저울 눈금만 줄어든 아침 — 중력 상수와 내 몸

탐구 주제

IYPT 1993 문제 5 ‘Gravitation — things important for you personally’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1993 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력, 질량과 무게의 구별) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험2 「생활 속의 과학 탐구」 / 물리학 「힘과 에너지」(일과 에너지) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

중력 상수 G, 중력 가속도, 질량과 무게, 일–에너지 정리, 무게중심, 체공 시간, 역진자 보행 모형, 프루드 수, 걷기–달리기 전이, 정수압, 로드셀, 양팔저울

원리 살펴보기

아침에 저울 눈금이 10% 내려가 있다면, 나는 정말 가벼워진 걸까? 중력 가속도 g = GM/R²는 G를 따라 10% 작아지므로 무게 mg도 10% 준다. 그러나 질량 m도, 근육이 내는 힘도, 뼈의 강도도 그대로다 — 무게에 비례하는 양과 그렇지 않은 양이 갈라진다는 것, 그것이 이 문제의 전부다. 로드셀로 힘을 재는 전자저울은 눈금이 10% 내려가지만, 양팔저울은 좌우 접시에서 g가 상쇄되므로 눈금이 그대로다 — 전자저울은 무게를, 양팔저울은 질량을 재기 때문이다.

몸으로 가장 먼저 느낄 변화는 도약이다. 다리가 한 번의 도약에서 하는 일 W가 그대로라면, 그 일은 밀어내기 거리 d와 체공 상승 h를 합친 만큼 무게중심을 들어 올린다. W = mg(h + d)이므로 무게중심의 총 상승 h + d = W/(mg)는 g에 반비례한다. g가 0.9배면 총 상승은 1/0.9 ≈ 1.11배다. 그런데 눈에 보이는 체공 높이 h = W/(mg) − d에서 d는 함께 늘지 않으므로 변화가 더 크다. 총 상승 0.65 m, d = 0.35 m인 사람이라면 h는 0.30 m에서 0.37 m가 된다 — 중력이 10% 약해지면 도약은 10%가 아니라 20%를 넘게 높아진다.

걷기의 리듬도 바뀐다. 다리를 길이 L의 진자로 보면 한 걸음의 시간이 √(L/g)에 비례하므로 걸음 주기가 1/√0.9 ≈ 1.054배로 늘어 빈도는 약 5% 느려진다. 걷기에서 달리기로 넘어가는 지점은 역진자에 필요한 구심력 mv²/L이 무게 mg를 따라잡는 곳, 곧 무차원 프루드 수 v²/(gL)가 약 0.5인 속도 v = √(0.5gL) ∝ √g다. 전이 속도도 √0.9배, 약 5 % 낮아져 더 느린 걸음에서 달리기가 시작된다. 몸 안쪽에서는 심장–머리 35 cm의 정수압 차 ρgh가 약 27 mmHg에서 25 mmHg로 줄어 일어설 때의 어지러움이 덜하고, 뼈에 걸리는 하중도 10 % 준다. 이 저울질은 저중력 트레드밀 재활(관절 부담만 덜어 준다), 우주인 체력 관리(빠지는 근육·뼈를 부하로 되돌린다), 법정계량(저울은 지역의 g로 보정한다), 스포츠 부하 훈련에서 그대로 쓰인다.

실험 설계

준비물

무게 조끼(또는 몸에 밀착 고정한 배낭), 0.5~1 kg 단위 부하(모래주머니·아령판), 전자 체중계, 240 fps 촬영이 되는 스마트폰과 삼각대, 체육관 매트, 줄자, 스프레드시트.

변인

독립변인은 몸에 실은 총 무게(체중의 100%·105%·110%·115%·120%), 종속변인은 제자리 수직 도약의 체공 시간에서 구한 도약 높이 h이다. 통제변인은 도약 자세(두 손을 허리에 붙인 반동 도약), 무릎을 굽히는 깊이, 신발과 바닥, 촬영 프레임률, 시행 간 휴식 시간이다. 체공 시간으로 얻는 h는 뜰 때와 닿을 때 자세가 같다는 가정 위에 있어, 굽혀 착지하면 1~2 cm쯤 크게 나온다. G를 바꿀 수도 무게를 줄일 수도 없으므로, 무게를 늘려 얻은 관계식을 0.9배 쪽으로 연장해 답을 읽는다 — 이 연장은 “다리가 하는 일 W가 같다”는 가정 위에서만 성립한다.

실험 순서

1. 준비 운동 5~10분 뒤, 부하 없이 반동 도약을 두어 번 익히며 옆에서 240 fps로 촬영한다. 발이 바닥에서 떨어진 프레임과 닿은 프레임을 세어 체공 시간 t를 구한다.

2. 체공은 상승·하강이 대칭이므로 상승 시간이 t/2, 따라서 h = ½g(t/2)² = gt²/8임을 직접 유도한다. 이 식은 이륙·착지 자세가 같아야 성립하니 발끝을 편 채 뛰고 같은 자세로 착지한다.

3. 무게 조끼에 부하를 더해 총 무게를 체중의 105%·110%·115%·120%로 바꾸며 ①을 되풀이한다. 조건마다 5회, 시행 사이 1분 이상 쉬고 부하 없는 조건까지 다섯 조건의 순서를 무작위로 섞는다.

4. 조건별 h의 평균과 표준편차를 구해 이웃 조건의 차이가 표준편차보다 뚜렷하게 큰지 확인한다.

5. 가로축 1/(총 무게), 세로축 h로 그래프를 그린다. h = W/(mg) − d이므로 직선이면 기울기가 다리가 한 일 W, y절편의 절댓값이 밀어내기 거리 d다. d를 굽힌 깊이와 견주어 검산한다.

6. 그 직선을 체중의 90% 쪽으로 연장해 “중력이 10% 약해진 나”의 도약 높이를 읽고, 부하 없는 조건과의 차이를 cm로 적는다.

안전 안내

교사(성인)의 직접 감독 아래 진행하는, 부하를 지고 뛰는 활동이다. 총 부하는 체중의 20%를 넘기지 않으며, 무릎·발목·허리·심장에 이상이 있거나 통증이 있는 사람은 참여하지 않는다. 반드시 준비 운동을 마친 뒤 매트나 탄성 바닥에서만 뛴다 — 콘크리트 바닥, 계단, 책상 위에서 하지 않는다. 부하는 몸에 밀착 고정해 흔들리지 않게 하고, 총 도약은 30회 이내로 하며 통증이 느껴지면 즉시 중단한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

중력이 10% 약해져 무게만 10% 가벼워진다면 제자리 도약 높이는 몇 % 늘어날까 — 똑같이 10%일까, 그보다 클까?

자료 정리

조건별 체공 시간 t에서 h = gt²/8로 도약 높이를 구해 평균과 표준편차를 표로 적는다. 가로축 1/(총 무게), 세로축 h로 그려 직선인지 본다. 240 fps에서 프레임 하나(약 4 ms)는 높이로 약 0.5 cm이므로 체중 5% 간격이 만드는 약 3 cm 차이를 읽기에 충분하다(60 fps면 약 2 cm까지 뭉개진다).

결과의 의미

도약 높이는 무게가 늘수록 낮아지고, h–1/(총 무게) 그래프는 원점을 지나지 않는 직선이 될 것이다. 모형대로라면 체중의 5 %를 더할 때마다 약 3 cm씩 낮아져, 5회 평균이면 흩어짐보다 훨씬 큰 신호다. 직선을 무게 0.9배로 연장하면 무게만 10% 줄어든 몸의 도약은 10%가 아니라 20%를 넘게 높아진다. 다만 부하를 더하면 무게와 질량이 함께 늘고, G 감소는 무게만 준다. 도약 높이 식에는 둘이 mg 한 덩어리로 들어와 등가지만, 근육의 힘–속도 성질 때문에 조건마다 다리가 하는 일 W가 달라질 수 있다. 점들이 직선에서 휘어진다면 그것은 오차가 아니라 ‘W 일정’ 가정의 한계가 드러난 것이다.

더 탐구하기

1. 안전 박스의 부하 한도 안에서 운동장 20 m 구간을 점점 빨리 걸어, 달리기로 바뀌는 속도를 부하별로 재 보자(트랙·잔디에서). 프루드 수 v²/(gL)에서는 질량이 약분되니 부하를 더해도 전이 속도는 그대로일 것이다 — 이 ‘변하지 않음’이 도약 실험과의 대비다.

2. 전자저울을 엘리베이터 바닥에 놓고 추를 올린 채 오르내리며 눈금을 촬영해 보자(안에서 뛰지 않는다). 아래로 가속하는 몇 초 동안 유효 중력이 몇 % 주는지 읽는, 학교에서 g를 바꿔 보는 거의 유일한 방법이다.

3. 수도꼭지에 맺혀 떨어지는 물방울의 질량을 재 보자. 방울은 무게가 표면장력이 붙드는 힘과 같아질 때 떨어지므로(mg ≈ πdγ), g가 0.9배면 방울 질량은 1/0.9배가 된다 — 이 방향을 스스로 유도해 보자.

4. 종이와 연필 탐구: 심장에서 머리·발까지의 정수압 차 ρgh를 계산해, g가 10 % 줄면 기립성 어지러움과 다리 정맥의 부담이 얼마나 덜한지 따져 보자.

연결 주제

같은 공통 지문의 형제 문항과 한 세트다 — 문제 2(태양: 평형이 풀려 부풀고 어두워지는 시간척도), 문제 3(지구: 각운동량 보존으로 궤도가 11 % 넓어져 1년이 약 450일이 되고, 단진자로 g를 재는 실험), 문제 4(항공·우주항행: 양력 식에 G가 없다는 대비와 글라이더 탑재 질량 실험). 문제 3이 g 감소를 진자 길이로 재현했다면, 이 편은 무게 변화를 몸의 부하로 재현한 셈이다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 7장 ‘일과 운동 에너지’(일–에너지 정리로 도약 높이를 얻는다)·3.6 ‘Free Fall’ / 영상 검색어 “vertical jump flight time”, “walk to run transition Froude number” / [심화] R. Kram, A. Domingo, D. P. Ferris, “Effect of reduced gravity on the preferred walk–run transition speed,” Journal of Experimental Biology 200(4), 821–826 (1997), doi:10.1242/jeb.200.4.821 — 무게중심에 거의 일정한 위쪽 힘을 걸어 중력을 낮추면 전이 속도는 느려지지만 프루드 수는 약 0.5로 유지된다(질량을 그대로 두고 무게만 더는 것이 옳은 유사 실험임을 보여 준다) / J. K. De Witt 외, “The preferred walk to run transition speed in actual lunar gravity,” Journal of Experimental Biology 217(18), 3200–3203 (2014), doi:10.1242/jeb.105684 — 포물선 비행으로 만든 실제 달 중력에서는 전이 프루드 수가 1.39±0.45로 0.5보다 훨씬 커, 역진자 모형이 강한 저중력에서는 한계를 보인다. ※ 10% 변화는 프루드 수가 거의 일정한 영역 안이지만, 부하를 더하는 유사 실험이 무게만 주는 상황을 어디까지 대신하는지(근육의 힘–속도 성질로 다리가 하는 일이 얼마나 달라지는지)는 이 탐구의 개방 지점이다.