돌지 않는 물이 캔을 앞세운다 — 부분적으로 찬 캔의 굴림

탐구 주제

IYPT 2000 문제 13 ‘Rolling can’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2000 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(힘과 운동·일과 에너지) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템 — 힘과 운동) · 과학탐구실험1(변인 통제·측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(힘·운동과 역학적 에너지) / 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」(강체의 굴림 운동과 관성 모멘트) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

관성 모멘트, 회전 관성, 미끄러짐 없는 굴림, 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지, 역학적 에너지 보존, 경사면 가속도, 점성 계수, 경계층, 스핀업 시간, 유효 관성 모멘트, 자유표면과 슬로싱, 점성 소산, 준정상 굴림(등속 굴림), 종단 거동, 레이놀즈 수, 비점성 극한과 강체 극한, 비파괴 내용물 검사

원리 살펴보기

속을 비운 캔과 물을 반쯤 채운 캔을 나란히 굴리면, 뜻밖에도 물이 든 쪽이 먼저 바닥에 닿는다 — 심지어 속이 꽉 찬 고체 원통보다 빠를 수도 있다. 왜일까? 굴러 내려가는 물체의 빠르기는 중력이 끄는 몫을 ‘앞으로 나아가기’와 ‘몸을 돌리기’에 어떻게 나눠 쓰느냐로 갈린다. 미끄러짐 없이 구르면 경사면 가속도는 a = g sinθ /(1 + I/mR²)이고, 괄호 안 I/mR²이 회전에 뺏기는 몫이다(I는 관성 모멘트, R은 반지름, θ는 경사각). 속 빈 캔은 질량이 테두리에 몰린 얇은 고리라 I ≈ mR², 절반을 회전에 써 느리다. 그런데 캔 속 물은 점도가 낮아 캔을 따라 거의 돌지 않고, 대부분 미끄러지듯 실려 내려간다. 그래서 물은 나아가는 무게는 보태되 돌리는 몫은 거의 늘리지 않아, 질량에 견준 회전 관성(I/mR²)이 작아 캔이 더 빨리 가속한다.

열쇠는 ‘시간’과 ‘점도’다. 놓는 순간 물은 회전으로는 거의 멈춰 있어 캔이 가장 빠르지만, 캔 벽이 얇은 경계층으로 물을 조금씩 끌고 돌기 시작하면 함께 도는 물이 늘어 유효 관성 모멘트가 커지고 가속은 둔해진다. 점도를 손잡이처럼 올리면(물에 글리세린을 섞으면) 물이 더 많이 끌려 돌다가, ‘무한 점성’ 극한에서는 물이 강체처럼 캔과 한 몸으로 돌아 캔은 속이 찬 원통처럼 구른다. 그래서 실제 캔은 늘 두 극단 — 물이 안 도는 비점성 극한(빠름)과 물이 다 도는 강체 극한(느림) — 사이에 놓인다(Jackson 외). 완만한 경사에서는 점성 소산과 출렁임(슬로싱)이 에너지를 갉아, 속도가 거의 일정한 준정상 굴림에 이르기도 한다(Balmforth 외).

이 원리는 현장에서 일한다. 비파괴 내용물 검사(캔·병을 굴리거나 돌려 그 운동만으로 안이 액체인지 언 고체인지 열지 않고 가려낸다 — 날달걀과 삶은 달걀을 돌려 구분하는 그 물리다), 탱크로리·회전 드럼 설계(덜 찬 액체가 벽을 따라 돌지 않아 무게중심과 유효 관성이 출렁이면 차량·드럼이 불안정해져 배플(칸막이)을 넣는다), 스핀 안정 위성의 연료 탱크(덜 찬 연료의 슬로싱이 자전을 흔든다), 회전·낙하식 점도 계측(내용물이 얼마나 뒤처지는지로 점도를 어림한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

투명한 원통형 밀폐 용기(나사 뚜껑, 여러 개)와 물, 비교용 빈 캔·꽉 찬 캔(과 가능하면 비슷한 크기의 속 찬 원통), 점도를 바꿀 글리세린, 각도 고정 경사면과 출발·도착선을 그을 자, 스마트폰(고속 촬영)·모눈 배경·기준 스케일, 물에 띄울 작은 표식(색 구슬)이나 식용 색소, 전자저울, 온도계, 영상 분석 프로그램(Tracker 등), 캔이 튀어나가지 않게 받을 완충대.

변인

독립변인은 캔을 채운 물의 부피 비율(채움 비율)이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 거리 L 구간에서 얻는 유효 가속도(또는 놓는 순간의 초기 가속도)로, 고정 거리 L을 지나는 시간을 고속 촬영해 위치–시간 그래프에서 얻는다 — 중간 채움·중간 점도에서는 운동이 등가속이 아니어서 곡선이 매끈한 포물선을 벗어날 수 있으므로, 그 벗어남 자체도 기록한다. 통제변인은 경사각 θ, 같은 용기, 정지 상태에서 같은 출발선에 놓기, 이동 거리 L, 바닥 재질, 액체의 종류(물)와 온도이다. 절차 ④에서는 액체의 점도를 제2 독립변인으로 두어 물 대신 글리세린 수용액을 쓴다(채움 비율은 고정).

실험 순서

1. 투명 원통 용기 하나를 골라 경사면을 각도 θ로 고정하고 출발선과 거리 L의 도착선을 긋는다. 모눈 배경·기준 스케일을 두고, 캔은 같은 출발선에서 정지 상태로 놓아 굴리며 고속 촬영한다. 여러 개의 용기는 ②의 기준값·예비 시연에만 쓴다 — 채움 비율 비교는 ③처럼 같은 용기를 다시 채워서 한다.

2. 기준값부터 잡는다 — 빈 캔과 물을 가득 채운 캔을(가능하면 속 찬 원통도 함께) 굴려 L을 지나는 시간을 잰다. 느린 쪽(빈 캔)과 빠른 쪽(물 찬 캔)의 양 끝이 된다.

3. 같은 용기를 물로 1/4·1/2·3/4씩 무작위 순서로 다시 채워 굴리고(조건마다 3회) 촬영한다. 영상에서 위치–시간을 읽어 조건별 가속도를 구한다.

4. (제2 독립변인 — 점도) 채움 비율을 하나로 고정한 채 물을 점도가 다른 글리세린 수용액으로 바꿔 ③을 되풀이해, 점도가 오를수록 캔이 강체 굴림 쪽으로 느려지는지 본다.

5. 조건별 가속도를 두 극한 모형과 견준다 — 물이 안 도는 비점성 극한(작은 관성 → 빠름)과 함께 도는 강체 극한(큰 관성 → 느림)이 a = g sinθ /(1 + I/mR²)에서 주는 값을 계산해 실측을 그 사이에 놓는다.

6. 투명 벽 너머로 자유표면과 표식을 촬영해, 물이 함께 도는지 잠잠한지, 시간이 지나며 경계층에 끌려 도는 정도가 어떻게 변하는지 관찰한다.

안전 안내

빠르게 굴러 내려온 캔이 바닥 끝에서 튀어나가 사람·물건에 부딪히지 않도록 도착선 뒤에 완충대를 두고, 굴러떨어질 계단·모서리가 없는 곳을 고른다. 용기는 유리 대신 금속 캔이나 플라스틱 통을 쓰고, 뚜껑을 꼭 잠가 물이 새지 않게 한다. 흘린 물과 특히 글리세린은 몹시 미끄러우니 즉시 닦고, 눈에 들어가면 흐르는 물로 씻는다. 위험이 낮은 실험이지만 무거운 물 찬 용기가 발등에 떨어지지 않게 조심한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

빈 캔, 물을 반쯤 채운 캔, 물을 가득 채운 캔을 함께 굴리면 어느 것이 가장 먼저 바닥에 닿을까? 그리고 물을 끈끈한 글리세린으로 바꾸면 캔은 더 빨라질까, 느려질까?

자료 정리

조건마다 3회 잰 유효 가속도(위치–시간 곡선을 맞춰 얻은 값)를 평균해 가로축 채움 비율·세로축 가속도로 점을 찍고, 두 극한 모형(비점성·강체)의 곡선을 함께 그려 실측이 그 사이 어디에 놓이는지 본다. 곡선이 매끈한 포물선을 벗어나는 채움 비율에서는 등가속에서 얼마나 벗어나는지도 따로 표시한다. 점도 실험(④)은 채움 비율을 고정하고 가로축을 점도로 바꿔 따로 그린다. 빈 캔·속 찬 원통의 기준값을 수평선으로 겹쳐 두면 물 찬 캔이 어느 쪽에 가까운지 한눈에 보인다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

물을 채운 캔은 빈 캔보다 뚜렷이 빨리 가속하고, 속 찬 원통과 비슷하거나 오히려 더 빨라 비점성 극한 쪽에 가깝게 놓일 것으로 예상된다. 점도를 올리면 실측은 강체 극한 쪽으로 옮겨 갈 것이다. 굴러가는 물체의 ‘관성 모멘트’는 모양만으로 정해지지 않고 속 내용물이 함께 돌아 줄지에 달렸다는 것, 그리고 점도가 낮은 물은 대개 함께 돌기를 거부한다는 것이 이 실험의 핵심이다. 다만 중간 채움 비율·중간 점도에서는 자유표면의 출렁임(슬로싱)과 자라나는 경계층 때문에 운동이 시간에 따라 변해(등가속이 아니라) 가속도 하나로 깔끔히 요약되지 않는다. 실제 캔이 두 극한 모형에서 어긋나는 그 지점이 이 문제가 감춰 둔 복잡함이다.

더 탐구하기

1. 물을 글리세린 수용액으로 조금씩 바꿔 전 범위를 훑으며, 캔이 ‘물처럼 빠른’ 비점성 쪽에서 ‘강체처럼 느린’ 쪽으로 건너가는 경계를 찾아보자 — 그 중간 지점을 점도·경계층의 대략적 척도와 이어 본다.

2. 경사각 θ를 완만한 각에서 가파른 각까지 바꿔 보자. 완경사에서는 속도가 거의 일정한 준정상 굴림과 가벼운 흔들림이, 급경사에서는 계속되는 가속이 나타나는지 살핀다(Balmforth 외의 두 거동).

3. 물 대신 마른 모래나 쌀을 채워 굴려 보자 — 알갱이는 서로 맞물려 고체처럼 함께 돌거나 갑자기 무너지며(사태) 흐르니, 액체와는 다른 방식으로 유효 관성을 바꾼다.

연결 주제

같은 해 IYPT 2000 문제 7 ‘회전목마 위의 부력’ — 액체가 용기와 함께 도는지 아닌지를 가르는 스핀업 시간 (ρ/μ)R²과 점도 조절용 글리세린을 똑같이 쓴다. 그쪽은 용기가 제자리에서 돌고 이쪽은 굴러갈 뿐, 점도가 낮은 물이 벽을 따라 돌기를 거부한다는 뼈대가 같다. IYPT 2014 문제 5 ‘추달린굴렁쇠’ — 경사·고속 촬영·Tracker로 굴림을 읽고 관성 모멘트로 속도를 설명하는 측정 도구가 그대로 겹친다(그쪽은 고정된 편심 추, 이쪽은 뒤처지는 액체가 굴림을 바꾼다).

참고문헌

[학생] 스토니브룩대 물리 시범 “Cans on Inclined Plane — With and Without Water”(똑같은 두 캔 중 물을 채운 캔이 먼저 내려온다 — 점도가 낮은 물이 캔과 함께 돌지 않아 미끄러지듯 실려 내려가기 때문) · 하버드 자연과학 시범 “Rolling Down an Incline”(같은 지름의 테와 원판을 굴려 관성 모멘트가 굴림 속도를 가르는 기준을 보인다) / 영상 검색어 “rolling can water empty race”, “물 채운 캔 굴리기” / [심화] K. A. Jackson · J. E. Finck · C. R. Bednarski · L. R. Clifford, “Viscous and nonviscous models of the partially filled rolling can,” American Journal of Physics 64(3), 277–282, 1996, DOI 10.1119/1.18215 (탄산음료 캔에 물의 양을 바꿔 가며 경사면 굴림 운동을 재어 그 거동이 매우 복잡함을 보이고, ‘비점성 유체’와 ‘무한 점성 유체’ 두 극한 모형으로 감쌌다 — 이 편이 그대로 따르는 원전) · S. Lin 외, “Simple Model of a Rolling Water-Filled Bottle on an Inclined Ramp,” The Physics Teacher 53(9), 548–549, 2015, DOI 10.1119/1.4935768 (약 5°에서 2 L 페트병으로 실험 — 물을 가득 채운 병은 ‘마찰 없는 물’ 모형, 곧 미끄러지는 점질량처럼 움직이고, 얼려서 얼음이 된 병은 강체 원통 굴림 모형에 맞았다) · N. J. Balmforth · J. W. M. Bush · D. Vener · W. R. Young, “Dissipative descent: rocking and rolling down an incline,” Journal of Fluid Mechanics 590, 295–318, 2007, DOI 10.1017/S0022112007008051 (점성 유체를 채우고 그 안에 별도의 고체 원통을 품은 껍질(저널 베어링 모형)을 굴려, 급경사에서는 가속하고 완경사에서는 흔들리며 평균 속도가 일정한 준정상 굴림을 하는 두 거동을 실험·해석으로 규명 — 다만 자유표면이 있는 부분충전 캔과 달리 속을 꽉 채운 이상화다) · R. B. Supekar · M. V. Panchagnula, “Dynamics and stability of a fluid filled cylinder rolling on an inclined plane,” arXiv:1408.6654, 2014 (유체를 꽉 채운 원통 껍질의 굴림을 2차원으로 해석해, 종단 상태의 가속도가 점도와 무관하게 껍질–유체 질량비만으로 정해지고 레이놀즈 수 약 5.6에서 흐름이 불안정해짐을 보인 프리프린트 — 아직 미간행) . ※ 두 극한 모형(비점성·강체)과 ‘꽉 채운 껍질’ 해석은 잘 서 있으나, 정작 IYPT가 낸 ‘부분적으로 찬 캔’의 자유표면·슬로싱과 중간 채움 비율·중간 점도에서 시간에 따라 변하는(등가속이 아닌) 가속, 그리고 물–글리세린을 섞어 비점성 극한에서 강체 극한으로 건너가는 경계를 학교 캔으로 직접 재는 일이 이 탐구의 개방 지점이다.