왜 센 전구에서 더 멀찍이 설까 — 두 전구 사이 탁구공의 밝기 균형

탐구 주제

IYPT 2000 문제 14 ‘Illumination’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2000 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(빛의 직진·밝기, 빛과 거리) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(조명의 에너지 효율) · 과학탐구실험1(측정·정확도·오차) / 물리학 「빛과 물질」(빛의 성질과 검출) · 진로선택 「전자기와 양자」 중 「빛과 물질」(흑체 복사와 빛의 방출) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

조도, 조도의 역제곱 법칙, 광도, 광속(광선속), 발광 효율, 광도측정(측광), 휘도, 확산 반사(램버트면), 흑체 복사, 슈테판–볼츠만 법칙, 빈 변위 법칙, 색온도, 시감 효능, 광도계(분젠·럼퍼드), 영점(널) 비교법, 베버–페히너 법칙, 이색 밝기 대응, 점광원 근사, 정확도·오차 전파

원리 살펴보기

탁구공은 왜 소비전력이 큰 전구 쪽으로 다가가지 않고 오히려 멀찍이 설까? 빛을 받는 면의 밝기, 곧 조도는 광원의 광도를 거리의 제곱으로 나눈 값이다(E = I/d²). 공의 양면이 똑같이 밝으려면 두 면의 조도가 같아야 하므로 I₁/d₁² = I₂/d₂²이고, 이를 정리하면 공은 두 전구의 광도 비의 제곱근만큼 떨어진 자리에서 균형을 이룬다 — d₁/d₂ = √(I₁/I₂). 광도가 큰 전구에서 더 멀리 서는 것이고, 그 거리 차이는 광도 비 자체가 아니라 그 제곱근이라 한결 완만하다.

그런데 광도가 소비전력에 비례한다고 넘겨짚으면 함정에 빠진다. 전력을 100:40, 곧 2.5배로 보면 균형점이 √2.5 ≈ 1.58배 떨어진 곳일 듯하지만, 백열전구의 광도는 전력에 비례하지 않는다. 100 W 전구는 필라멘트가 40 W보다 더 뜨겁게 달아오르고, 온도가 높을수록 빈 변위 법칙에 따라 복사가 가시광 쪽으로 옮겨 가며 슈테판–볼츠만 법칙에 따라 총복사도 급히 는다. 그래서 전력 1 W가 눈에 보이는 빛으로 바뀌는 비율, 곧 발광 효율이 고와트 전구에서 더 높다 — 40 W는 약 10.4 lm/W, 100 W는 약 13.8 lm/W다. 전력에 효율을 곱해 실제 광속을 견주면 100 W는 40 W의 2.5배가 아니라 약 3.3배 밝고(100×13.8 ÷ 40×10.4), 따라서 공은 소박한 예측 1.58배보다 더 멀리, √3.3 ≈ 1.8배 떨어진 자리에서 100 W 전구와 균형을 이룬다.

이 균형 찾기는 사실 하나의 광도계다. 사람 눈은 두 밝기의 절대값을 재는 데는 서툴러도 나란한 두 면이 같은지 아닌지는 예민하게 가려내므로(영점 비교), 옛 분젠·럼퍼드 광도계가 바로 이 원리로 광원의 광도를 견주었다. 같은 발상이 오늘도 일한다. 조명 설계(작업면 조도 기준을 역제곱 법칙으로 배치), 사진·영상 조명(주광과 보조광의 세기 비를 거리로 조절하는 라이팅), 휘도계·조도계 교정(기준 광원과의 비교로 계기를 맞춤), 에너지 라벨링(전구를 와트가 아니라 광속(lm)으로 표기하게 된 이유)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

100 W와 40 W 백열전구(같은 계열·같은 전압), 소켓 2개, 탁구공과 가는 지지대, 곧은 자·광학 레일(또는 줄자), 조도계(또는 스마트폰 조도 앱), 검은 천이나 암막(주변광 차단), 스마트폰 카메라(고정 노출 촬영용), (선택) 같은 광속의 LED 전구, 색 필터, 목장갑.

변인

독립변인은 두 전구를 잇는 직선 위에서 정한 탁구공의 위치, 곧 100 W 전구로부터의 거리 d₁이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 공의 두 반구의 밝기 차이로, 양면의 조도를 조도계로 재어 그 차(또는 비)로 나타내거나 고정 노출로 찍은 사진의 화소값으로 읽는다 — 이 차가 0이 되는 위치가 균형점이다. 통제변인은 두 전구의 종류·정격·구동 전압, 두 전구 사이 총 거리 L, 전구·공·관측선의 정렬, 주변 조명(암실), 공의 표면·크기, 전구를 켠 뒤 광출력이 안정될 때까지의 예열 시간, 카메라 노출·화이트밸런스이다.

실험 순서

1. 두 전구를 총 거리 L만큼 떨어뜨려 마주 보게 켜고 광출력이 안정되도록 몇 분 예열한다. 주변광을 암막으로 막아 두 전구 외의 빛을 없앤다 — 주변광은 밝기 판정을 흐리는 가장 큰 계통 오차원이다.

2. 공을 놓기 전에 각 전구의 광도부터 잰다. 조도계를 전구에서 같은 거리에 두고 조도를 읽어 E×d²로 광도 I₁, I₂를 구하고, 그 비 I₁/I₂를 전력 비 2.5와 견준다. 거리는 전구 지름의 5배 이상으로 잡고, 두세 거리에서 E×d²가 일정한지 확인한 뒤 그 비를 쓴다.

3. 잰 광도 비로 균형점을 예측한다 — d₁/d₂ = √(I₁/I₂)로 100 W 전구로부터의 예상 거리 d₁을 계산한다.

4. 탁구공을 두 전구를 잇는 직선 위에 놓고 위치를 조금씩 옮기며 양 반구의 조도(또는 사진 화소값)를 재어, 두 값이 같아지는 자리를 찾는다(조건마다 3회). 조도는 공을 잠시 치운 자리에서 센서를 각 전구 쪽으로 향해 재고, 사진은 공을 화면 중앙에 두고 좌우 대칭 위치를 견주며, 전구를 맞바꿔 비대칭을 상쇄한다. 눈으로 같아 보이는 자리도 먼저 적어 둔다.

5. 측정한 균형 위치를 ③의 예측, 그리고 전력 비만으로 어림한 √2.5 ≈ 1.58배 위치와 나란히 비교한다.

안전 안내

켜 둔 백열전구의 유리구는 100 °C를 훌쩍 넘어 수백 °C까지 오른다 — 맨손으로 잡지 말고 충분히 식힌 뒤 옮기며 목장갑을 낀다. 유리가 깨지면 날카로운 파편과 뜨거운 필라멘트가 튀므로 보안경을 쓰고, 공·자를 전구에 무리하게 밀어붙이지 않는다. 100 W·40 W 전구는 220 V 상용 전원을 쓰므로 감전 위험이 크다 — 젖은 손을 금하고, 소켓·배선의 충전부가 드러나지 않게 하며, 위치를 바꿀 때는 전원을 끄고 만진다. 전구 가까이서 밝은 빛을 오래 직시하지 말고, 발열로 주변의 종이·천이 마르거나 그을리지 않도록 간격을 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

두 전구의 소비전력 비가 100:40 = 2.5이니, 공은 100 W 전구에서 √2.5 ≈ 1.58배 먼 자리에서 균형을 이룰까? 아니면 그보다 더 멀리 설까? 그리고 두 반구는 밝기만 다를까, 색까지 다를까?

자료 정리

공의 위치 d₁을 가로축에, 양 반구의 조도 차(100 W 쪽 − 40 W 쪽)를 세로축에 찍으면 0을 가로지르는 선이 되고, 그 영점이 균형 위치다. 여기에 ②에서 잰 광도 비로 계산한 예측 위치와 전력 비(2.5)만으로 어림한 위치를 세로선으로 함께 표시해, 실제 균형점이 어느 예측에 가까운지 본다. 각 전구의 광도(cd)와 광도/전력 비를 표로 정리해 고와트 전구 쪽이 큰지 확인한다 — 배광이 비슷한 같은 계열 전구라면 이 비는 발광 효율(광속/전력, lm/W)의 크기 관계를 대신 보여 준다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

공은 소비전력 비로 어림한 1.58배보다 더 멀리, 100 W 전구에서 대략 1.8배 떨어진 자리에서 균형을 이룰 것으로 예상된다. 겉보기 밝기를 정하는 것은 소비한 전력이 아니라 실제로 나온 광속이며, 고와트 백열전구일수록 전력이 빛으로 바뀌는 효율이 높기 때문이다. 측정한 광도 비(약 3.3)가 전력 비(2.5)보다 크게 나오면, 그 차이가 곧 발광 효율의 차이를 드러낸 셈이다. 다만 ‘똑같이 밝아 보인다’는 판정 자체가 열린 물음이다. 눈은 두 면이 같은지 가리는 영점 검출기로는 뛰어나지만, 100 W 쪽은 더 희고 40 W 쪽은 더 붉어 두 반구는 밝기뿐 아니라 색이 다르므로, 서로 다른 색의 밝기를 맞추는 일에는 정답이 하나로 정해지지 않는다. 그래서 조도계로 잰 균형점과 눈으로 찾은 균형점이 어긋날 수 있고, 그 어긋남의 크기가 이 실험이 던지는 진짜 질문이다.

더 탐구하기

1. 눈으로 찾은 균형점이 관측자마다 얼마나 달라지는지, 계기의 영점과는 얼마나 어긋나는지 재어 보자.

2. 40 W 전구를 같은 광속(lm)의 LED 전구로 바꿔 보자. 소비전력은 훨씬 작아도 균형점이 백열 40 W일 때와 같게 나오면, 균형을 정하는 것이 전력이 아니라 광속임이 분명해진다.

3. 두 전구 사이 총 거리 L을 여러 값으로 바꾸며 균형점을 다시 찾아, 전구를 점광원으로 본 역제곱 근사가 가까운 거리에서 어긋나는지 확인해 보자.

4. 붉은 필터와 파란 필터를 번갈아 공 앞에 두고 균형점을 다시 찾아, 색이 다른 두 반구의 밝기 대응이 필터에 따라 어떻게 흔들리는지 살펴보자.

연결 주제

같은 해 문제 6 ‘신호 전송(전구 광통신)’ — 백열 필라멘트의 온도와 그 열복사가 빛의 세기를 정한다는 바로 그 물리를 공유한다. 그 원고가 다룬 슈테판–볼츠만 법칙과 필라멘트 온도가, 이 원고에서는 고와트 전구의 발광 효율이 왜 더 높은지를 설명한다. 1988년 문제 11 ‘백열전구(밝기 비교)’ — 전구의 밝기를 견주는 같은 주제의 앞선 문제로, 광도계식 비교와 발광 효율 논의를 그대로 이어 갈 수 있다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘발광 효율(Luminous efficacy)’ — 백열전구의 광효율이 40 W 약 10.4 lm/W에서 100 W 약 13.8 lm/W(230 V)로 정격이 클수록 높아짐을 표로 보여 준다(230 V 기준) · 위키백과 ‘광도계(Photometer)’와 phy6.org ‘Grease Spot Photometer’ — 두 면의 밝기가 같아지는 자리로 광원을 견주는 영점 비교 광도계(분젠·럼퍼드)의 원리 / 영상 검색어 “inverse square law light lux meter”, “grease spot photometer” / [심화] C. I. Ribeiro, “Blackbody Radiation from an Incandescent Lamp,” The Physics Teacher 52(6), 371–372, 2014, DOI 10.1119/1.4893096 (백열전구에 거는 전력을 바꿔 가며 필라멘트 온도를 계산하고, 그때의 색과 밝기를 슈테판–볼츠만·빈 변위 법칙으로 모의한 흑체 스펙트럼과 눈으로 견주는 교육 활동이다 — 전력이 클수록 필라멘트가 뜨거워져 빛이 가시광 쪽으로 옮겨 간다는, 고와트 전구가 더 효율적인 까닭의 바탕이다. 실제 스펙트럼 측정이나 효율의 정량 측정은 하지 않는다) · C. Stari · M. Abreu · M. Monteiro · A. C. Martí, “Light illuminance does not always decay with the inverse of the square of the distance: an open-inquiry laboratory,” Journal of Physics: Conference Series 3203, 012019, 2026, DOI 10.1088/1742-6596/3203/1/012019 (스마트폰 조도 센서로 점·선·면·고리 모양 광원의 조도가 거리에 따라 어떻게 줄어드는지 재어, 역제곱 법칙이 점광원에 충분히 멀 때만 성립하고 퍼진 광원에서는 더 완만히 — 선형이거나 거의 일정하게 — 줄어듦을 보였다. 이 원고의 점광원 근사가 언제 깨지는지에 대한 직접 근거다). ※ 역제곱 법칙과 발광 효율의 전력 의존성은 문헌이 뒷받침한다. 그러나 위 문헌 어느 것도 ‘똑같이 밝아 보인다’를 정의하지 않는다. 조도계로 재는 물리적 등조도인지, 눈으로 느끼는 등밝기(베버–페히너)인지, 게다가 두 반구의 색이 서로 달라 이색(異色) 밝기를 맞춰야 하는 문제까지 겹친다. 이 조작적 정의와, 퍼진 전구를 점광원으로 본 근사가 가까운 거리에서 얼마나 어긋나는지가 이 탐구의 개방 지점이다.