2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2000 · 문제 7 · 강체·회전, 유체역학

가벼운 공은 바깥이 아니라 안으로 — 회전목마 위의 부력

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2000 문제 7 ‘Merry-go-round’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2000 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학(밀도와 부력, 힘과 운동) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템 — 중력과 힘의 평형) · 과학탐구실험1(변인 통제, 측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(힘의 평형과 알짜힘) / 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」(등속 원운동과 구심 가속도) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

부력, 아르키메데스 원리, 점성 계수, 스토크스 법칙, 종단 속도, 레이놀즈 수, 벽 효과 보정, 등속 원운동, 구심 가속도, 회전 좌표계, 유효 중력, 원심 부력, 압력 구배, 회전 포물면(뉴턴 물통), 강체 회전, 스핀업 시간, 코리올리 힘

원리 살펴보기

가벼운 공을 물속 바닥에서 놓으면 눈 깜짝할 사이에 튀어 오른다. 이걸 몇 초에 걸쳐 천천히 오르게 하려면 무엇을 바꿔야 할까? 공에 걸리는 힘은 둘뿐이다. 부력에서 제 무게를 뺀 알짜 힘이 위로 밀고, 점성 항력이 붙잡는다. 둘이 맞먹으면 속도가 더 늘지 않는다 — 종단 속도다. 느린 흐름에서 항력은 스토크스 법칙을 따라 u = 2a²Δρg/(9μ)가 된다(a는 반지름, Δρ는 밀도차, μ는 점성 계수). 그러니 시간을 늘리는 손잡이는 둘 — μ를 키우거나 Δρ를 줄이는 것이다. 물에 글리세린을 타면 점성이 수백 배까지 오르는데 밀도도 함께 오르니, 농도라는 손잡이 하나가 두 값을 한 곡선 위에서 끌고 간다 — 문제가 “용액의 성질을 고르라”고 말하는 이유다.

이제 잔을 회전 원판에 올린다. 상식은 “가벼우니 바깥으로 밀리겠지”라 하지만 반대다. 회전하는 용액에는 바깥으로 갈수록 압력이 높아지는 구배가 생겨, 그 구배가 만드는 부력은 가벼운 공을 회전축 쪽, 곧 안쪽으로 민다 — 커브를 도는 차 안의 헬륨 풍선과 같다. 중력과 원심 가속도를 합친 유효 중력이 바깥·아래로 기울고, 수면은 거기 수직인 회전 포물면이 된다. 시간의 답은 한 겹 더 깊다. 잔을 원판 한가운데에 놓으면 축 위에서는 원심 효과가 0이라 오르는 빠르기가 조금도 변하지 않는다 — 대신 수면 한가운데가 Ω²R²/(4g)만큼 내려앉아 갈 거리가 짧아지고, 딱 그만큼만 시간이 준다(R은 잔의 반지름). 회전은 공을 재촉한 게 아니라 목적지를 끌어내린 셈이다.

이 원리는 현장에서 일한다. 원심분리기(시료를 돌려 무거운 성분은 바깥으로, 기포는 축으로 모은다), 낙구식 점도계(구의 종단 속도로 점도를 재는 계측), 액체 거울 망원경(회전 포물면을 그대로 반사경으로 쓴다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

글리세린과 증류수, 전자저울, 벽이 곧은 투명 유리잔, 지름 2~4 mm의 가벼운 알갱이(발포 폴리스타이렌 구슬 등)와 그 안에 박을 아주 작은 강철 핀, 잔 바닥 밑에 둘 자석, 속도 조절이 되는 회전 원판과 잔을 묶을 클램프, 회전수 측정(태코미터 앱 등), 스마트폰(고속 촬영), 온도계, 눈금 스티커, 보안경.

변인

독립변인은 회전 원판의 각속도 Ω이다(회전수를 rad/s로 환산하며 한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 공이 놓인 뒤 수면에 닿기까지의 상승 시간 t로, 고속 촬영 영상의 프레임을 세어 읽는다. 통제변인은 용액의 글리세린 질량비와 온도, 같은 공을 회수해 되풀이 쓰는 것, 잔의 반지름 R과 깊이 h, 공을 놓는 위치(바닥 한가운데), 잔을 회전축에 두는 것이다. 절차 ⑤에서는 잔을 축에서 떨어뜨린 거리 L을 제2 독립변인으로 둔다.

실험 순서

  1. 글리세린과 증류수를 질량비로 섞어(85~95 % 언저리) 온도가 실온과 같아진 뒤 기록한다. 잔에 깊이 h만큼 붓고, 강철 핀을 박은 알갱이를 바닥 한가운데에 자석으로 붙든다.

  2. 원판을 멈춘 채(Ω=0) 자석을 빼 공을 놓고 수면에 닿기까지의 시간을 고속 촬영으로 잰다. 이 시간이 “몇 초”가 되도록 농도나 공의 지름을 조정한다 — 여기까지가 문제의 첫 절반, 용액 설계다.

  3. 잔을 원판 한가운데에 클램프로 단단히 고정하고 Ω로 돌린다. 수면이 회전 포물면으로 자리 잡고 용액이 강체 회전에 들 때까지 기다린다(눈대중은 스핀업 시간 (ρ/μ)R²의 몇 배 — 95 % 언저리면 한 배가 몇 초지만 85 %면 10~20 초로 늘어난다. 시간을 믿지 말고 옆 화면에서 수면 중심 깊이가 더 변하지 않는 것을 확인한 뒤 공을 놓는다).

  4. 같은 방식으로 상승 시간을 재고 Ω를 바꿔 되풀이한다(조건마다 3회). 사이사이에 Ω=0 기준 측정을 끼워 온도 표류를 상쇄하고, 옆에서도 찍어 수면 중심이 내려앉은 깊이를 함께 잰다.

  5. (제2 독립변인) 잔을 축에서 거리 L만큼 옮겨 ③~④를 되풀이한다. 윗면도 촬영해 공이 바깥이 아니라 축 쪽으로 밀리는지, 안쪽 벽에 닿는지 본다.

안전 안내

⚠ 안전

회전 원판 위의 잔은 반드시 클램프로 단단히 고정한다 — 고정하지 않으면 미끄러져 날아가 깨진다. 회전부에 머리카락·소매·목걸이가 감기지 않게 묶고 걷어 올리며, 도는 동안에는 원판 옆이 아니라 뒤로 물러서서 본다. 회전이 빠를수록 용액이 잔 벽을 타고 올라오니 여유 높이를 넉넉히 남기고, 넘칠 것 같으면 속도를 낮춘다. 글리세린은 바닥에 흐르면 몹시 미끄러우니 즉시 닦고, 눈에 들어가면 흐르는 물로 씻는다. 보안경을 쓰고, 유리 대신 투명 아크릴 통이면 더 좋다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

원판을 돌리면 공이 떠오르는 데 걸리는 시간은 길어질까, 짧아질까, 그대로일까? 그리고 공은 바깥쪽 벽으로 밀릴까, 안쪽으로 밀릴까?

자료 정리

조건마다 3회 잰 상승 시간을 평균해 표로 모으고, 함께 잰 온도와 Ω=0 기준값을 나란히 적는다. 가로축 각속도의 제곱 Ω², 세로축 상승 시간 t로 점을 찍는다 — 잔을 축에 놓았다면 t = [h − Ω²R²/(4g)]/u이므로 직선이 되어야 하고, 절편과 기울기에서 종단 속도 u가 두 번 나오니 서로 맞는지 견줄 수 있다. 수면 중심의 하강량도 Ω²에 대해 겹쳐 그려, 시간의 감소가 정말 거리의 감소로 설명되는지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

잔을 회전축에 놓았다면 상승 시간은 Ω²에 대해 직선으로 짧아질 것으로 예상된다. 뜻밖인 건 그 이유다 — 축 위에서는 원심 효과도, 연직으로 오르는 공의 코리올리 힘도 정확히 0이므로 오르는 빠르기는 회전과 무관하게 그대로이고 줄어드는 것은 오직 갈 거리다. 축에서 떨어뜨리면 이야기가 달라진다. 가벼운 공은 바깥이 아니라 회전축 쪽으로 밀린다 — 이 문제가 감춰 둔 반직관의 핵심이다. 뜻밖에도 기운 유효 중력은 시간을 직접 늘리지 못한다 — 경로가 기운 만큼 유효 중력도 세져 종단 속도가 같은 비율로 커지고, 오르는 빠르기의 연직 성분은 회전 전 그대로 남는다. 시간을 바꾸는 것은 도착지다. 공은 기운 각에 비례해 안쪽으로 표류하므로 좁고 깊은 잔에서는 수면보다 안쪽 벽에 먼저 닿기 쉽다 — 그때는 벽의 항력이 이야기를 넘겨받아 시간이 되레 길어진다. 결국 어느 수면(또는 벽)에서 여정이 끝나는가가 시간을 정하니, 답의 부호조차 잔의 모양과 놓는 위치에 달렸다.

더 탐구하기

  1. 글리세린 대신 소금물이나 설탕물로 같은 상승 시간을 맞춰 보자. 소금은 밀도를 크게 올리면서 점성은 거의 올리지 않으니, 두 용질을 섞으면 한 손잡이에 묶였던 밀도와 점성을 따로 겨냥할 수 있다.

  2. 용액의 온도를 몇 도만 바꿔 가며 상승 시간을 재어 보자. 글리세린 수용액의 점성 계수는 실온 부근에서 1 °C당 7 % 안팎으로 달라지니, 온도가 이 실험의 가장 큰 계통 오차원임을 확인할 수 있다.

  3. 윗면 영상에서 공의 자취를 그려 보자. 공은 나선을 그리며 오르지만 이는 코리올리 힘이 아니라 용액과 함께 돌며 동시에 안쪽으로 밀리기 때문이다 — 같이 도는 좌표계로 옮기면 나선이 기울어진 직선으로 펴지는지 보자.

연결 주제

IYPT 2022 문제 15 ‘보이콧 효과’ — 기울임이 침강 시간을 바꾸는 현상으로, 회전 원판이 유효 중력을 기울여 잔을 ‘기울인 것과 같게’ 만드는 이 편과 질문이 맞닿고 스토크스 법칙·종단 속도·촬영 기법도 겹친다(그쪽 기전은 현탁액의 경사벽 대류다). IYPT 2020 문제 12 ‘다각형 와류’ — 회전 포물면과 회전수 측정, 점성 조절용 글리세린을 공유한다(그쪽은 원판만 도는 전단 흐름이라 강체 회전이 아니다).

참고문헌

[학생] 스토니브룩대 시범 C4-11 ‘Accelerometer — Ball in Water’(물을 채운 관 속 탁구공이 물보다 밀도가 작아, 돌리면 회전 중심 쪽으로 움직인다) · 샌타바버라 캘리포니아대 시범 16.27 ‘Accelerometer on turntable’(회전 원판 위 수면이 z = (ω²/2g)r²의 포물면이 됨을 보인다) / [심화] N.-S. Cheng, “Formula for the Viscosity of a Glycerol−Water Mixture,” Industrial & Engineering Chemistry Research 47(9), 3285–3288, 2008, DOI 10.1021/ie071349z (질량비 0~100 %·온도 0~100 °C에서 글리세린 수용액의 점성 계수를 구하는 경험식 — 목표 시간에서 농도를 역산한다. 밀도는 저울로 직접 재면 된다) · M. Brizard 외, “Design of a high precision falling-ball viscometer,” Review of Scientific Instruments 76(2), 025109, 2005, DOI 10.1063/1.1851471 (가라앉는 구의 종단 속도로 점도를 구하되 벽·관성 효과를 보정한 절대 점도계 — 벽 보정의 필요는 이 원고에도 그대로다) · E. A. van Nierop 외, “Drag and lift forces on bubbles in a rotating flow,” Journal of Fluid Mechanics 571, 439–454, 2007, DOI 10.1017/S0022112006003387 (수평축으로 강체 회전시킨 원통 속 반지름 1 mm 기포의 과도 운동과 최종 평형 위치에서 항력·양력 계수를 실측 — 회전 액체 속 가벼운 물체가 힘의 균형점에 앉는다는 이 편의 뼈대다. 다만 회전축이 수평·대상이 기포·Re 0.01~500이라 이 원고(연직축·Re ≪ 1)와는 영역이 다르다) · Z. Yan 외, “The profile of an oil-water interface in a spin-up rotating cylindrical vessel,” American Journal of Physics 85(4), 271–276, 2017, DOI 10.1119/1.4975125 (회전대 위 비커의 기름–물 계면이 회전 포물면에 이르는 과도 과정을 다뤄, 점성이 큰 기름은 스핀업 시간 (ρ/μ)R² ≈ 4.1 s로 몇 초 만에 강체 회전에 드나 물은 3061 s가 걸린다고 보고했다 — 절차 ③의 근거. 다만 좇은 것은 계면 모양이지 공이 아니다). ※ 네 문헌은 조각조각 받쳐 줄 뿐, 이를 이은 조합 — 연직 축 위의 잔에서 Re ≪ 1인 공의 상승 시간이 Ω²에 따라 어떻게 변하는가 — 을 직접 잰 문헌은 찾지 못했다. ‘수면이 내려앉은 만큼만 시간이 준다’가 실제로 서는지, 축에서 떨어뜨린 공이 안쪽 벽에 닿는 순간부터 시간이 되레 길어지는지가 이 탐구의 개방 지점이다.

X스레드

이어서 읽기