2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1993 · 문제 3 · 역학·진동

1년이 450일이 되는 행성 — 중력과 지구

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1993 문제 3 ‘Gravitation — the Earth’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1993 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력)·「태양계」(지구와 달의 운동) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(중력과 역학적 시스템) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(중력·단진자) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」(천체의 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

만유인력 법칙, 중력 상수 G, 중력 가속도, 중심력과 각운동량 보존, 느린(단열적) 변화, 원 궤도, 케플러 제3법칙, 조석력, 대기 규모 높이, 단진자 주기

원리 살펴보기

13개월에 걸쳐 중력 상수가 10% 줄어들면, 지구에서는 무엇이 언제 달라질까? 가장 먼저 무게가 달라진다. 지표 중력 가속도는 g = GM/R²이므로 G를 따라 10% 작아지고, 자기 중력으로 눌려 있던 지구가 살짝 부풀어 반지름 R가 커지는 만큼 조금 더 작아진다. 누르는 힘이 줄어든 대기는 위로 부풀어 규모 높이 kT/(mg)가 (기온이 그대로라면) 약 11% 커지고, 공기 기둥의 무게가 준 만큼 지표 기압은 낮아진다. 주기가 1/√g에 비례하는 진자시계는 약 5% 느리게 간다.

더 극적인 것은 공전 궤도다. 태양이 지구를 당기는 힘은 늘 중심(태양)을 향하므로 돌림힘이 없고, 따라서 뉴턴 중력의 틀에서 지구의 궤도 각운동량 L = mvr는 G가 어떻게 변하든 정확히 보존된다. 원 궤도에서는 mv²/r = GMm/r²에서 v = √(GM/r)이므로 L = m√(GMr) — L이 일정하려면 곱 Gr가 일정해야 하니 r는 1/G에 비례한다. G가 0.9배가 되면 궤도 반지름은 1/0.9 ≈ 1.11배(+11%). 주기는 T = 2πr/v = 2πmr²/L로 r²에 비례하므로 1/0.81 ≈ 1.23배, 1년은 약 450일로 늘어난다. ‘서서히’라는 단서가 하는 일은 따로 있다. 변화가 느리면 궤도는 매 순간 원을 유지한 채 나선처럼 부드럽게 넓어지지만, G가 한순간에 10% 뚝 떨어지면 그 자리가 근일점이 되는 이심률 약 0.1의 타원으로 벌어진다.

멀어진 만큼 햇빛은 옅어진다. 일사량은 거리 제곱에 반비례하므로 거리 효과만으로 0.81배가 되고, 같은 지문의 문제 2가 다루듯 태양 자체도 (수천만 년에 걸쳐) 어두워지는 쪽이어서 두 효과는 같은 방향으로 겹친다 — 지구는 추워진다. 달 궤도도 1/G로 늘어나 거리 세제곱에 반비례하는 조석력은 G⁴배, 약 3분의 2로 약해진다. 이런 추론법은 시간 변화 중력 탐사(달 레이저 거리 측정으로 G의 변화 여부를 검증), 인공위성 궤도 역학(에너지·각운동량을 바꿔 궤도 반지름과 주기를 옮기는 설계), 외계행성 거주가능성 평가(별빛 세기와 궤도 반지름을 묶어 기후를 가늠)에서 실제로 쓰인다.

실험 설계

준비물

실(1.2 m 이상), 질량이 다른 금속 추 2종, 스탠드와 클램프, 줄자(mm 눈금), 스톱워치(또는 스마트폰), 각도기, 스프레드시트(또는 계산기).

변인

독립변인은 진자의 길이 L(회전축에서 추의 무게중심까지), 종속변인은 진자의 주기 T(20회 왕복 시간을 20으로 나눈 값)이다. 통제변인은 진폭(10° 이하), 추의 질량과 매다는 방식, 놓는 방법, 왕복 횟수이다. G를 직접 바꿀 수는 없으므로, 주기가 L/g의 비에만 의존한다는 성질을 이용해 g가 10% 약해진 상황을 길이로 등가 재현한다.

실험 순서

  1. 길이 L = 100.0 cm로 진자를 설치하고 진폭 10° 이하로 놓아, 20회 왕복 시간을 5회 재고, 평균을 20으로 나눠 주기 T를 얻어 g = 4π²L/T²를 계산한다.

  2. 같은 길이에서 질량이 다른 추로 바꿔 ①을 반복한다 — 주기가 그대로여야 진자가 질량이 아니라 L/g만 재는 도구임이 확인된다.

  3. g가 0.9배가 되면 주기는 T/√0.9 ≈ 1.054T(약 5.4% 증가)가 될 것임을 ①의 측정값으로 예측해 기록한다.

  4. 길이를 L/0.9 ≈ 111.1 cm로 늘리면 ‘g가 10% 약해진 지구’의 주기가 그대로 재현된다. 이 길이에서 ①과 같이 측정해 ③의 예측값과 비교한다.

  5. ①에서 표준편차로 주기의 불확도를 추정하고, 그것이 예측된 5.4% 변화보다 훨씬 작은지(20회 왕복 약 40 s에 반응 오차 0.2 s → 약 0.5%) 확인한다.

안전 안내

⚠ 안전

추가 떨어지거나 진자가 얼굴 쪽으로 흔들리지 않도록 스탠드를 무겁게 고정하고, 흔들림 경로와 추 아래에 얼굴·발을 두지 않는다. 추는 실에 단단히 묶고 클램프 조임을 측정 전마다 확인한다. 사다리나 책상 위에 올라가 긴 진자를 매달지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

g가 10% 작아진 지구에서 1 m 진자의 주기는 몇 % 길어질까? 그 차이는 스톱워치로 구별할 수 있는 크기일까?

자료 정리

여러 길이에서 잰 값으로 가로축 L, 세로축 T²의 그래프를 그리면 원점을 지나는 직선이 되고, 기울기 4π²/g에서 g가 나온다. 100.0 cm와 111.1 cm 두 조건의 주기를 표로 나란히 놓고 비 T₂/T₁을 예측값 1.054와 비교하되, 반복 측정의 표준편차로 오차 막대를 붙여 두 조건의 차이가 측정 오차보다 큰지를 명시한다.

결과의 의미

두 조건의 주기 비는 오차 범위 안에서 1.054에 들어올 것으로 예상된다. 20회 왕복 측정의 오차가 약 0.5%인데 신호가 5.4%이므로, 중력이 10% 변하는 세계는 학교 스톱워치로도 또렷이 구별된다. 한편 궤도가 커지고 해가 길어진다는 방향 자체는 측정이 아니라 각운동량 보존 하나에서 결정된다는 점이 이 탐구의 핵심 교훈이다. 실제 달 레이저 거리 측정은 G의 연간 변화율이 10⁻¹² 수준보다 작음을 보여 주므로, 이 문제의 상황은 현실에서는 일어나지 않는 — 그래서 더 좋은 — 사고실험이다.

더 탐구하기

  1. 스프레드시트 수치적분(오일러–크로머)으로 원 궤도를 재현한 뒤 매 스텝 G를 조금씩 줄여, r가 1/G, T가 1/G²을 실제로 따라가는지 확인해 보자. 같은 코드에서 G를 한 번에 10% 떨어뜨려 이심률 약 0.1의 타원이 생기는 것도 관찰해 보자.

  2. 길이를 60–120 cm에서 5개 이상 바꿔 T²–L 직선으로 g를 구하고, 어디까지 불확도를 줄일 수 있는지 조별로 겨뤄 보자.

  3. 지구가 부풀어 g가 추가로 줄어드는 2차 효과의 크기를, 암석의 압축률 가정을 바꿔 가며 자릿수만 어림해 보자(정량값은 문헌이 덮지 않는 개방 지점).

  4. 달 궤도 팽창에서 조석력이 G⁴배로 약해진다는 결과를 스스로 유도하고, 밀물·썰물 폭이 어떻게 달라질지 논의해 보자.

연결 주제

같은 지문의 형제 문항인 1993년 문제 2(태양 — 태양 광도의 변화가 이 원고의 일사량 논의와 맞물린다), 문제 4(항공우주 — 약해진 중력에서의 비행과 우주 진출), 문제 5(개인적으로 중요한 것들), 그리고 궤도 역학을 실제 비행 기록에 적용하는 문제 6(가가린의 기록)으로 이어진다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 13.5 ‘Kepler’s Laws of Planetary Motion’(원 궤도의 v = √(GM/r)와 주기–반지름 관계)·15.4 ‘Pendulums’(단진자 주기 T = 2π√(L/g)로 g 측정) / 영상 검색어 “measuring g with a pendulum”, “what if gravity weakened” / [심화] P. A. M. Dirac, “The Cosmological Constants,” Nature 139, 323 (1937), doi:10.1038/139323a0 — G가 시간에 따라 변할 수 있다는 가설의 고전적 출발점 / J. G. Williams, S. G. Turyshev, D. H. Boggs, “Progress in Lunar Laser Ranging Tests of Relativistic Gravity,” Physical Review Letters 93, 261101 (2004), doi:10.1103/PhysRevLett.93.261101 — 달 레이저 거리 측정으로 Ġ/G = (4±9)×10⁻¹³/년, G의 불변을 정밀 확인. ※ G 감소에 대한 지구 반지름·해수면의 정량 반응(암석·물의 압축률에 의존)은 문헌이 직접 다루지 않는 이 탐구의 개방 지점이다.

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