공이 찍는 단단함의 도장 — 먹지 경도계

탐구 주제

IYPT 2006 문제 16 ‘Hardness’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2006 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」·「일과 에너지」(자유 낙하, 역학적 에너지) / 고등학교 통합과학1 「물질과 규칙성」 · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(운동량과 충격량) · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

경도, 압입 경도, 브리넬 경도, 동적 경도, 되튐 경도, 탄성 변형, 소성 변형, 항복강도, 영률, 헤르츠 접촉, 역학적 에너지 보존, 운동량과 충격량, 반발 계수, 교정(캘리브레이션), 조작적 정의

원리 살펴보기

단단함이란 무엇일까? 손톱으로 눌러 자국이 남으면 무르다 — 재료공학은 이 직관을 그대로 정식화했다. 단단한 압입자를 정해진 힘으로 표면에 눌러, 남는 자국이 작을수록 단단하다고 정의하는 것이 압입 경도다(브리넬 경도 = 하중 ÷ 자국의 표면적). 문제의 먹지는 그 자국을 읽어 내는 기발한 기록계다. 떨어진 강철 공이 표면을 누르는 천분의 일 초 남짓한 순간, 먹지가 도장밥처럼 눌린 부위에만 잉크를 옮겨, 공과 표면이 맞닿았던 접촉원을 종이에 찍어 준다. 무른 재료일수록 공이 깊이 파고들어 접촉원이 넓어지므로, 흔적이 크면 무르고 작으면 단단한 것이다.

물리로 보면 이것은 에너지 장부 정리다. 높이 h에서 떨어진 공은 mgh의 에너지로 표면을 때리고, 그 에너지는 표면을 파는 몫과 공을 되튀기는 몫으로 나뉜다. 타보르는 영구 자국을 만드는 데 쓰인 에너지를 자국의 부피로 나눈 값 — 동적 경도 — 이 재료 고유의 압력 성질임을 보였다. 단단한 재료일수록 같은 낙하 에너지로 파이는 부피가 작아 흔적 지름이 작다. 다만 먹지가 기록하는 것은 눌림이 가장 깊던 순간의 최대 접촉원이라, 고무처럼 자국 없이 완전히 되돌아오는 재료도 큰 흔적을 남긴다. 이때 흔적 크기를 정하는 것은 항복강도가 아니라 영률(탄성)이다 — 한 장의 먹지가 재료에 따라 서로 다른 성질을 재는 셈이다.

압입과 되튐으로 단단함을 재는 이 원리는 산업 곳곳에서 일한다. 금속 부품의 품질 검사(브리넬·로크웰 압입 시험 — 이 탐구의 원형), 휴대용 현장 경도계(리브 경도계는 작은 공을 쏘아 되튐 속도로 경도를 읽는다), 안전모·보호 장비의 충격 인증(낙하 충격의 자국과 흡수 에너지 평가), 스포츠 공학(공과 라켓·배트의 접촉 면적과 반발이 성능을 좌우한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

강철 베어링 볼(지름 10~25 mm 두어 가지), 먹지와 흰 종이, 여러 시료판(강철·황동·구리·알루미늄 등 금속판, 아크릴·PVC 등 플라스틱판, 나무판), 두꺼운 받침판, 스탠드와 자, 집게 또는 전자석(릴리스), 버니어 캘리퍼스 또는 루페와 모눈자, 수평계, 보안경.

변인

독립변인은 시료의 재질이다(한 번에 이것만 바꾼다). 종속변인은 종이에 찍힌 둥근 흔적의 지름이다. 통제변인은 강구의 지름과 질량, 낙하 높이(예: 50 cm), 종이·먹지의 종류와 겹수, 받침판, 그리고 회전 없이 놓는 릴리스 방식이다.

실험 순서

1. 두껍고 단단한 받침판 위에 시료판을 놓고 수평을 맞춘 뒤, 시료 위에 흰 종이, 그 위에 먹지(잉크면이 아래로)를 차례로 얹는다.

2. 집게(또는 전자석)로 강구를 정해진 높이(예: 50 cm)에 맞추고 회전 없이 떨어뜨린다. 공이 두 번 찍지 않도록 첫 되튐 직후 컵으로 받아 낸다.

3. 먹지를 걷고 종이에 남은 둥근 흔적의 지름을 서로 수직인 두 방향으로 재어 평균한다. 위치를 바꿔 가며 같은 시료에서 5회 반복한다.

4. 금속·플라스틱·나무 시료에 같은 절차를 반복하고, 흔적 지름이 작은 쪽부터 차례로 세운 상대 경도 순위표 — 나만의 경도 척도 — 를 만든다.

5. 한 시료를 골라 낙하 높이만 25 cm에서 1 m까지 바꿔 흔적 지름을 재고, 높이를 바꿔도 시료들의 순위가 유지되는지(척도의 견고성) 확인한다.

안전 안내

떨어진 강구는 예측하기 어려운 방향으로 세게 튄다 — 보안경을 쓰고, 낙하 구역에서 얼굴과 발을 빼며, 주변 사람과 유리를 치운다. 무거운 공은 발등을 다치게 할 수 있으니 낮은 높이부터 시작하고, 공을 받는 연습을 먼저 한다. 금속 시료의 날카로운 모서리에 베이지 않게 주의한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 높이에서 떨어뜨리면 알루미늄과 강철 중 어느 쪽 흔적이 더 클까? 그리고 자국 하나 남지 않는 고무판의 흔적은 아주 작을까, 뜻밖에 클까?

자료 정리

시료별 흔적 지름의 평균과 흩어짐(5회)을 막대그래프로 정리한다 — 지름이 작을수록 단단한 쪽이다. 높이 실험은 가로축을 낙하 높이, 세로축을 지름으로 그린다. 심화 과정에서는 영구 자국이 남는 금속에 대해 낙하 에너지 mgh를 자국의 구면캡 근사 부피로 나눈 동적 경도(압력 단위)를 구해, 공개된 브리넬 경도값과 순위를 비교한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

무른 재료일수록 흔적이 뚜렷이 크고, 낙하 높이를 올리면 흔적은 커지되 시료들의 순위는 대체로 유지될 것으로 예상된다 — 이 순위가 곧 자작 경도 척도다. 다만 먹지 흔적은 최대 접촉원을 기록하므로, 영구 자국이 남는 금속에서는 소성(항복강도)을, 자국 없이 되돌아오는 고무·플라스틱에서는 탄성(영률)을 주로 반영한다. 하나의 척도가 재료에 따라 다른 성질을 섞어 잰다는 것을 스스로 발견하는 순간, 경도가 왜 절대량이 아니라 시험 절차에 딸린 조작적 정의인지 — 브리넬·비커스·쇼어 값이 서로 다른 이유가 무엇인지 — 보이기 시작한다. 되튐 높이를 함께 재면 소성에 쓰인 에너지를 분리해 척도를 한층 정교하게 만들 수 있다.

더 탐구하기

1. 낙하 높이를 바꿔 가며, 되튐이 작은 금속에서 자국 지름의 네제곱이 낙하 에너지에 비례하는지 — 곧 동적 경도가 높이와 무관하게 일정한지 — 검증해 보자(타보르 이론의 예측).

2. 강구 지름을 10 mm에서 25 mm로 바꿔 같은 재료의 척도 값이 얼마나 달라지는지 재어 보자 — 브리넬 시험이 하중과 공 지름의 조합을 규격으로 못 박는 이유를 몸으로 확인하게 된다.

3. 슬로모션 촬영으로 되튐 높이를 함께 측정해 반발 계수와 흔적 지름의 관계를 그려 보자 — 압입 경도와 되튐 경도(쇼어·리브)를 한 실험대에서 비교하는 셈이다.

4. 먹지 흔적을 스마트폰으로 스캔해 진하기(농도) 분포를 이미지 분석으로 읽어, 흔적의 어두운 정도에서 압력 분포까지 끌어낼 수 있는지 도전해 보자 — 선행 탐구가 풀지 못한 부분이다.

연결 주제

같은 해 문제 5 ‘확률(동전)’ — 정해진 높이에서 회전 없이 물체를 놓는 릴리스 장치와 충돌·되튐 관찰 기법을 공유한다. 낙하 릴리스를 먼저 만들면 두 탐구에 그대로 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘브리넬 경도(Brinell scale)’·‘리브 반발 경도 시험(Leeb rebound hardness test)’ / 영상 검색어 “Brinell hardness test”, “경도 시험” / [심화] H. K. Kim, “Problem No. 16: Hardness,” Proceedings of the 19th IYPT, 196–211, 2006 (archive.iypt.org 공개 — 같은 문제의 선행 탐구: 전자석으로 지름 10~25 mm 강구를 0.25~1 m에서 떨어뜨려 금속 4종·플라스틱 4종·나무·대리석·고무의 흔적 지름을 측정. 높이·질량이 클수록 흔적이 커지고, 되튀는 재료는 흔적 넓이가 영률에 반비례하며, 접촉 시간까지 재어 평균 압력 기반 척도를 구성) · D. Tabor, “A simple theory of static and dynamic hardness,” Proceedings of the Royal Society of London A 192(1029), 247–274, 1948, DOI 10.1098/rspa.1948.0008 (낙하 압입자가 판 자국의 부피와 소성에 쓰인 에너지의 비로 동적 경도를 정의하고 되튐 보정을 유도한 고전) · D. Tabor, The Hardness of Metals, Clarendon Press, Oxford, 1951 (압입 경도와 항복강도의 관계를 정리한 표준 저작) · R. B. Clough, S. C. Webb, R. W. Armstrong, “Dynamic hardness measurements using a dropped ball: with application to 1018 steel,” Materials Science and Engineering: A 360(1–2), 396–407, 2003, DOI 10.1016/S0921-5093(03)00499-4 (낙하 강구 방식의 동적 경도 측정을 탄소강에 적용한 현대 연구). ※ 먹지 흔적의 진하기를 압력으로 환산하는 정량법과 종이·먹지 자체의 감도(전사 문턱)가 척도에 주는 영향은 문헌이 덮지 못한 개방 지점이다.