바퀴는 어디까지 커질 수 있을까 — 외발자전거

탐구 주제

IYPT 1992 문제 2 ‘Unicycle’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1992 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」(힘의 평형·무게중심) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1(측정과 어림) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」(뉴턴 운동 법칙, 돌림힘과 평형, 회전 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

역진자(거꾸로 선 진자), 무게중심, 받침점, 돌림힘(토크), 되먹임 제어, 반응 시간(감각운동 지연), 시간 상수, 관성 모멘트, 각운동량, 자이로 효과, 직접 구동(고정 기어), 어림 계산(자릿수 추정)

원리 살펴보기

페달 두 개와 바퀴 하나뿐인 외발자전거는 무엇으로 서 있을까? 세워 둔 빗자루가 그렇듯, 사람과 외발자전거는 바닥과 닿는 한 점 위에 무게중심이 얹힌 역진자라서 가만히 두면 반드시 넘어진다. 두발자전거는 굴러갈 때 앞바퀴가 스스로 조향되며 어느 속도 구간에서 균형을 되찾지만, 외발자전거에는 그런 자기 안정성이 없다. 타는 사람 자신이 감지기이자 제어기가 되어, 기울어짐을 느끼면 페달로 바퀴를 굴려 받침점을 무게중심 아래로 끊임없이 되돌려 놓는다 — 앞뒤는 가속·감속으로, 좌우는 몸통과 바퀴의 비틀기로 잡는다. 이 되먹임에는 반응 시간이라는 지연이 끼어, 균형은 넘어지는 속도와 보정 속도의 경주가 된다.

그런데 바퀴는 왜 무한정 커질 수 없을까? 외발자전거는 페달이 크랭크로 바퀴 축에 직접 붙은 직접 구동이라 페달 한 바퀴가 곧 바퀴 한 바퀴다. 같은 발놀림이면 큰 바퀴가 더 빠르므로, 체인이 없던 시절의 페니파딩 자전거는 앞바퀴를 경쟁적으로 키웠다. 그 경쟁의 상한을 그은 것은 엔진도 재료도 아닌, 타는 사람의 다리 길이였다. 안장은 바퀴 꼭대기보다 위에 있어야 하고 페달은 축 둘레를 돌기에, 안장에서 가장 낮은 페달까지의 거리(반지름+크랭크 길이)가 다리 안쪽 길이를 넘으면 발이 닿지 않는다. 그래서 지름의 어림 상한은 2×(다리 안쪽 길이 − 크랭크 길이), 다리 80 cm에 크랭크 10 cm면 약 1.4 m다. 게다가 테 단면이 비슷하게 유지된다면 바퀴 질량은 지름에, 관성 모멘트는 지름의 세제곱에 대략 비례해 늘어 출발·정지가 둔해지고, 커진 각운동량 탓에 좌우 균형용 비틀기까지 무거워진다.

이 원리는 오늘날 더 넓게 이어진다. 자기균형 이동수단(전동 외발휠·세그웨이 — 기울기를 센서로 읽어 모터로 받침점을 되돌리는, 회로가 대신하는 되먹임 제어), 균형 로봇공학(외발자전거 로봇은 불안정한 계를 세우는 제어 이론의 고전 시험대다), 자전거 공학의 역사(큰 바퀴 경쟁은 체인·기어비의 발명으로 끝났다 — 기하의 한계를 기술로 우회한 사례), 재활·스포츠 과학(균형 과제로 반응 지연과 낙상 위험을 평가한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

길이가 다른 곧은 막대 4~5종(예: 30 cm·50 cm·100 cm·150 cm — 빗자루 자루, PVC 파이프, 목봉 등 굵기가 비슷한 것), 30 cm 자(반응 시간 측정용), 줄자, 스톱워치 또는 스마트폰, 크랭크 길이 자료(또는 실물 자전거), 천장이 높은 실내 공간.

변인

독립변인은 손끝 위에 세우는 막대의 길이이다(한 번에 길이만 바꾼다). 종속변인은 막대를 놓은 순간부터 쓰러질 때까지 버틴 시간(길이마다 10회 반복한 평균)이다. 통제변인은 실험자(같은 사람의 같은 손), 막대의 굵기와 재질, 시작 자세(연직에 가깝게 받쳤다가 놓기), 바람이 없는 실내 환경이다. 실험 전에 자 낙하 시험으로 각자의 반응 시간을 재어 비교 기준으로 삼는다.

실험 순서

1. 먼저 각자의 반응 시간을 잰다 — 짝이 30 cm 자를 예고 없이 떨어뜨리면 엄지와 검지로 잡고, 잡힌 거리 d로부터 t = √(2d/g)를 계산한다(5회 평균).

2. 가장 긴 막대부터 손끝 위에 연직으로 세워 받치고 있다가 놓고, 놓은 순간부터 쓰러질 때까지의 시간을 잰다 — 길이마다 10회 반복해 평균을 낸다.

3. 길이를 줄여 가며 반복하고, 길이별 평균 버티기 시간과 특성 시간 √(L/g)을 나란히 놓아 — 세우기가 갑자기 가능해지는 문턱 길이를 찾아 반응 시간과 비교한다.

4. 줄자로 다리 안쪽 길이를 재고 크랭크 길이(외발자전거는 보통 100~150 mm)를 확인해 최대 지름 D ≈ 2×(다리 안쪽 길이 − 크랭크 길이)를 계산한다 — 시판 외발자전거 최대 약 91 cm(36인치), 수제 외발자전거 약 161 cm, 죽마가 필요했던 페니파딩 254 cm와 견주어 본다.

안전 안내

긴 막대가 쓰러지며 얼굴·눈, 조명·유리창을 칠 수 있다 — 주위 반경 2 m를 비우고, 천장 조명 아래와 미끄러운 바닥을 피한다. 실제 외발자전거·페니파딩 시승은 헬멧·보호대를 갖추고 지도자와 보조자가 있을 때만 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

다리 안쪽 길이가 80 cm인 사람이 페달에 발이 닿는 가장 큰 바퀴는 지름 몇 m일까? 그리고 막대는 길수록 세우기 쉬울까, 어려울까 — 바퀴가 큰 외발자전거도 그럴까?

자료 정리

막대 길이(또는 특성 시간 √(L/g))를 가로축, 평균 버티기 시간을 세로축(로그 눈금 권장)으로 그래프를 그리고, 반응 시간을 기준선으로 얹어 문턱과 비교한다. 반 전체의 다리 길이로 계산한 최대 지름 분포는 점그래프로 모으고, 시판 91 cm·수제 161 cm·죽마 254 cm를 기준선으로 표시한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

특성 시간이 반응 시간에 못 미치는 짧은 막대는 손을 쓰기도 전에 쓰러져 거의 세울 수 없고, 길이가 늘수록 버티기 시간이 가파르게 늘어나는 문턱형 경향이 예상된다. 균형이란 물체가 넘어지는 시간 척도와 제어자의 지연 사이의 경주이며, 그 시간 척도를 정하는 것은 기하다. 외발자전거로 옮기면 역설이 드러난다 — 바퀴가 커져 무게중심이 높아질수록 넘어짐은 오히려 느긋해지므로, 큰 바퀴를 막는 것은 균형의 ‘시간’이 아니라 발이 닿아야 하는 기하와 무거워진 바퀴를 다루는 힘이다. 다리-크랭크 부등식은 (안장이 바퀴 꼭대기에 놓인다고 볼 때의) 상한을 체격에 따라 약 1.4~1.7 m로 어림하며 — 실제 외발자전거는 프레임·시트포스트 높이만큼 이보다 더 작아진다 — 실제 기록(수제 외발자전거 약 1.6 m 주행, 페니파딩 2.54 m는 죽마 필요)이 같은 자릿수에 놓인다. 여러 후보 한계를 정량화해 가장 먼저 걸리는 것을 찾는 것 — 이것이 이 문제의 추정 기술이다.

더 탐구하기

1. 크랭크를 짧게 달면 발은 닿지만 지렛대가 줄어 페달 돌림힘이 약해진다 — 크랭크 길이에 따른 필요 발힘을 어림해, 기하와 구동력의 맞바꿈을 표로 정리해 보자.

2. 지름이 다른 자전거 바퀴 두 개를 각각 돌려 들고 축을 기울여 보며, 바퀴가 클수록 방향 바꾸기가 얼마나 무거워지는지(자이로 효과) 비교해 보자.

3. 같은 길이의 막대 끝에 찰흙 추를 붙여 무게중심 높이만 바꿔 보자 — 버티기 시간을 정하는 것이 길이 자체가 아니라 넘어짐의 시간 상수임을 확인할 수 있다.

연결 주제

IYPT 2020 문제 17 ‘카드 던지기’ — 그쪽은 큰 각운동량이 스스로 자세를 지키는 수동(자이로) 안정화, 이쪽은 사람이 지연된 되먹임으로 세우는 능동 안정화라는 대비를 이룬다. 각운동량·관성 모멘트 개념과 촬영 분석 기법을 공유한다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Penny-farthing(페니파딩)’·‘Unicycle(외발자전거)’(앞바퀴가 다리 길이만큼 커진 역사) / unicycle.com FAQ ‘Selecting a Penny Farthing’(다리 안쪽 길이로 바퀴 지름을 고르는 규격표) / unicycling.com ‘Big Wheels’(약 161 cm 바퀴 주행담과 185 cm 제작 기록) / Guinness World Records(2026년 6월) ‘세계 최대 페니파딩’(지름 254 cm — 페달에 발이 닿지 않아 라이더가 죽마를 신고 100 m 주행) / Ciênsação 손 실험 ‘Balancing stick’ / 영상 검색어 “big wheel unicycle” / [심화] Z. Sheng, K. Yamafuji, “Postural stability of a human riding a unicycle and its emulation by a robot,” IEEE Transactions on Robotics and Automation 13(5), 709–720, 1997, DOI 10.1109/70.631232 (외발자전거는 본질적으로 불안정한 결합계 — 사람의 제어를 로봇으로 재현) · J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina, A. L. Schwab, “Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review,” Proceedings of the Royal Society A 463(2084), 1955–1982, 2007, DOI 10.1098/rspa.2007.1857 (두발자전거 균형·조향 방정식의 표준 벤치마크 — 자기 안정성 없는 외발자전거와의 대비 기준) · J. L. Cabrera, J. G. Milton, “On-off intermittency in a human balancing task,” Physical Review Letters 89, 158702, 2002, DOI 10.1103/PhysRevLett.89.158702 (손끝 막대 세우기의 요동 통계 — 지연 되먹임 균형 제어의 대표 실험) · J. Milton 외, “The time-delayed inverted pendulum: implications for human balance control,” Chaos 19(2), 026110, 2009, DOI 10.1063/1.3141429 (역진자·막대 세우기·자세 흔들림을 지연 되먹임 모형으로 통합 해석). ※ 바퀴 지름과 관성 모멘트를 바꿔 가며 사람이 타는 외발자전거의 조작 한계를 정량 측정한 연구는 찾기 어렵다 — 기하 상한과 제어(구동력·자이로 저항) 상한 중 무엇이 먼저 걸리는지의 정량화가 이 탐구의 개방 지점이다.