 멈춘다. 큰 소리를 가까이서 오래 듣지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

구멍의 지름을 키우면 같은 위치라도 음이 더 높아질까, 아니면 위치만 같으면 지름과 상관없이 음높이는 그대로일까? 또 구멍을 막힌 끝 쪽으로 옮기면 음은 높아질까, 낮아질까?

자료 정리

구멍의 위치(부는 끝에서의 거리)와 지름별로 기본 진동수와 배음 세기를 표로 모아, 가로축을 구멍 위치 (또는 지름), 세로축을 기본 진동수로 하는 경향 그래프를 그린다. 구멍이 없는 닫힌 관은 f≈v/4L(홀수 배음), 구멍이 잘 열린 개관은 f≈v/2L′(모든 배음)로 예측되므로, 구멍을 키우거나 부는 끝 쪽으로 옮길 때 진동수가 어느 쪽 예측을 따라가는지, 짝수 배음이 새로 실리는지 살핀다. 음색은 배음 봉우리들의 상대 세기로 나타내고, 높은 배음일수록 구멍의 효과가 줄어드는지 확인한다. (그래프는 축과 개형만 잡고, 실측 전에는 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

구멍을 부는 끝 쪽으로 옮기거나 지름을 키울수록 유효 길이가 짧아져 기본 진동수가 높아지고, 지름이 클수록 같은 위치에서도 음이 더 높아질 것으로 예상된다. 이는 음공이 공기 기둥을 물리적으로 자르지 않고도 ‘음향적으로’ 짧게 만든다는 것 — 곧 음높이가 관의 실제 길이가 아니라 유효 길이로 정해짐을 눈과 귀로 확인하는 지점이다. 다만 구멍은 관을 그 자리에서 딱 자른 것만큼 짧게 만들지는 못하고, 작을수록 그 효과가 덜하다(말단 보정). 또 음색은 배음마다 구멍이 얼마나 ‘열린 끝’ 노릇을 하느냐로 갈리는데, 자작 관에서 배음별 세기 분포를 정량으로 재는 정밀도가 이 실험의 성패와 개방 지점을 가른다.

더 탐구하기

1. 구멍을 여러 개 뚫어 손가락으로 막았다 떼며 음계를 만들어 보고, 구멍을 조합해 막는 ‘크로스 핑거링’으로 반음을 낼 수 있는지 시도해 보자.

2. 같은 위치·지름의 구멍이라도 관의 안지름이나 벽 두께(구멍의 ‘굴뚝 길이’)를 바꾸면 음높이·음색이 달라지는지 비교해, 말단 보정이 정말 지름·두께에 의존하는지 확인해 보자.

3. 관 재질(PVC·대나무·금속)을 바꿔 음색이 달라지는지, 아니면 길이·구멍이 같으면 재질과 거의 무관한지 대조 실험으로 가려 보자(문헌은 벽 재질의 영향을 작게 본다).

4. ①처럼 구멍을 여럿 뚫은 관에서 스펙트럼의 차단 진동수를 읽어, 구멍이 클수록·많을수록 그 값이 높아져 소리가 밝아지는지 살펴보자.

연결 주제

완성된 짝 원고는 아직 없다. 다만 기주 공명·정상파를 다루는 관악기 음향 계열(닫힌 관과 열린 관의 배음 차이)과 개념적으로 이어지고, 소리를 스마트폰 스펙트럼으로 분석하는 방법은 진동·음향을 다루는 다른 탐구와 장비를 공유한다. 억지로 잇기보다 이 문제를 그 계열의 출발점으로 삼을 수 있다.

참고문헌

[학생] J. Wolfe, “Flute acoustics” 및 “Filtering effect of finger holes,” UNSW Music Acoustics — 음공이 공기 기둥을 짧게 만드는 원리와 닫힌 관·열린 관의 차이 · Exploratorium ‘Pipes of Pan’ 활동 — 닫힌 관의 음높이와 길이의 관계를 직접 확인 / [심화] A. H. Benade, “On the Mathematical Theory of Woodwind Finger Holes,” J. Acoust. Soc. Am. 32(12), 1591–1608 (1960) (음공의 유효 길이와 톤홀 격자 차단 진동수 이론의 토대 — 차단 진동수는 격자에 정의된다; DOI 10.1121/1.1907968) · J. Wolfe, J. Smith, “Cutoff frequencies and cross fingerings in … flutes,” J. Acoust. Soc. Am. 114(4), 2263–2272 (2003) (음공의 크기·배열이 차단 진동수와 음색을 정함을 측정 — 구멍이 적은 관에는 이 모형이 안 맞는다고 밝힘; DOI 10.1121/1.1612487) · C. J. Nederveen, 『Acoustical Aspects of Woodwind Instruments』(Northern Illinois Univ. Press, 1998) — 음공 유효 길이 보정식 · N. H. Fletcher, T. D. Rossing, 『The Physics of Musical Instruments』 2판(Springer, 1998) — 기주 공명·말단 보정·에지톤 표준 교과서; DOI 10.1007/978-0-387-21603-4. ※ 차단 진동수는 음공이 여럿인 격자에 정의되는 양이라 구멍 하나짜리 자작 관에서는 다룰 수 없다 — 더 해보기 ①처럼 구멍을 여럿 뚫은 뒤에야 다룰 수 있고, 그 격자에서 배음이 어떻게 갈리는지 재는 일이 이 탐구의 개방 지점이다.