되돌아가는 길이 다른 용수철 — 용수철 이력

탐구 주제

IYPT 2025 문제 11 ‘Spring Hysteresis’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2025 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」·「일과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」 (탄성력·훅 법칙·탄성 퍼텐셜 에너지·평형과 안정성) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성력, 훅 법칙, 선형 용수철, 탄성 퍼텐셜 에너지, 힘–변위 곡선, 기하학적 비선형성, 음(-)의 강성, 스냅스루(snap-through), 좌굴, 쌍안정, 이력(히스테리시스), 임계 하중(한계점), 안정·불안정 평형, 폰 미제스 트러스, 준영점 강성

원리 살펴보기

똑딱단추(스냅단추)를 눌러 본 적이 있는가? 처음에는 손끝에 눌리는 저항이 점점 커지다가, 어느 순간 “딸깍” 하고 갑자기 반대쪽으로 넘어가 버린다. 두 용수철을 물체 양쪽에 “V”자로 대칭이 되게 걸고 천천히 미는 힘을 키우면, 이 물체도 똑같이 어느 문턱을 넘는 순간 “딸깍” 하고 새로운 위치로 튀어 넘어간다. 이렇게 서서히 밀던 물체가 갑자기 다른 자리로 도약하는 현상을 스냅스루(snap-through)라 부른다.

왜 부드럽게 밀리지 않고 갑자기 튈까? 열쇠는 “V”자 배치의 기하다. 보통 용수철 하나는 많이 당길수록 되미는 힘이 그만큼 커진다(훅 법칙). 그런데 두 용수철을 비스듬히 걸어 두면, 물체가 움직일수록 용수철이 물체를 “제자리로 되돌리는 방향”으로 힘을 쓰는 정도가 오히려 줄어드는 구간이 생긴다. 이 구간에서는 물체를 조금 더 밀면 되미는 힘이 도리어 약해져, 힘–변위 곡선이 잠깐 거꾸로 내려가는 “음(-)의 강성” 구역이 나타난다. 곡선이 내리막인 이 구간은 불안정해서 물체가 그 위에 가만히 머물 수 없고, 문턱(임계 하중)을 넘는 순간 안정한 다른 위치로 미끄러져 버린다.

이력(히스테리시스)은 여기서 생긴다. 힘을 키우며 넘어갈 때의 문턱과, 힘을 다시 줄이며 되돌아올 때의 문턱이 서로 다르기 때문이다. 그래서 지금 물체가 어디 있느냐는 “지금 가한 힘”만으로는 정해지지 않고, 그 힘을 키워 왔는지 줄여 왔는지 하는 이력에 따라 달라진다 — 힘–변위 그래프가 한 줄이 아니라 고리(루프)를 그린다. 이 원리는 똑딱단추·스냅 버클·딸깍 스위치(누르는 힘이 문턱을 넘으면 확실히 넘어가 “클릭”감을 준다), MEMS 마이크로 스위치·릴레이(쌍안정 구조로 전력 없이 두 상태를 유지한다), 진동 절연·에너지 하베스팅(음의 강성으로 흔들림을 흡수하거나 미세 진동에서 전기를 거둔다), 그리고 해파리·파리지옥·튀는 장난감의 빠른 도약(천천히 쌓은 탄성 에너지를 스냅스루로 순식간에 방출한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

같은 규격·같은 자연 길이의 용수철 2개(물체가 가운데 있을 때 용수철이 자연 길이보다 짧아지므로, 늘어나기만 하는 인장 용수철이 아니라 매끄러운 안내봉에 끼워 눌림도 전달하는 것을 쓴다), 가벼운 물체(고리·너트를 단 작은 블록)와 낮은 마찰의 안내 레일(매끄러운 봉이나 홈), 두 용수철을 대칭으로 고정할 스탠드와 클램프, 물체에 힘을 서서히 주고 그 크기를 읽을 장치(작은 추를 실·도르래로 매다는 방식 또는 용수철저울/힘 센서), 자와 모눈 배경, 각도기, 스마트폰(느린 도약을 놓치지 않게 고속 촬영).

변인

독립변인은 물체에 가하는 힘 F이다(이 값을 아주 천천히 키웠다가 다시 줄인다). 종속변인은 그때 물체가 놓이는 변위(평형 위치)이다. 통제변인은 두 용수철의 규격(용수철 상수와 자연 길이)과 좌우 대칭, 고정점 반간격 x와 자연 길이 l₀의 비 x/l₀(이 값이 이력의 유무와 폭을 정한다), 물체의 질량, 안내 레일의 마찰, 그리고 힘을 바꾸는 속도(빠르게 바꾸면 관성·진동이 섞이므로 “준정적”으로 아주 천천히 바꾼다)이다.

실험 순서

1. 두 개의 같은 용수철을 물체 양쪽에 “V”자로 대칭이 되게 걸고, 물체가 한 방향으로만 곧게 움직이도록 낮은 마찰 레일에 얹는다. 좌우 대칭을 맞추고, 고정점에서 물체까지의 반간격 x와 용수철의 자연 길이 l₀를 재어 x가 l₀보다 작은지 확인한다 — 이력은 x < l₀ 일 때만 생기고, x가 l₀ 이상이면 평형이 하나뿐이라 아무리 힘을 바꿔도 튐이 나타나지 않는다.

2. 물체에 가하는 힘을 0에서부터 아주 조금씩 키우면서(추를 조금씩 더하거나 저울을 천천히 당기며) 각 단계의 힘과 물체의 위치를 함께 기록한다. 어느 문턱에서 물체가 “딸깍” 하고 새 위치로 튀는지(스냅스루)를 고속 촬영으로 포착한다.

3. 튄 뒤에도 힘을 조금 더 키웠다가, 이번에는 반대로 힘을 아주 조금씩 줄여 가며 같은 방식으로 힘과 위치를 기록한다. 힘을 줄이는 동안 물체가 원래 자리로 되돌아 튀는 문턱을 찾는다.

4. 키울 때 잰 (힘, 위치)와 줄일 때 잰 (힘, 위치)를 같은 그래프에 겹쳐 그려, 넘어가는 문턱과 되돌아오는 문턱이 서로 다른지 — 즉 이력 고리가 생기는지 확인한다. 이어 고정점 반간격 x만 바꿔(예: x/l₀ = 0.4·0.6·0.8·0.95) 같은 측정을 되풀이하며, x/l₀가 1에 가까워질수록 고리가 좁아지는지 확인한다.

안전 안내

팽팽하게 늘어난 용수철이 갑자기 풀리거나 걸이에서 빠지면 물체·용수철이 튕겨 나가 눈이나 얼굴을 다칠 수 있다. 용수철과 물체가 튀는 경로 앞에 사람이 없도록 하고, 늘림의 한계(용수철이 영구 변형되기 전)를 넘기지 않는다. 걸이·고리가 헐거워지지 않았는지 매번 확인하고, 스냅스루가 일어나는 순간에는 손을 튀는 경로에서 물린다. 보안경을 쓰면 더 안전하다. 매단 추가 발등에 떨어지지 않게 아래를 비워 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

힘을 천천히 키워 물체가 “딸깍” 넘어간 문턱과, 다시 힘을 줄여 물체가 되돌아온 문턱은 서로 같을까, 아니면 다를까? 그리고 “V”자를 더 넓게(또는 더 좁게) 벌리면 이 두 문턱의 차이는 어떻게 달라질까?

자료 정리

힘을 키울 때와 줄일 때의 (가한 힘, 변위)를 하나의 그래프에 서로 다른 색·화살표로 겹쳐 그린다. 세로축을 가한 힘, 가로축을 변위로 하면 키울 때·줄일 때의 경로가 갈라져 만드는 이력 고리(루프)가 드러난다. 다만 힘을 조금씩 키우는 이 방식에서는 물체가 안정한 가지만 따라가다 문턱에서 튀므로, “V”자 배치의 특징인 음의 강성 구간에는 물체가 머물 수 없어 직접 측정되지 않는다 — 실제로 잰 평형점은 실선으로, 음의 강성 가지는 모형으로 계산한 것임을 알 수 있게 점선으로 구분해 그린다. 넘어가는 문턱 힘과 되돌아오는 문턱 힘의 차를 x/l₀별로 표에 모아 비교한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

“V”자로 걸린 두 용수철은 어떤 각도 조건에서 힘–변위 곡선에 음의 강성 구간을 만들고, 그 결과 물체는 힘을 키울 때와 줄일 때 서로 다른 문턱에서 튀어 이력 고리를 그릴 것으로 예상된다. 고정점을 넓혀 반간격 x를 자연 길이 l₀에 가깝게 할수록 두 문턱의 차이(고리의 폭)는 오히려 줄어들고, x가 l₀ 이상이 되면 이력이 아예 사라진다. 반대로 x를 l₀보다 훨씬 작게 잡을수록 고리는 넓어질 것으로 보인다. 이는 물체의 위치가 “지금의 힘”만으로 정해지지 않고 힘을 어떻게 바꿔 왔는지에 의존하는 까닭이, 개개 용수철의 비선형성이 아니라 “V”자 배치가 만드는 기하학적 비선형성에 있음을 뜻한다. 힘을 너무 빨리 바꾸면 물체가 진동하며 관성으로 문턱을 넘나들어 이력이 흐려지므로, 힘을 준정적으로(아주 천천히) 바꾸어 재현성을 확보하는 것이 이 실험의 성패를 가른다.

더 탐구하기

1. 힘을 주는 방향을 바꿔 보자. 물체를 “V”자의 대칭축을 따라(용수철이 벌어진 쪽으로) 밀 때와, 대칭축에 수직으로 옆으로 밀 때 이력 고리의 모양이 어떻게 달라지는지 비교해 보자.

2. 용수철 상수만 다른 용수철로 바꿔, 이력이 생기는 한계(x/l₀ = 1)는 그대로인데 문턱 힘의 크기만 달라지는지 확인해 보자 — 이상 모형은 그렇게 예측한다.

3. 용수철을 자연 길이보다 길게 걸어 x/l₀를 1보다 크게 만든 뒤, 예측대로 이력이 정말 사라지는지 확인해 보자.

4. 힘을 아주 천천히 바꾼 준정적 측정과, 빠르게 흔들어 준 동적 가진을 비교해, 문턱과 이력 고리가 힘을 바꾸는 속도(관성)에 따라 어떻게 변하는지 재어 보자.

연결 주제

문제 5 ‘춤추는 슬링키’, 문제 9 ‘자기 보조’ — 탄성 퍼텐셜과 힘–변위 곡선, 그리고 퍼텐셜 우물의 안정·불안정 평형을 다루는 같은 분석·측정법(고속 영상으로 문턱과 도약 포착)을 그대로 이어서 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 「Elastic Potential Energy」·「Stability」(훅 법칙·탄성 에너지·안정과 불안정 평형) / Oxford Mathematical Institute “How do jumping popper toys work?”(튀는 장난감으로 보는 스냅스루) / 영상 검색어 “snap-through buckling”, “von Mises truss snap-through”, “bistable spring hysteresis” / [심화] S. Barbarino 외, “Energy Dissipation of a Bi-stable von-Mises Truss under Harmonic Excitation,” AIAA 2012-1712 (2012), DOI 10.2514/6.2012-1712 — 힘 제어와 변위 제어에서 스냅스루·음의 강성이 어떻게 달라지는지 대비 · C. Ong, “Hysteresis in a simple V-shaped spring-mass system,” Am. J. Phys. 89(7), 663–665 (2021), DOI 10.1119/10.0003536 — 이 문제의 계를 정면으로 다룬 논문 · J. J. Bissell, “Bifurcation, stability, and critical slowing down in a simple mass–spring system,” Mech. Res. Commun. 125, 103967 (2022), DOI 10.1016/j.mechrescom.2022.103967 — 같은 계의 무차원 분기 경계 · J. J. Bissell & A. M. Nagaitis, “Perfect and imperfect pitchfork bifurcations…,” Am. J. Phys. 91(8), 659–660 (2023), DOI 10.1119/5.0079561 — 고정점 간격 변화까지 확장. ※ 이 계의 이론은 위 세 논문이 이미 세워 두었다 — 이력이 x/l₀ < 1 에서만 생기고 문턱의 반폭이 (1 − (x/l₀)^(2/3))^(3/2) 로 정해진다는 예측까지 나와 있다. 그러므로 이 탐구의 몫은 새 이론을 찾는 것이 아니라, 마찰·좌굴·좌우 비대칭·유한한 힘 변화 속도가 있는 학생 장치에서 그 예측이 어디까지 재현되고 어디서 어긋나는지를 재어 보는 데 있다.