2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2016 · 문제 4 · 역학·진동, 강체·회전

던진 공이 나에게 되돌아온다 — 두 판 사이의 슈퍼볼

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2016 문제 4 ‘Super Ball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(마찰력)·「힘과 운동」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(충돌과 운동량 보존) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」(운동량과 충격량; 각운동량과 강체의 회전은 심화) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

비스듬한 충돌, 반발 계수, 법선 반발 계수, 접선 반발 계수, 접촉점, 충격량, 마찰력, 잡힘–미끄러짐(grip–slip), 각운동량 보존, 관성 모멘트, 병진 운동 에너지, 회전 운동 에너지, 백스핀과 톱스핀

원리 살펴보기

세게 던진 공이 어떻게 스스로 방향을 뒤집어 던진 사람에게 되돌아올까? 비밀은 위로 잘 튀는 성질이 아니라 옆으로 튀는 성질에 있다. 보통 공은 비스듬히 부딪히면 접촉점이 주르륵 미끄러져, 옆 방향 속도가 마찰에 먹혀 사라진다. 그런데 슈퍼볼은 표면이 바닥을 꽉 붙잡은 채(잡힘) 옆 방향으로도 고무처럼 눌렸다 펴진다. 그래서 접촉점의 옆 방향 속도는 사라지는 대신 부호가 뒤집혀 되튀어 나온다 — 공과 바닥 사이에 보이지 않는 옆 방향 용수철이 하나 더 들어 있는 셈이다. 이 되튐의 정도가 접선 반발 계수다 — 위로 튀는 정도를 재는 법선 반발 계수와는 전혀 다른 양으로, 슈퍼볼은 1에 가깝고 보통 공은 0 언저리다.

접촉점이 옆으로 되튀려면 공의 회전과 나아가는 속도가 함께 바뀌어야 한다. 충돌하는 찰나 접촉점을 축으로 한 각운동량이 보존되므로, 충돌할 때마다 병진과 회전이 서로 자리를 바꾼다. 회전 없이 던져 넣은 공은 바닥·탁자 아랫면·바닥에서 한 번씩 튀는 사이 이 맞바꿈이 쌓여, 세 번째 충돌을 마치면 던진 속력의 0.97배쯤으로 방향을 뒤집어 되돌아온다. 옆으로 튀지 못하는 보통 공에는 이 되돌아옴이 없다 — 문제가 굳이 ‘탄성이 매우 큰 공’을 지정한 이유가 여기 있다. 판의 방향을 바꾸면 이야기가 통째로 달라진다 — 두 판을 연직으로 세우면 같은 결합이 이번엔 연직 속도와 회전을 맞바꾸므로, 공은 아래로 빠지지 못하고 갇힌 채 위아래로 진동한다(현실의 슈퍼볼은 옆으로 튀는 정도가 1보다 작아 이 진동이 서서히 잦아들며 결국 빠져나간다).

놀이공의 물리 같지만 쓰임은 진지하다. 구기 스포츠(국제테니스연맹은 공을 낮은 각도로 코트에 쏘아 되튄 속도와 각으로 코트의 빠르기를 판정한다), 자동차 타이어의 그립–슬립(접선 방향에 저장된 탄성 에너지가 되돌아오며 붙듦과 미끄러짐이 갈린다), 낙석 방호 사면 설계(낙석 궤적 예측 프로그램의 두 핵심 입력이 법선·접선 반발 계수다 — 바위가 도로까지 내려올지가 갈린다), 알갱이·분체 공정 모사(곡물·광석이 벽에 비스듬히 부딪혀 어디로 튈지는 접선 접촉 모델이 정한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

슈퍼볼(지름 3~5 cm) 여러 개, 비교용 고무공과 탁구공, 평평하고 단단한 판 2장(합판이나 아크릴, 30 cm × 50 cm 이상), 판을 고정할 클램프와 스탠드, 각도기, 줄자, 모눈 배경지, 삼각대와 스마트폰(240 fps 슬로모션), 유성펜, 영상 분석 프로그램 Tracker, 보안경.

변인

독립변인은 두 판이 놓인 방향, 곧 수평면에 대한 기울기 각이다(수평 → 비스듬히 → 연직). 종속변인은 되돌아온 속력을 던져 넣은 속력으로 나눈 되돌아옴 비와 되돌아오기까지의 충돌 횟수다. 통제변인은 같은 슈퍼볼, 두 판의 간격, 판의 재질과 표면 상태, 던지는 속력과 입사각, 초기 회전(0에 맞춘다), 촬영 프레임 속도이다.

실험 순서

  1. 슈퍼볼에 유성펜으로 굵은 줄을 그려 회전을 읽을 표지로 삼고, 모눈 배경지 앞에 스마트폰을 삼각대로 고정한다. 충돌은 4 ms 남짓이어서 240 fps 슬로모션 촬영이 이 실험의 눈이다.

  2. [접선 반발 계수] 판 한 장을 각도기로 기울여 고정하고 그 위로 공을 회전 없이 연직으로 떨어뜨린다. 기울기를 10°부터 50°까지 10°씩 바꿔 조건마다 3회 촬영한 뒤, Tracker로 중심 속도와 각속도를 읽어 충돌 전후 접촉점의 접선 속도(중심의 접선 속도에서 반지름 × 각속도를 뺀 값)를 구한다.

  3. [두 판 사이] 판 두 장을 수평으로 나란히 두고(바닥판과 그 위로 띄운 판) 공을 회전 없이 던져 넣어, 세 번 튄 뒤 되돌아 나오는지 촬영하고 되돌아온 속력을 던진 속력으로 나눈다(5회 이상).

  4. [판의 방향] 두 판의 기울기를 수평 → 45° → 연직으로 바꿔 가며 되풀이한다. 연직에서는 공이 아래로 빠지는지 갇힌 채 위아래로 진동하는지 보고, 오르내림이 뒤집힐 때까지의 벽 충돌 횟수를 센다.

  5. [대조군] 같은 실험을 보통 고무공과 탁구공으로 되풀이한다 — 되돌아옴이 사라지는지 확인하는 이 반박 시험이 있어야 “슈퍼볼이라서 되돌아왔다”고 말할 수 있다.

안전 안내

⚠ 안전

슈퍼볼은 에너지를 거의 잃지 않고 예측하기 어렵게 튄다 — 튄 공이 곧장 눈으로 날아올 수 있으므로 전원 보안경을 쓰고, 던지는 사람의 뒤나 옆에는 서지 않는다. 유리창·거울·형광등이 없는 쪽을 향해 넓은 공간에서 하고, 판은 클램프로 고정한다. 세게 던질수록 되돌아오는 속력도 커지므로 아주 약하게 시작해 조금씩만 올린다. 바닥에 구르는 공은 밟으면 미끄러지므로 그때그때 회수한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

두 판을 수평으로 놓고 회전 없이 던져 넣은 공은 그대로 나아갈까, 아니면 던진 사람에게 되돌아올까? 같은 자리에서 보통 고무공으로 바꾸면 결과가 달라질까?

자료 정리

판의 기울기별로 되돌아옴 비와 충돌 횟수를 표로 모아, 가로축을 기울기 각으로 한 그래프를 그린다. 접선 반발 계수는 충돌 전 접촉점 접선 속도를 가로축, 충돌 후를 세로축으로 찍은 직선의 기울기로 읽는다 — 이상적인 슈퍼볼이면 −1에, 보통 공이면 0에 가깝다. 연직 두 판 실험은 벽 충돌 횟수를 가로축, 공의 높이를 세로축으로 찍어 진동인지 감쇠인지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

회전 없이 던져 넣은 공은 세 번의 충돌 뒤 방향을 뒤집어 되돌아올 것으로 예상된다 — 이상적인 슈퍼볼이면 던진 속력의 약 0.97배, 실측값 수준(접선 반발 계수 0.76)이면 약 0.67배다. 되돌아옴을 만드는 것은 잘 튀는 성질이 아니라 옆으로 튀는 성질, 곧 접선 반발 계수다 — 모형을 계산하면 이 값이 대략 0.14를 넘어야 공이 되돌아오는데, 실측 보고값 0.76은 이 문턱을 넉넉히 넘고 보통 공은 넘지 못한다. 그래서 ②의 그래프가 직선으로 나오는 범위에서는 그 기울기 하나로 되돌아옴 비를 미리 계산해 맞혀 볼 수 있다 — 이 예측–검증이 이 탐구의 척추다. 직선을 벗어난 점은 충돌 조건이 달라졌다는 신호이니 그 조건의 값을 따로 쓴다.

더 탐구하기

  1. 백스핀과 톱스핀을 걸어 던져 되돌아옴 비가 어떻게 달라지는지 재 보자. 단 한 번의 충돌로 공을 되돌려 보내는 최소 백스핀이 있는지 찾아보자.

  2. 속이 빈 탁구공이나 속에 추를 넣은 공으로 관성 모멘트를 바꿔, 연직 두 판 사이 진동의 주기가 달라지는지 보자 — 문헌은 이 진동수가 관성 모멘트로 정해진다고 예측한다.

  3. 판에 밀가루를 살짝 뿌리거나 종이·천을 덧대 마찰을 낮춰 가며, 잡힘이 미끄러짐으로 무너지는 문턱 입사각을 찾아보자.

  4. 두 판의 간격과 던지는 속력을 크게 바꿔도 되돌아옴 비가 그대로인지 보자 — 모형은 이 비가 간격·속력과 무관하다고 예측하므로, 어긋난다면 어느 가정이 깨졌는지 따져 볼 수 있다.

연결 주제

같은 해 문제 1 ‘기계식 난수 발생기’ — 튕김이 초기 조건의 기억을 지우는 성질을 난수의 재료로 쓰는데, 이 원고의 회전–병진 맞바꿈이 바로 그 지우개다. IYPT 2021 문제 15 ‘되튀는 캡슐’ — 충돌에서 회전과 병진이 에너지를 주고받는 점은 같으나 기제가 다르다. 캡슐은 접촉점이 질량중심에서 비켜나 생기는 돌림힘으로 위로 솟지만, 구는 접촉점이 늘 중심 바로 아래여서 접선 탄성으로만 옆으로 튄다. 같은 슬로모션·Tracker 추적법을 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] Hugh Hunt(케임브리지 대학 공학부) 동영상 모음 ‘Ball bouncing under a table’(www3.eng.cam.ac.uk/~hemh1/movies.htm — 탁자 아래로 던진 슈퍼볼이 들어온 길로 되돌아 나오는 촬영과 스핀 시뮬레이션. 같은 페이지의 ‘2010 월드컵 램파드의 무효 골’도 같은 보존 법칙으로 모형화했으나, 실제 골은 마찰·변형이 얽혀 단정하기 어렵다고 Hunt 자신이 밝힌다) / R. Bridges, “The spin of a bouncing ‘superball’,” Phys. Educ. 26(6), 350–354 (1991), doi:10.1088/0031-9120/26/6/003 (교사용 저널의 슈퍼볼 스핀 해설) / 영상 검색어 “superball bounce under table”, “Garwin superball” / [심화] R. L. Garwin, “Kinematics of an Ultraelastic Rough Ball,” Am. J. Phys. 37(1), 88–92 (1969), doi:10.1119/1.1975420 — 이 문제의 원점. 법선·접선 모두 완전 탄성인 ‘거친 공’ 모형을 세워, 바닥·탁자 아랫면·바닥 세 번의 충돌 뒤 공이 손으로 되돌아옴을 보였다. · B. T. Hefner, “The kinematics of a superball bouncing between two vertical surfaces,” Am. J. Phys. 72(7), 875–883 (2004), doi:10.1119/1.1701843 — 두 판이 수평이면 공이 되돌아오고, 연직이면 채널에 갇혀 진동하며 그 진동수가 관성 모멘트로 정해짐을(접선 반발 계수를 넣으면 감쇠 진동+낙하) 보였다. · R. Cross, “Measurements of the horizontal coefficient of restitution for a superball and a tennis ball,” Am. J. Phys. 70(5), 482–489 (2002), doi:10.1119/1.1450571 — 비스듬한 충돌을 실측해 슈퍼볼의 접선 반발 계수를 0.76으로 쟀다(테니스공 −0.51~+0.24). 이 원고의 ‘기울인 판에 연직으로 떨어뜨리기’가 이 논문의 방법이며, 논문 스스로 이 값이 입사각·바닥에 따라 달라질 수 있으나 조사하지 않았다고 밝힌다. · R. Cross, “Grip-slip behavior of a bouncing ball,” Am. J. Phys. 70(11), 1093–1102 (2002), doi:10.1119/1.1507792 — 충돌 중 붙듦과 미끄러짐이 갈리는 조건(대략 수평에서 20°보다 얕게 들어오면 내내 미끄러진다). · R. Cross, “The bounce of a ball,” Am. J. Phys. 67(3), 222–227 (1999), doi:10.1119/1.19229. · A. Doménech, “A classical experiment revisited: The bounce of balls and superballs in three dimensions,” Am. J. Phys. 73(1), 28–36 (2005), doi:10.1119/1.1794755 — 실험대 모서리에서 공을 수평으로 쏘아 되튐을 재는 학교 규모 방법. · P. J. Aston, R. Shail, “The dynamics of a bouncing superball with spin,” Dyn. Syst. 22(3), 291–322 (2007), doi:10.1080/14689360701198142. · P. J. Aston, P. M. Milliken, R. Shail, “The bouncing motion of a superball between a horizontal floor and a vertical wall,” Int. J. Non-Linear Mech. 46(1), 204–221 (2011), doi:10.1016/j.ijnonlinmec.2010.09.002 — 바닥과 연직 벽이 직각으로 만나는 되튐 동역학. · N. Maw, J. R. Barber, J. N. Fawcett, “The oblique impact of elastic spheres,” Wear 38(1), 101–114 (1976), doi:10.1016/0043-1648(76)90201-5 — 접선 방향 탄성 접촉의 표준 이론. · S. Liu, G. Guan, S. Peng, F. Lin, “Rebounding motion of a highly elastic ball between two parallel matte plates,” Am. J. Phys. 86(12), 893–902 (2018), doi:10.1119/1.5058511 — 두 판 사이 되튐을 고속 촬영으로 실측해 되돌아옴 모드를 규명한 직접 대응 실험. ※ 본문의 0.97배와 문턱 0.14는 Garwin 모형(균일한 속찬 구, 접선 반발 계수 1, 초기 회전 0)을 그대로 계산한 예상값이지 실측값이 아니므로, 학생이 직접 유도해 검산한 뒤 쓰기를 권한다. 또한 두 판 사이 되튐은 실측 사례가 있으나(Liu 2018), Hefner의 연직 채널 예측을 학교 재료로 확인한 사례와, 판 한 장에서 잰 접선 반발 계수만으로 다중 충돌의 되돌아옴 비를 예측·검증한 사례는 드물다 — 그 둘이 이 탐구의 개방 지점이다.

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