한쪽을 눌렀더니 반대쪽이 솟는다 — 쿠션 투석기

탐구 주제

IYPT 2024 문제 16 ‘Cushion Catapult’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2024 공식 문제 보기

이 원고는 개정 후 재검증 대기 상태입니다. 문헌에 바탕을 둔 탐구 설계이며, 직접 수행한 실험 결과가 아닙니다.

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」·「일과 에너지」·「기체의 성질」(압력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」 (운동량과 충격량, 유체와 압력) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

압력, 기체의 압축, 파스칼 원리, 충격량(J=FΔt), 압력 충격량, 운동량 보존, 역학적 에너지, 에너지 전달 효율, 자유 낙하, 공압

원리 살펴보기

큰 공기 쿠션의 한쪽에 물체를 여러 개 떨어뜨렸을 뿐인데, 왜 반대쪽에 놓인 물체가 하늘로 솟구칠까? 열쇠는 쿠션 속에 갇힌 공기다. 낙하체가 쿠션의 한쪽을 세게 누르면 그 자리의 공기는 빠져나갈 곳이 없어 순간적으로 압력이 오르고, 오른 압력은 쿠션 안을 곧바로 퍼져 반대쪽 윗면을 위로 밀어 올린다. 물놀이장의 ‘블롭 점프’가 바로 이것이다 — 한쪽에서 사람이 뛰어내리면 반대쪽 끝에 앉아 있던 사람이 공중으로 솟는다.

그렇다면 발사 속도는 무엇이 정할까? 떨어뜨린 물체가 준 충격량, 쿠션이 그 충격을 얼마나 빠르게 압력으로 바꾸는가(채운 공기의 양과 막의 팽팽함), 그리고 그 압력이 발사되는 물체의 바닥 넓이에 얼마 동안 작용하는가이다. 여러 개를 한꺼번에 떨어뜨릴수록 압력의 봉우리가 겹쳐 커지고, 시간 간격을 두면 나뉘어 작아진다. 그래서 “몇 개를, 얼마나 높은 데서, 얼마나 동시에” 떨어뜨리느냐가 그대로 실험 변인이 된다. 낙하 지점까지의 거리도 중요하다 — 쿠션 속 압력 자체는 충돌하는 동안 거의 고르게 퍼지지만(파스칼 원리), 그 압력이 반대쪽 막을 얼마나 볼록하게 밀어 올리는지는 막의 모양과 이어 붙인 자리의 저항에 달려 있기 때문이다.

눌린 공기가 충격을 받아 다른 곳으로 힘을 전하는 이 원리는 놀이 기구를 넘어선다. 에어백(부딪히는 순간 부푼 공기가 충격을 넓은 넓이로 나눠 받는다), 구조용 에어 매트와 공기 잭(눌린 공기의 압력으로 사람을 받거나 무거운 것을 들어 올린다), 공기 완충 포장(택배 상자 속 공기 베개가 충격을 흡수·재분배한다), 스포츠공의 반발(속에 든 공기의 압력이 튀는 높이를 좌우한다)에 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

큰 공기 쿠션(택배용 공기 베개를 여러 장 이어 붙이거나 공기를 절반쯤 채운 긴 튜브 — 폭이 넓은 매트는 눌린 부피가 넓게 퍼져 반대쪽이 거의 부풀지 않으니 폭 20~30 cm쯤의 길쭉한 형상이 좋다), 발사될 가벼운 물체(탁구공·폼 블록)와 자리를 잡아 줄 종이 고리, 질량이 같은 낙하체 여러 개(250 mL 물병이나 같은 질량의 모래주머니 — 하나에 300 g을 넘기지 않는다), 낙하체를 한꺼번에 놓을 얇은 판과 끈, 낙하 유도관과 스탠드, 높이 눈금과 모눈 배경, 스마트폰(슬로모션 120~240 fps)과 삼각대, 전자저울, (선택) 빨대와 압력 센서, 보안경.

변인

독립변인은 떨어뜨리는 물체의 개수(1~4개), 놓는 방식(한꺼번에 또는 시간 간격을 두고), 낙하 높이, 낙하 지점까지의 거리, 쿠션에 채운 공기의 양이다(한 번에 하나씩만 바꾼다). 종속변인은 쿠션 위 물체의 발사(exit) 속도이다(슬로모션 영상의 초기 상승 속도로 재거나, 도달 최고 높이 H로부터 v=√(2gH)로 환산한다). 통제변인은 쿠션의 종류와 놓은 자리, 낙하체 하나의 질량, 발사되는 물체의 질량과 바닥 넓이, 낙하체를 놓을 때 회전·초속도를 주지 않는 것, 촬영 조건이다.

실험 순서

1. 큰 공기 쿠션을 평평한 바닥에 펼치고 한쪽 끝에 발사될 가벼운 물체를 종이 고리로 자리 잡아 얹는다. 반대쪽 끝에는 낙하 지점을 표시하고 그 위에 낙하 유도관을 고정한 뒤, 두 지점 사이의 거리를 재어 기록한다.

2. 질량이 같은 낙하체 여러 개를 얇은 판 위에 나란히 올려 두고, 끈을 당겨 판을 옆으로 빼내어 한꺼번에 떨어뜨린다. 낙하체가 자리를 때리는 순간부터 반대쪽 물체가 튕겨 오르는 순간까지를 모눈 배경과 함께 슬로모션으로 촬영한다.

3. 영상에서 초기 상승 속도를 읽거나 최고 높이로부터 발사 속도를 환산해 기록한다. 조건마다 다섯 번 이상 반복해 평균과 흩어짐을 본다.

4. 낙하체의 개수를 1개부터 4개까지 바꾸어 재고, 이어서 낙하 높이·두 지점 사이의 거리·채운 공기의 양을 하나씩만 바꾸어 같은 방식으로 잰다. 한꺼번에 놓았을 때와 시간 간격을 두고 차례로 놓았을 때도 견주어 본다.

안전 안내

낙하체는 하나에 300 g, 전체 1.2 kg을 넘지 않게 하고 낙하 높이는 1.2 m 이하로 한다. 발사되는 물체는 탁구공·폼처럼 가볍고 무른 것만 쓴다. 낙하체가 옆으로 튀지 않도록 유도관을 세우고, 손으로 놓지 말고 끈을 당겨 놓아 손과 발이 낙하선 아래에 오지 않게 한다. 실험대 둘레를 비워 출입 금지선을 긋고 관찰자는 그 밖에서 보안경을 쓴다. 위쪽에 조명·사람·깨지기 쉬운 물건이 없게 하고, 쿠션의 옆과 뒤에 상자나 천을 세워 튀어 나간 물체를 받는다. 쿠션은 팽팽하게 부풀리지 않는다 — 터지면 큰 소리와 파편이 생긴다. 낮은 높이·가벼운 낙하체부터 시작해 조금씩 올린다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

낙하체를 두 배로 늘리면 발사 속도도 두 배가 될까 — 아니면 어느 개수부터는 더 늘지 않을까? 또 여러 개를 한꺼번에 떨어뜨리는 것과 차례로 떨어뜨리는 것 중 어느 쪽이 더 높이 쏘아 올릴까?

자료 정리

조건별 발사 속도를 표로 모은 뒤, 가로축을 낙하체의 개수(또는 낙하 높이·거리·채운 공기의 양)로 하여 경향을 그래프로 나타낸다. 낙하체가 가진 낙하 에너지 대비 발사되는 물체가 얻은 에너지의 비(전달 효율)도 계산해, 개수가 늘 때 효율이 오르는지 떨어지는지 살핀다. 한꺼번에 놓은 조건과 차례로 놓은 조건은 다른 색으로 겹쳐 그려 동시성의 효과를 드러낸다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

낙하체가 많고 높은 데서 떨어질수록 쿠션 속 압력이 크게 올라 발사 속도도 빨라지겠지만, 쿠션이 눌릴 수 있는 한계와 새는 공기 때문에 어느 지점부터는 더 늘지 않을 것으로 예상된다. 한꺼번에 놓을수록, 낙하 지점이 가까울수록 압력의 봉우리가 겹치고 덜 흩어져 더 빠르게 발사될 것으로 보인다. 이는 발사 속도가 충돌 하나하나가 아니라, 쿠션 속 공기가 받은 압력 충격량이 발사되는 물체의 바닥 넓이에 얼마나 모여 전해지는가로 정해진다는 뜻이다. 놓는 순간이 매번 흔들리면 압력의 봉우리가 겹치는 정도가 달라져 발사 속도가 요동치므로, 한꺼번에 놓는 방식의 재현성이 이 실험의 성패를 가른다.

더 탐구하기

1. 딱딱한 바닥 위에 두 물체를 포개어 떨어뜨리는 갈릴레이 대포(스택 볼 드롭)를 대조 실험으로 해 보고, 공기가 매개하는 발사와 직접 부딪혀 하는 발사를 견주어 보자. 이 대조는 속도가 몇 배로 커지므로 낙하 높이를 30 cm 이하로 낮춰서 한다.

2. 쿠션에 빨대를 꽂아 밀봉하고 압력 센서를 이어 낙하 순간의 압력 곡선을 재어 보자. 압력의 봉우리는 폭이 20 ms 안팎이므로 초당 500회 이상 읽는 센서가 필요하며, 봉우리의 최댓값과 곡선의 넓이(압력 충격량) 중 어느 쪽이 발사 속도를 더 잘 설명하는지 확인한다.

3. 발사되는 물체의 바닥 넓이를 바꾸어(같은 질량의 납작한 판과 좁은 공), 같은 압력에서 넓이가 넓을수록 더 세게 밀려 나가는지 살펴보자.

4. 쿠션을 길게 이어 붙이고 낙하 지점과 발사 지점 사이의 거리를 늘려 가며, 압력의 봉우리가 퍼지면서 얼마나 약해지고 늦게 도착하는지 재어 보자.

연결 주제

문제 5 ‘핑퐁 로켓’(급감속이 만든 겉보기 중력으로 공을 쏘아 올리는 발사)·문제 14 ‘자 트릭’(짧은 순간의 압력 차와 충격량) — 짧은 시간에 몰린 힘을 슬로모션으로 재는 같은 방법을 이어서 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] IOP Spark ‘Stacked ball drop’·sciphile.org ‘Stacked Ball Drop’(포갠 공 튀기기 — 이 문제의 대조 실험) / 영상 검색어 “blob jump physics”, “airbag jump”, “stacked ball drop” / [심화] L. Tadrist & B. Darbois Texier, “Open questions on the impact of an inflated ball,” arXiv:1708.01282 (2017) (공기가 든 물체의 충돌에서 기체 압축이 소산·반발에 관여하는 방식을 개관) · W. J. Stronge & A. D. C. Ashcroft, “Oblique impact of inflated balls at large deflections,” International Journal of Impact Engineering 34(6), 2007, 1003–1019, DOI 10.1016/j.ijimpeng.2006.04.006 (크게 눌리는 부푼 물체의 충돌을 내부 압력과 막의 변형으로 다룸) · W. G. Harter, “Velocity Amplification in Collision Experiments Involving Superballs,” American Journal of Physics 39(6), 1971, 656–663, DOI 10.1119/1.1986253 (포갠 공의 충돌에서 위 공이 약 3배 속도로 튀어 오름 — 대조 실험의 이론) · Z. Duan 외, “Theoretical and experimental study of the ‘superelastic collision effects’…,” Scientific Reports 13, 2291 (2023), DOI 10.1038/s41598-023-29538-4 (포갠 3체 충돌의 속도 이득). ※ 위 [심화] 문헌은 부푼 물체 자신의 충돌과 딱딱한 접촉에서의 속도 증폭을 각각 다룬다 — 큰 공기 쿠션이 여러 낙하체의 충격을 압력으로 바꾸어 떨어진 자리와 다른 곳의 물체를 발사할 때 발사 속도가 낙하체의 개수·동시성·거리·공기량에 어떻게 의존하는지는 정량 문헌이 드문 이 탐구의 개방 지점이다.