2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2021 · 문제 15 · 강체·회전

놓은 높이를 넘어 튀는 민트 — 되튀는 캡슐

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2021 문제 15 ‘Rebounding capsule’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2021 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」·「일과 에너지 전환」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(충돌과 운동량) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」(운동량과 충격량, 역학적 에너지 보존; 강체의 회전은 심화) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

반발 계수, 충격량, 운동량, 수직 항력, 돌림힘(토크), 각운동량, 관성 모멘트, 질량중심, 병진 운동 에너지, 회전 운동 에너지, 역학적 에너지 보존, 마찰력, 접촉점 기하, 자세각(위상)

원리 살펴보기

공은 아무리 세게 돌려서 떨어뜨려도 왜 놓은 높이로 되돌아오지 못할까? 구는 어느 방향으로 닿아도 접촉점이 언제나 질량중심 바로 아래에 있다. 그래서 수직 항력의 작용선이 항상 질량중심을 지나가고, 충돌이 공의 회전을 위로 솟는 운동으로 바꿔 줄 지렛대(돌림힘)가 아예 생기지 않는다. 스핀은 마찰을 통해 옆 방향 속도로 바뀔 수 있을 뿐이고, 위로 튀는 속도는 반발 계수(1보다 작다)만큼 줄어든다. 구가 높이를 넘지 못하는 것은 재질이 아니라 모양(기하)의 문제다.

캡슐은 길쭉해서 사정이 다르다. 기울어진 채 바닥에 닿으면 접촉점이 질량중심 바로 아래에서 비켜나고, 수직 항력이 질량중심에 대해 돌림힘을 만든다. 이 어긋남이 병진과 회전이 에너지를 주고받는 통로다. 회전은 일종의 에너지 저금통이다 — 구는 저금을 찾을 창구가 없지만, 캡슐은 기울어진 접촉이라는 창구가 있다. 회전을 주고 떨어뜨린 캡슐이 알맞은 자세(자세각)로 바닥을 치면, 미리 넣어 둔 회전 운동 에너지의 일부가 위로 솟는 병진 운동 에너지로 넘어와 놓은 높이를 넘어선다. 에너지 보존은 깨지지 않는다 — 매 충돌마다 전체 역학적 에너지는 줄어들며, 병진과 회전 사이의 배분만 달라진다.

이 원리는 곳곳에서 만난다. 럭비·미식축구의 바운스(어디로 튈지 예측하기 어려워 경기 전술의 일부가 된다), 제약 공정 설계(알약·캡슐의 반발 계수는 이송·포장 라인의 기초 데이터다), 입자 공학의 충돌 시뮬레이션(비구형 입자의 튐을 다루는 이산요소법 모델의 검증 문제다), 게임·애니메이션 물리 엔진(길쭉한 강체의 충돌을 충격량으로 처리하는 계산이 들어 있다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

틱택 민트(또는 캡슐형 알약 모형) 여러 개, 비슷한 크기의 유리구슬(비교용 구), 단단하고 매끈한 바닥판(두꺼운 유리판·타일), 모눈 배경판과 자, 스마트폰(240 fps 슬로모션), 무료 영상 분석 프로그램 Tracker, 핀셋(놓기용).

변인

독립변인은 놓는 순간 캡슐에 준 초기 회전의 유무·빠르기와 충돌 순간의 자세각이다(둘 다 슬로모션 영상에서 실측한다). 종속변인은 질량중심이 되튀어 오른 최고 높이를 낙하 높이로 나눈 반발 높이비 h′/h이다. 통제변인은 낙하 높이(30 cm), 캡슐의 종류, 바닥판의 재질과 두께, 촬영 프레임 속도와 배경이다.

실험 순서

  1. 모눈 배경 앞 유리판 위에 유리구슬을 30 cm 높이에서 회전 없이, 그리고 손가락으로 세게 돌려서 떨어뜨려 슬로모션 촬영한다 — 어느 쪽도 놓은 높이를 넘지 못함을 확인하는 기준 실험이다.

  2. 같은 조건에서 틱택 캡슐을 회전 없이 30회 이상 떨어뜨려 촬영하고, 첫 반발 높이와 충돌 뒤 캡슐이 얻은 회전을 기록한다(두 번째 반발이 첫 번째보다 높아진 시도는 따로 표시).

  3. 손가락으로 튕겨 긴 축에 수직인 회전을 주면서 같은 높이에서 떨어뜨리기를 30회 이상 반복하고, 회전 속도(프레임당 돌아간 각도)와 자세각은 놓은 직후가 아니라 충돌 직전 몇 프레임에서 읽고, 캡슐이 화면 평면 안에서 도는 시도만 골라 분석한다(옆으로 눕거나 비틀리며 도는 시도는 제외 — 2차원 근사다).

  4. Tracker로 캡슐 가운데(질량중심)를 추적해 시도마다 h′/h를 구하고, 자세각–회전 속도 평면에 h′/h > 1인 점과 아닌 점을 색으로 구분해 ‘넘는 조건 영역’을 찾는다.

안전 안내

⚠ 안전

단단한 바닥에 튄 캡슐·구슬은 예측하기 어려운 방향으로 날아가므로 눈높이 아래에서 실험하고, 필요하면 보안경을 쓴다. 유리판은 모서리를 테이프로 감싸고 깨짐에 주의한다. 바닥에 떨어진 작은 캡슐·구슬은 밟으면 미끄러지므로 그때그때 회수하고, 실험에 쓴 민트는 먹지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 높이에서 같은 빠르기의 회전을 주면 캡슐은 매번 놓은 높이를 넘을까 — 아니면 충돌 순간의 자세에 따라 어떤 때는 넘고 어떤 때는 못 넘을까?

자료 정리

시도마다 충돌 자세각, 충돌 직전 회전 속도, h′/h를 표로 모은다. 가로축을 자세각, 세로축을 h′/h로 한 산점도를 그리고 h′/h = 1 기준선을 긋는다 — 구슬·무회전 캡슐·회전 캡슐을 색으로 구분하면, 문헌의 상 도표(phase diagram)처럼 기준선을 넘는 점들이 특정 자세각 띠에 모이는지 확인할 수 있다. (수치는 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

구슬은 모든 시도에서 h′/h가 1에 못 미치고, 회전 없이 떨어뜨린 캡슐도 첫 반발은 항상 1보다 낮을 것으로 예상된다 — 에너지의 일부가 회전으로 저장되기 때문이다. 반면 회전을 주고 떨어뜨린 캡슐에서는 특정 자세각 띠에서 h′/h가 1을 넘는 시도가 나타날 것으로 예상된다. 이는 튀어 오를 높이의 상한을 정하는 것이 반발 계수가 아니라, 충돌의 기하가 병진과 회전 사이에서 에너지를 배분하는 방식이라는 뜻이다. 놓은 높이를 넘는 것은 공짜 에너지가 아니라, 미리 넣어 둔 회전 에너지를 충돌이 위 방향 운동으로 바꿔 준 결과다. 캡슐의 끝을 추적하면 회전 때문에 높이가 과장되므로, 질량중심을 추적하는 것이 이 실험의 핵심이다.

더 탐구하기

  1. 길쭉한 정도가 다른 캡슐(빈 약 캡슐 여러 호수, 길이가 다른 지우개 등)로 가로세로비를 바꿔, h′/h > 1이 나오는 자세각 띠가 어떻게 이동하는지 비교해 보자.

  2. 바닥판을 유리·나무·고무판으로 바꿔 반발 계수를 낮추면, 놓은 높이를 넘는 시도의 비율이 어떻게 줄어드는지 살펴보자.

  3. 한 시도에서 첫 번째·두 번째·세 번째 반발을 연속 추적해, 반발마다 병진·회전 에너지가 어떻게 오가는지 ‘직렬 반발 계수’ 관점으로 정리해 보자.

  4. 충돌을 충격량 한 번으로 보는 모형과 접촉하는 동안의 힘을 따라가는 모형(헤르츠 접촉)을 코딩으로 비교해, 어느 쪽이 측정과 더 잘 맞는지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2025 문제 3 ‘라토 라토’(공 충돌의 반발 계수와 에너지 전달), IYPT 2026 문제 7 ‘테니스 라켓 정리’(강체의 회전과 자세 안정성) — 같은 슬로모션 촬영과 Tracker 질량중심 추적으로 충돌·회전을 분석하는 방법을 그대로 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] Physics Girl 영상 “Crazy tic tac bounce!? | EVERYDAY MYSTERIES”(PBS, 2018, youtu.be/x4ySPDvebes — 슬로모션으로 틱택이 더 높이 튀는 순간과 회전 에너지 전환을 설명) / Kelly O’Shea 블로그 “Tic Tac Bounce”(kellyoshea.blog, 2015 — 회전을 ‘에너지 저장’으로 보는 수업 사례와 슬로모션 영상) / 영상 검색어 “tic tac bounce slow motion”, “IYPT rebounding capsule” / [심화] X.-X. Yao, Z.-W. Wang, L.-L. Zhao, Y. Zheng, “The rebound height of a capsule-shaped object,” European Journal of Physics 44(4), 045001 (2023), doi:10.1088/1361-6404/acc98f — 두 대의 카메라와 Tracker로 자세각·질량중심 속도·각속도를 재어 ‘놓은 높이를 넘는 영역’의 상 도표를 실측(이 원고의 실험 설계가 따른 문헌). X. Li, G. Chen, R. J. Tee, J. X. Liu, C. Ong, “Dynamics of a bouncing capsule: An impulse model vs a Hertzian model,” American Journal of Physics 92(6), 424–433 (2024), doi:10.1119/5.0169258 — 충격량 모형과 헤르츠 접촉 모형을 비교, 충돌 중 마찰의 붙듦–미끄럼까지 넣은 접촉 모형이 실험과 맞음을 보고. R. Cross, “The fall and bounce of pencils and other elongated objects,” American Journal of Physics 74(1), 26–30 (2006), doi:10.1119/1.2121752 — 길쭉한 물체의 반발에서 접촉점 기하와 회전의 역할을 정리한 고전. R. Cross, “Bounce of an oval shaped football,” Sports Technology 3(3), 168–180 (2010), doi:10.1080/19346182.2011.564283 — 타원형 공은 수직 항력이 중심 앞뒤에 작용해 바운스가 예측 불가함을 실측. B. Pang 외, “Study on Rebounding Height of Capsule-shaped Object Based on Serial Coefficient of Restitution,” Journal of Physics: Conference Series 2282, 012007 (2022), doi:10.1088/1742-6596/2282/1/012007 — 연속 충돌을 ‘직렬 반발 계수’로 기술해 놓은 높이 초과 조건을 분석. R. Bharadwaj, C. Smith, B. C. Hancock, “The coefficient of restitution of some pharmaceutical tablets/compacts,” International Journal of Pharmaceutics 402(1–2), 50–56 (2010), doi:10.1016/j.ijpharm.2010.09.018 — 알약·캡슐 반발 계수의 산업 측정 사례. ※ 손 튕김은 회전과 함께 질량중심 속도·면외 회전도 조금씩 바꾸므로 2차원 근사에는 흔들림이 남는다. ※ 손가락 튕기기로 주는 초기 회전은 재현성이 낮아 많은 시도를 모아 통계적으로 접근해야 하며, 스마트폰 240 fps로 잰 자세각·각속도의 오차 한계와 캡슐 가로세로비에 따른 ‘넘는 영역’의 이동은 이 탐구의 개방 지점이다.

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