동전의 세 번째 얼굴 — 삼면 주사위

탐구 주제

IYPT 2022 문제 7 ‘Three-Sided Dice’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2022 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(힘의 평형) / 고등학교 물리학 「힘과 에너지」(돌림힘과 무게중심) / 수학 「확률과 통계」(통계적 확률) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

무게중심, 지지 기반, 안정 평형, 돌림힘(토크), 각운동량 보존, 반발 계수, 에너지 소산, 종횡비(두께-지름 비), 입체각, 기하학적 확률, 통계적 확률, 큰 수의 법칙, 표준 오차

원리 살펴보기

얼마나 두꺼워야 옆면도 어엿한 ‘세 번째 면’이 될까? 던진 동전이 옆면으로 서는 일은 미국 5센트 동전 기준 약 6,000번에 한 번이라 추정될 만큼 드물다. 하지만 두꺼울수록 옆면 착지는 흔해지니, 어딘가에 세 면이 1/3씩 나오는 두께가 있을 것이다. 원기둥을 구에 내접시켜 모든 방향이 똑같이 나온다고 가정하면, 두께가 지름의 약 0.35배일 때 옆면의 몫이 1/3이 된다 — 폰 노이만이 암산으로 내놓았다는 답이다.

실제 동전은 각운동량을 보존하며 회전하고, 바닥에서 튀어 오른다. 회전 동역학까지 반영하면 튀지 않는 바닥에서도 공정 두께는 지름의 약 0.58배로 커지고 — 쌀 위에 던진 실험이 이를 지지했다 — 7억 회가 넘는 대규모 시늉내기는 공정 두께를 지름의 √3/2 ≈ 0.87배에 조금 못 미치는 값으로 보고한다. 두 값이 이렇게 벌어지는 까닭이 바닥의 튀어 오름 때문인지는 우리가 두 바닥에서 직접 재어 가릴 대목이다. 답은 하나의 숫자가 아니라, 어떻게 던지고 어디에 떨어지느냐에 따라 달라진다.

이 원리는 카지노·보드게임 주사위 설계(모양과 밀도가 확률을 좌우해 정밀 규격으로 공정성을 보증), 진동 부품 정렬기(안착 자세의 확률을 기하로 설계해 조립 라인에서 자동 정렬), 물리 엔진 검증(주사위 굴림이 실제 확률을 재현하는지 몬테카를로로 확인), 통계 교육(삼면 동전은 베이즈 추론으로 모형을 견주는 교재의 단골 예제)에 닿아 있다.

실험 설계

준비물

같은 종류의 동전 여러 닢(예: 100원, 지름 24 mm — 지름이 같은 와셔나 금속 원판으로 대신해도 된다)과 순간접착제 또는 강력 양면테이프, 버니어 캘리퍼스, 쌀을 얕게 담고 랩을 씌운 쟁반(튀지 않는 바닥), 딱딱한 책상(튀는 바닥), 기록지, 스마트폰(느린 배속 촬영).

변인

독립변인은 원기둥의 두께-지름 비 t/D(붙인 동전 수로 조절)와 바닥의 반발 특성이고, 종속변인은 전체 시행 중 옆면으로 안착한 비율이다. 통제변인은 동전의 지름과 재질, 시작 자세(앞면 위), 던지는 높이와 회전을 주는 방법, 조건별 시행 횟수이다.

실험 순서

같은 동전을 2닢부터 여남은 닢까지 붙여 두께가 다른 원기둥 5~6종을 만들고, 캘리퍼스로 지름과 두께를 재어 t/D를 계산한다(약 0.15~0.9를 고르게 덮도록).
쌀을 얕게 담고 랩을 씌운 쟁반 위에서, 앞면이 위인 상태로 엄지로 세게 튕겨 충분히 회전시켜 던지되 회전축이 동전 면 안에 놓이도록(옆으로 구르듯 뒤집히게) 하고, 앞면·뒷면·옆면을 기록한다 — 조건마다 100회 이상.
t/D를 가로축, 옆면 비율을 세로축으로 그래프를 그리고, 1/3 수평선과 만나는 t/D를 내삽으로 읽는다.
같은 세트를 딱딱한 책상에서도 던져 곡선을 겹치고, 공정한 t/D가 어느 쪽으로 이동하는지 비교한다 — 느린 배속 촬영으로 옆면으로 섰다가 튀어 넘어지는 순간도 관찰한다.

안전 안내

⚠ 안전

순간접착제는 피부·눈에 닿지 않게 하고 환기하며 사용한다. 세게 튕긴 동전이 얼굴로 튈 수 있으니 눈높이보다 낮은 곳에서 던지고, 바닥에 흩어진 동전은 밟고 미끄러지지 않도록 바로 줍는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

두께가 지름의 절반쯤 되는 원기둥을 쌀 쟁반에 던지면, 옆면은 1/3보다 자주 나올까, 드물게 나올까 — 그리고 딱딱한 책상에서는 그 답이 달라질까?

자료 정리

조건별 옆면 비율에 이항 표준 오차 √(p(1−p)/N)를 오차 막대로 붙여, 두 바닥의 t/D–옆면 비율 곡선을 한 그래프에 겹쳐 그린다. N이 100이면 오차가 ±5 %p 안팎이므로, 1/3 근처를 정말 가르려면 시행을 늘리거나 모둠별 데이터를 합쳐야 한다.

결과의 의미

옆면 비율은 t/D와 함께 커지고, 공정한 t/D는 쌀 쟁반에서 약 0.58로 보고되어 있으니, 딱딱한 바닥에서 그 값이 어느 쪽으로 옮겨 가는지를 가릴 차례다. 공정한 주사위의 답은 기하만으로 정해지지 않고, 착지에서 에너지가 어떻게 사라지는가가 함께 정한다는 뜻이다. 확률이 물체의 고유 속성이 아니라 물체와 던지는 방식이 함께 만드는 값임을 손으로 확인하는 셈인데, 이것이 이 문제가 확률 교과서가 아니라 물리 대회에 실린 이유다.

더 탐구하기

모서리를 사포로 살짝 둥글린 원기둥과 각진 원기둥을 같은 t/D에서 비교해, 모서리 모양이 옆면 확률을 바꾸는지 확인해 보자.
던지는 높이를 두 배로 올려 충돌 에너지를 키우면, 공정한 t/D가 어느 쪽으로 이동하는지 확인해 보자.
수건·유리판 등 반발이 다른 바닥을 추가해, 공정한 t/D를 바닥의 반발 특성에 대한 곡선으로 이어 보자.
공개된 물리 시뮬레이터로 같은 조건을 재현해 두 곡선이 어디서 갈라지는지 비교해 보자.

연결 주제

문제 6 ‘테니스공 탑’(공을 쌓은 탑의 구조적 한계와 안정성), 문제 14 ‘막 위의 공’(금속 공이 고무막을 때릴 때 나는 소리의 기원) — 무게중심이 지지 기반을 벗어나면 넘어진다는 같은 안정성의 언어와, 충돌·반발을 느린 배속 촬영으로 읽는 기법을 공유한다.

참고문헌

[학생] Stand-up Maths(Matt Parker) 영상 “How thick is a three-sided coin?”(2018)과 자매 영상 “2,000 throws of three-sided coins” — 두께별 동전 던지기를 시청자 크라우드소싱으로 모은 기획 / think-maths.co.uk ‘Three-Sided Coin Activity’(동전을 붙여 두께별 원기둥을 만들어 학급 단위로 던지는 활동지) / sirrandalot 영상 “Does a Fair 3 Sided Coin Exist?”(2020) — 물리 시뮬레이션으로 조건에 따라 공정 두께가 달라짐을 보임 / [심화] E. H. Yong, L. Mahadevan, “Probability, geometry, and dynamics in the toss of a thick coin,” American Journal of Physics 79(12), 1195–1201 (2011), doi:10.1119/1.3630934 (arXiv:1008.4559) — 입체각 기하는 1/(2√2)≈0.35, 각운동량 보존을 넣은 동역학은 1/√3≈0.58을 예측; 동전을 붙인 원기둥을 쌀 쟁반에 100회씩 던진 실험은 동역학 쪽을 지지 / G. Subramanian, “Thickness of a three-sided coin: A molecular dynamics study,” Physical Review E 103, L041301 (2021), doi:10.1103/PhysRevE.103.L041301 — 7×10⁸회 시뮬레이션에서 공정 종횡비를 √3/2≈0.87보다 약간 작은 값으로 보고 / D. B. Murray, S. W. Teare, “Probability of a tossed coin landing on edge,” Physical Review E 48(4), 2547–2552 (1993), doi:10.1103/PhysRevE.48.2547 — 미국 5센트 동전이 옆면으로 설 확률을 약 1/6000로 추정. ※ 문헌은 이상화된 던지기와 시뮬레이션 중심이다 — 바닥 반발 특성에 따라 공정 t/D가 실제로 얼마나 이동하는지의 실측 지도와 모서리 다듬기의 효과는 이 탐구의 개방 지점이다.

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