새는 둑이 물을 가둔다 — 모래 댐

탐구 주제

IYPT 1992 문제 3 ‘The dam’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1992 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력과 부력) · 「수권과 해수의 순환」(지하수) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(지구시스템) / 물리학 「힘과 에너지」(유체의 압력) · 진로선택 「지구시스템과학」(지하수) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

공극(간극)과 공극률, 투수 계수, 다르시 법칙, 수두, 동수 경사, 침윤선, 유선망, 침투력, 유효 응력, 부력, 분사 현상(퀵 컨디션), 파이핑(내부 침식), 임계 동수 경사, 안식각, 사면 안정, 축소 모형과 상사

원리 살펴보기

모래는 손가락 사이로도 술술 새는데, 그런 모래로 쌓은 둑이 어떻게 물을 가둘까? 비밀은 ‘완전히 막기’를 포기하는 데 있다. 알갱이 사이에는 물이 지날 공극이 어디에나 있어 모래 둑은 반드시 샌다 — 다만 천천히 새게 할 수는 있다. 다르시가 1856년 모래 기둥 실험으로 세운 다르시 법칙에 따르면, 스며드는 유량은 투수 계수와 동수 경사(수두차 ÷ 침투 거리), 그리고 물이 지나는 단면적에 비례한다. 둑이 두꺼울수록 동수 경사가 작아져 누수가 줄어들 뿐, 0이 되지는 않는다. 그래서 “가두었다”고 말하려면 하루에 얼마나 새도 좋은지 허용 누수 기준부터 정해야 한다 — 이 문제의 두께는 자연 상수가 아니라 그 기준의 함수다.

그런데 무너짐은 두께에 또 다른 하한을 긋는다. 물은 공극을 지나며 알갱이를 떠밀고(침투력), 하류 출구에서 이 힘이 물에 잠긴 알갱이의 유효 무게를 이기면 모래가 물과 함께 끓듯 솟는 분사 현상이 시작된다 — 그 문턱인 임계 동수 경사는 모래에서 대략 1 안팎으로 알려져 있다. 이어 물길이 하류에서 상류로 파고들며 굵어지는 파이핑이 뒤따르면, 둑은 서서히가 아니라 한순간에 터진다. 그래서 수두 10 m라면 평균 동수 경사(10 m ÷ 두께)를 — 실제 유출부의 경사는 이보다 크므로 — 임계값보다 안전율만큼 작게 두어야 한다. 여기에 둑 속 물의 자유수면인 침윤선이 하류 사면으로 나오는 지점(유출점)이 낮게 눌려야 하고 — 필터 없는 균질 모래 둑에서는 침윤선이 사면으로 새어 나오기 마련이라, 실제 흙댐이 필터·배수층을 두는 까닭이 이것이다 — 물이 스며 나오는 사면은 마른 안식각(약 30~35°)의 절반 기울기(탄젠트 기준, 약 18°)까지만 버틴다고 알려져 있다. 겹치면 단면은 낮고 넓은 사다리꼴 — 밑변 두께는 수두의 몇 배, 수십 m 스케일로 어림된다.

이 물리는 물을 다루는 토목의 뼈대다. 흙댐·필댐(세계 대형 댐의 대부분 — 점토 심벽과 필터·배수층으로 침투와 파이핑을 다스린다), 하천 제방의 홍수 방재(홍수가 길어지면 제방 뒤편에 솟는 모래 분출은 파이핑의 전조 — 제방 순찰이 가장 먼저 찾는 신호다), 건조지역의 모래 저장 댐(케냐 등에서는 계절 하천에 모래를 가둬 그 공극에 스민 물을 건기 식수로 쓴다 — 모래가 증발까지 막아 준다), 지하수와 오염 물질의 흐름 예측(다르시 법칙은 지하수 유동·오염 확산 계산의 출발점이다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

투명 수조(어항 또는 아크릴 수조), 마른 모래(가능하면 체로 입도 분리), 물, 정수위 유지 장치(넘침 구멍 또는 지속 급수용 페트병), 받이통과 메스실린더, 식용 색소, 자와 각도기, 초시계, 스마트폰(촬영), 모눈 배경.

변인

독립변인은 둑의 밑변 두께이다(같은 높이·같은 다짐으로 다시 쌓으며 이 값만 바꾼다). 종속변인은 일정 시간 동안 하류로 새어 나오는 물의 부피, 곧 누수 유량과, 하류 사면에서 분사·파이핑이 일어나는지 여부이다. 통제변인은 모래의 종류(입도)와 다짐 정도, 둑의 높이와 사면 경사, 상류 수위(정수위 장치로 일정하게 유지), 물의 온도, 수조의 폭이다.

실험 순서

1. 투명 수조 안에 살짝 적신 모래로 높이 15 cm쯤의 사다리꼴 둑을 쌓는다 — 사면은 안식각보다 완만하게 하고, 밑변 두께를 자로 재어 기록한다.

2. 상류 쪽에 판을 대어 모래가 패지 않게 물을 천천히 부어 정한 수위(예: 10 cm)까지 올리고, 넘침 구멍이나 지속 급수로 수위를 일정하게 유지한다.

3. 하류 발치의 받이통으로 일정 시간(예: 5분) 동안 새어 나온 물의 부피를 재어 누수 유량을 구하고, 상류에 식용 색소를 떨어뜨려 둑 속 침윤선을 수조 벽면에서 관찰·촬영한다.

4. 둑을 같은 다짐으로 다시 쌓으며 밑변 두께만 단계적으로 바꿔(예: 10·15·20·25 cm) 같은 측정을 반복한다(조건마다 3회).

5. 마지막으로 가장 얇은 둑의 수위를 단계적으로 올리며, 하류 발치에서 모래가 끓듯 솟는 분사 현상과 물길이 뚫리는 파이핑이 시작되는 수위를 기록한다 — 붕괴 과정은 영상으로 남긴다.

안전 안내

물과 젖은 모래를 다루므로 전원 콘센트·전자기기에서 떨어진 곳에서 실험하고, 바닥에 넘친 물은 바로 닦아 미끄러짐을 막는다. 유리 어항은 모서리 충격에 약하니 무거운 모래를 던져 넣지 않는다. 붕괴 실험에서는 물이 한꺼번에 쏟아질 수 있으니 수조 주변을 비우고 받이 수건을 준비한다. 쓰고 난 모래는 배관이 막히지 않도록 하수구가 아니라 쓰레기로 배출한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

밑변 두께를 절반으로 줄이면 누수 유량은 몇 배가 될까? 그리고 어느 두께(또는 수위)부터 둑은 ‘새는 것’을 넘어 ‘무너지는 것’으로 넘어갈까?

자료 정리

두께별 누수 유량을 표로 모은 뒤, 가로축을 동수 경사(수위 ÷ 두께)로 하여 유량 그래프를 그린다 — 수위를 고정했으므로, 다르시 법칙이 맞으면 원점을 지나는 직선 경향이 나온다. 같은 그래프 위에 분사·파이핑이 일어난 조건을 O/X로 함께 표시해, 발생 조건이 특정 동수 경사 근처에 모이는지 본다. 두께별 침윤선 사진을 겹쳐, 사면과 만나는 높이의 변화도 비교한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

누수 유량은 동수 경사에 대략 비례하는 직선 경향을 보이고, 분사·파이핑은 동수 경사가 어떤 임계값을 넘는 조건에서 나타날 것으로 예상된다. 그렇다면 무너짐은 두께의 절대 하한을 긋지만, 허용 누수 기준이 그보다 훨씬 두꺼운 값을 요구할 수도 있다 — 둘 중 무엇이 최종 두께를 지배하는지는 투수 계수와 허용 기준이 함께 정한다. 다만 축소 모형은 정직한 축소판이 아니다 — 알갱이 크기와 모세관 상승은 수조에 맞춰 줄지 않아, 작은 둑은 실제 10 m 댐보다 상대적으로 유리하다. 모형의 경향을 다르시 법칙과 임계 동수 경사 어림에 얹어 실물로 외삽하는 것이 이 답안이 갖춰야 할 구조다.

더 탐구하기

1. 체로 나눈 굵은 모래와 고운 모래로 같은 둑을 쌓아, 누수 유량(투수 계수)과 파이핑이 시작되는 조건이 입도에 따라 어떻게 달라지는지 비교해 보자.

2. 둑 가운데에 찰흙 심벽을 얇게 세우거나 하류 발치에 자갈 배수층을 두어, 실제 흙댐의 설계 요소가 누수 유량과 침윤선을 어떻게 바꾸는지 확인해 보자.

3. 페트병에 모래 기둥을 채우고 수두차를 바꿔 가며 유량을 재어(다르시식 기둥 실험) 투수 계수를 직접 구하고, 그 값으로 수두 10 m 실물 댐의 하루 누수량을 어림해 보자.

4. 물을 조금씩 섞어 가며 모래 더미가 버티는 가장 가파른 각도(안식각)를 재어, 젖은 모래의 겉보기 점착이 축소 모형을 실물보다 유리하게 만드는 정도를 정량화해 보자.

연결 주제

IYPT 2023 문제 17 ‘어레스터 베드’ — 모래가 힘을 버티는 원리(알갱이 접촉의 마찰과 힘 사슬)를 공유하되 기제는 거울상이다. 거기서는 알갱이의 맞물림이 공의 운동 에너지를 깎는 브레이크로 일하고, 여기서는 물의 침투력이 그 맞물림(유효 응력)을 풀어 둑을 무너뜨린다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Sand dam’·‘다르시 법칙’·‘Sand boil’ / 웨스트버지니아 보전청 ‘Sand Tank Groundwater Model’ 지침서(wvca.us) / 영상 검색어 “sand dam Kenya”, “Teton Dam failure 1976”(파이핑으로 무너진 실제 댐) / [심화] B. H. Passey, T. E. Cerling, M. A. Chan, “Dam fun: a scale-model classroom experiment for teaching basic concepts in hydrology and sedimentary geology,” J. Geosci. Educ. 54(4), 487–490, 2006, DOI 10.5408/1089-9995-54.4.487 (모래 둑 수조 교실 실험 — 이 원고 실험의 원형) · H. Darcy, Les fontaines publiques de la ville de Dijon, Dalmont, 1856 (모래 기둥 실험 부록 — 다르시 법칙 원전) · K. Terzaghi, Theoretical Soil Mechanics, Wiley, 1943 (유효 응력·임계 동수 경사와 파이핑 안전율, 사면 평행 침투의 무한사면 해석) · A. Casagrande, “Seepage through dams,” J. New Engl. Water Works Assoc. 51(2), 131–172, 1937 (침윤선과 유선망 작도의 표준) · M. S. Fleshman, J. D. Rice, “Laboratory modeling of the mechanisms of piping erosion initiation,” J. Geotech. Geoenviron. Eng. 140(6), 04014017, 2014, DOI 10.1061/(ASCE)GT.1943-5606.0001106 (수두를 올려 가며 파이핑 개시 조건을 잰 실험) · R. Hut 외, “Effects of sand storage dams on groundwater levels with examples from Kenya,” Phys. Chem. Earth 33, 56–66, 2008, DOI 10.1016/j.pce.2007.04.006 (케냐 모래 저장 댐 수문 관측). ※ 침투와 파이핑 문헌은 탄탄하나 ‘수위 10 m를 가두는 순수 모래 댐의 최소 두께’를 한 수식으로 답한 문헌은 없다 — 허용 누수 기준의 선택, 축소 모형의 외삽, 누수·파괴 중 무엇이 두께를 지배하는지가 개방 지점이다.