가장 멀리 날아가는 돌의 무게 — 돌 던지기

탐구 주제

IYPT 2000 문제 11 ‘Throwing stone’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2000 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(힘·운동·자유 낙하) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(중력을 받는 물체의 운동) · 과학탐구실험1(측정·변인 통제·정확도) / 물리학 「힘과 에너지」(포물선 운동·운동량·일과 에너지) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」(포물선 운동·상대 속도) — 공기 항력과 근육의 힘–속도 관계는 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

포물선 운동, 발사 속도, 발사 각도, 사거리, 공기 저항(항력), 항력 계수, 질량 대 단면적 비(탄도 계수), 밀도, 일과 운동 에너지, 근육의 힘–속도 관계(힐 방정식), 팔의 유효 질량, 관성, 최적화, 기하학적 스케일링

원리 살펴보기

공을 던져 멀리 보내려면 무거운 돌이 좋을까, 가벼운 돌이 좋을까? 학교에서 배우는 포물선 운동은 “질량은 상관없다”고 답한다 — 진공에서 사거리는 R = v²sin2θ/g라, 무게가 식에 아예 나오지 않기 때문이다. 하지만 현실은 다르다. 바위는 아무리 애써도 빠르게 못 던지고, 깃털은 던지는 순간 멈춰 버린다. 식에 무게가 없다는 말은 “같은 속도로 던졌을 때” 무게가 상관없다는 뜻일 뿐, 정작 얼마나 빠르게 던질 수 있는지는 무게가 정한다. 여기에 공기 저항까지 끼어들면, 이 문제의 답 — 가장 멀리 가는 돌의 무게 — 은 두 가지가 맞물려 정해진다.

첫째 손잡이는 던지는 사람이다. 팔이 돌을 일정한 거리만큼 밀어 던진다고 보면 발사 속도는 v = √(2Fl/m)이 되어, 가벼울수록 빠르다. 그런데 팔에는 팔 자신의 무게가 있다. 돌이 아주 가벼워지면 힘의 대부분이 제 손과 아래팔을 휘두르는 데 쓰여, 속도는 더 오르지 못하고 팔이 낼 수 있는 최대 속도에서 멈춘다. 크로스는 던진 물체의 질량을 60배 늘려도 발사 속도는 2.4배 줄어드는 데 그쳤고, 무거운 물체에 더 큰 힘이 실리는 것도 근육의 마법이 아니라 대부분 관성 때문임을 실측으로 보였다. 그래서 공기가 없다면 가벼울수록 (조금씩) 더 멀리 갈 뿐, “가장 좋은 무게” 같은 건 없다. 둘째 손잡이가 그 그림을 뒤집는다 — 공기 저항이다. 항력은 무게를 가리지 않으므로 가벼운 것일수록 속도를 세게 깎는다(탁구공은 아무리 세게 쳐도 멀리는 못 날아가 몇 미터 만에 힘을 잃는다). 게다가 돌은 밀도가 정해져 있어 가벼운 돌은 곧 작은 돌이고, 작을수록 항력이 속도를 더 빨리 갉아먹는다. 가벼우면 항력에 지고 무거우면 느리게 던져지니, 그 사이 어딘가에 가장 멀리 가는 무게가 생긴다 — 손에 쥐기 좋은 크기의 돌이다. 다만 그 최적을 정하는 것이 팔의 한계인지 공기 저항인지가 바로 이 탐구가 가릴 대상이다.

무엇을 얼마나 무겁게 만들어 던지느냐의 물음은 현장 곳곳에 있다. 스포츠 공학과 투척 훈련(무게가 다른 공으로 던지게 해 선수의 약점이 속도인지 힘인지 가려낸다), 탄도학과 발사체 설계(발사체의 질량과 구경을 사거리·항력에 맞춰 고른다), 스포츠 용구 규격(야구공·크리켓공의 무게가 사람이 가장 멀리 던질 수 있는 값 언저리에 놓여 있다), 생체역학과 재활(근육의 힘–속도 관계를 살펴 던지기 부상을 예방한다)에 두루 닿아 있다.

실험 설계

준비물

지름·모양이 같고 속을 모래·금속·스펀지로 채워 질량만 다르게 만든 공 한 벌, 밀도가 비슷하고 크기가 점점 커지는 돌(또는 같은 밀도의 구슬) 한 벌, 0.1 g까지 재는 전자저울, 넓게 트인 운동장, 줄자와 낙하점 표식, 스마트폰(고속 촬영)과 삼각대, 거리·각도 기준 스케일, 바람을 확인할 리본, 보안경과 경계 표시.

변인

독립변인은 던지는 물체의 질량 m이다(전자저울로 재며 한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 던진 물체가 땅에 떨어진 곳까지의 수평 도달 거리 R이며, 고속 영상에서 발사 직후의 속도 v와 발사 각도도 함께 읽는다. 통제변인은 던지는 사람과 던지기 동작, 발사 각도(약 40°로 최대한 일정하게), 발사 높이, 조주 방식, 무풍 조건, 같은 지면과 측정법이다. 물체는 두 계열로 준비한다 — (가) 지름·모양이 같고 질량만 다른 세트(항력 단면을 고정해 던지는 사람의 역학만 분리), (나) 밀도가 같고 크기·질량이 함께 커지는 세트(진짜 ‘돌’의 물음). 심화 단계에서는 발사 각도를 제2 독립변인으로 둔다.

실험 순서

1. 두 물체 세트를 만든다 — (가) 지름이 같은 공·캡슐에 모래·금속·스펀지를 채워 질량만 다르게(단면적 고정), (나) 밀도가 비슷하고 크기가 점점 커지는 돌·구슬. 각각의 질량을 전자저울로 재어 적어 둔다.

2. 넓고 빈 운동장에서 던지는 방향을 하나로 정하고, 그 앞쪽 낙하 구역에 사람·기물이 없도록 비운다. 던지는 선과 나란히 줄자를 깔거나 일정 간격으로 표식을 세우고, 옆에는 키 큰 기준 스케일과 각도 기준을 둔다.

3. 한 사람이 늘 같은 동작과 같은 발사 각도(약 40°)로 (가) 세트를 던지되, 순서는 회마다 무작위로 섞거나 오름·내림을 번갈아 하고 시행 사이 일정한 휴식과 본 측정 전 연습 던지기를 둔다 — 연습·피로가 질량 순서에 얹히지 않게 하기 위해서다. 낙하점까지의 수평 거리 R을 잰다(질량마다 여러 번). 던지는 옆면을 고속으로 촬영해 발사 순간의 속도 v와 실제 각도를 기준 스케일과 함께 읽는다.

4. (나) 세트로 3단계를 그대로 되풀이해, 크기와 질량이 함께 커지는 ‘진짜 돌’의 도달 거리를 같은 방식으로 모은다.

5. 질량마다 R의 평균과 흩어짐을 구한다. 이어 영상에서 읽은 v로 진공 예측 거리 v²sin2θ/g를 계산해 실제 R과 견주면, 그 차이가 공기 저항이 먹은 몫이다.

6. (심화) 발사 각도를 30°·45°로도 던지거나 바람이 있는 날 되풀이해, 봉우리의 위치(최적 질량)와 최적 각도가 각도·바람에 얼마나 흔들리는지 살핀다.

안전 안내

이 실험의 가장 큰 위험은 던진 물체가 사람이나 기물을 맞히는 것이다. 반드시 사방이 넓게 트인 운동장에서, 던지는 방향과 그 옆으로 사람·창문·자동차가 없는 낙하 구역을 확인하고 시작한다. 던지는 방향은 하나로 고정하고, 관찰자는 모두 던지는 사람 뒤에 서며, 한 사람이 낙하 구역을 지켜본다. 물체는 모두가 던지기를 멈춘 뒤에만 주우러 간다. 던지기 전 어깨·팔꿈치를 충분히 풀어 관절을 다치지 않게 하고, 날카로운 돌 대신 둥근 물체나 무게를 채운 콩주머니를 쓰면 더 안전하다. 도로 쪽으로는 절대 던지지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

돌을 점점 가볍게 하면 끝없이 더 멀리 날아갈까, 아니면 어떤 무게에서 가장 멀리 가고 그보다 가벼우면 오히려 덜 갈까? 그리고 그 가장 좋은 무게를 정하는 것은 던지는 팔일까, 공기 저항일까?

자료 정리

질량별 도달 거리 R의 평균과 흩어짐을 표로 모아, 가로축 질량 m·세로축 R로 두 계열(가·나)을 각각 그린다 — (나) 계열에서 안쪽으로 솟은 최고점의 가로 위치가 곧 최적 질량이다. 발사 속도는 가로축 m·세로축 v로 그려 가벼운 쪽에서 평평해지는 포화가 나타나는지 본다. 나아가 각 질량에서 실측한 v와 각도 θ로 계산한 진공 예측 거리 v²sin2θ/g와 실제 R의 차이를 m에 대해 그리면, 그 차이가 공기 저항이 먹은 몫이라 최적이 항력에서 오는지 팔에서 오는지 갈라낼 수 있다(발사 높이를 통제했으니 질량 사이 비교에는 이 근사로 충분하고, 엄밀히는 발사 높이를 넣은 진공 사거리와 견준다). (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

같은 크기 세트(가)에서 발사 속도는 가벼울수록 커지다 팔의 한계에서 평평해지고, 공기가 없다면 거리는 그저 가벼울수록 늘 뿐 안쪽 최적이 없을 것으로 예상된다 — 무거운 포환·해머일수록 짧게 날아간다는 보고와 같은 방향이다. 진짜 돌 세트(나)에서 비로소 안쪽 최고점이 나타나는데, 그 봉우리를 만드는 것은 다름 아닌 공기 저항이 가벼운(작은) 돌의 속도를 깎아 내린 결과일 것으로 보인다. 최적 질량은 손에 쥐기 좋은 100~300 g 안팎 — 야구공·크리켓공 무게 언저리 — 로 예상되지만, 값 자체보다 중요한 것은 그 위치를 정하는 지배 요인이다. 최적이 팔의 유효 질량(속도가 포화하는 무게)에서 오는지, 공기 항력(작은 돌이 감속되는 정도)에서 오는지를 v–m 포화와 항력 몫으로 갈라내는 것이 이 탐구의 핵심이다. 아직 파일럿 전이므로 이 모두는 예상이며, 던지는 사람·바람·발사 각도에 따라 봉우리는 옮겨 갈 수 있다.

더 탐구하기

1. (가) 세트로 v–m 그래프의 포화를 확인하고, 속도가 평평해지기 시작하는 질량이 자기 손과 아래팔의 무게(팔의 ‘유효 질량’)와 얼추 비슷한지 견주어 보자.

2. 팔 길이·근력이 다른 여러 사람이 같은 세트를 던져 최적 질량이 사람마다 다른지 보자 — 최적이 팔의 유효 질량에 묶여 있다면 사람에 따라 봉우리가 옮겨 갈 것이다.

3. 매끈한 공과 거친 돌, 또는 바람이 있는 날과 없는 날로 항력을 바꿔 던져, 최적 질량이 공기 저항에 얼마나 민감하게 움직이는지 정량화해 보자.

4. 발사 각도를 30°·40°·45°로 바꿔 최적 질량과 최적 각도가 함께 어떻게 움직이는지, 사람이 왜 45°보다 낮은 각으로 던지는 것이 유리한지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 1999 문제 5 ‘떨어지는 종이’ — 공기 저항이 가벼운 물체의 운동을 지배하는 바로 그 영역으로, 너무 가벼운 돌이 사거리를 잃는 까닭(둘째 손잡이)과 같은 항력 물리를 다루고 고속 영상 분석도 겹친다. IYPT 2024 문제 16 ‘쿠션 캐터펄트’ — “발사(exit) 속도가 관련 변수에 어떻게 의존하는가”를 고속 영상으로 재는 같은 측정 틀을 쓴다(그쪽 발사는 근육이 아니라 충돌에 의한 속도 증폭이라 기제는 다르다).

참고문헌

[학생] Rod Cross, ‘Trajectories’ (물리 교육 웹자료, University of Sydney) — 가벼운 공일수록 항력이 속도를 세게 깎아 테니스공은 비행 중 약 25 % 느려진다고 설명한다(둘째 손잡이의 학생용 근거) · 영상 검색어 “projectile motion with air resistance” / [심화] R. Cross, “Physics of overarm throwing,” American Journal of Physics 72(3), 305–312, 2004, DOI 10.1119/1.1634964 (사람이 던진 물체의 발사 속도가 질량에 약하게만 의존함을 실측 — 질량 60배에 속도는 2.4배 감소, 무거운 물체에 실리는 큰 힘도 대부분 근육이 아닌 관성 효과임을 보였다. 첫째 손잡이의 직접 근거이나 공기 저항은 다루지 않는다) · J. H. Challis, “The relationship between ball mass and throw distance,” International Journal of Sports Science & Coaching 19(5), 1940–1949, 2024, DOI 10.1177/17479541241247308 (포환·해머(5.5~11.5 kg)의 던지기 거리가 질량에 단조 감소함을 스케일링으로 유도·검증 — 무거운 도구 영역이라 내부 최적이나 항력은 다루지 않는다) · N. P. Linthorne, “Throwing and jumping for maximum horizontal range,” arXiv:physics/0601148, 2006 (발사 국면을 일정한 힘의 일로 보아 v=√(2Fl/m)을 세우고, 최적 발사 각도가 여러 종목에서 45°보다 상당히 낮음을 보였다 — 발사 각도를 통제변인으로 두는 근거이며, 질량은 최적화하지 않는다) · P. Fasbender 외, “Optimal mass of the arm segments in throwing,” European Journal of Sport Science 21(1), 45–52, 2021, DOI 10.1080/17461391.2020.1730446 (2차원 시뮬레이션으로 공 58 g 고정 시 팔 분절 질량의 최적(위팔 5~6 kg)을 보고 — 발사 속도가 팔의 관성 배치에 달렸다는 방증이나 최적화 대상은 팔이다). ※ 위 문헌들은 (i) 항력이 거의 없는 무거운 도구의 역학(가벼울수록 멀리, 내부 최적 없음)과 (ii) 항력이 가벼운 물체를 깎는다는 사실을 각각 덮을 뿐, 밀도가 정해진 ‘돌’에서 크기·질량·항력이 얽힐 때 최적 질량의 위치와 그 지배 요인(팔의 유효 질량인지 공기 항력인지)을 한 실험에서 직접 가른 문헌은 찾지 못했다 — 이것이 이 탐구의 개방 지점이다.