2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2015 · 문제 5 · 물성·재료, 역학·진동

작은 쪽이 큰 쪽을 부풀리는 역설 — 두 풍선

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2015 문제 5 ‘Two Balloons’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2015 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(탄성력)·「기체의 성질」(압력과 부피) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」 (힘의 평형·평형과 안정성) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성력, 고무 초탄성, 무니–리블린 모형, 라플라스 법칙(라플라스 압력), 막 장력, 게이지 압력, 압력–반지름 특성 곡선, 비단조 곡선, 팽창비(신장률), 압력 정점, 음(-)의 강성, 안정·불안정 평형, 대칭 깨짐, 상평형 그림, 이력(히스테리시스), 멀린스 효과, 변형 유도 결정화

원리 살펴보기

크기가 다른 두 풍선을 호스로 이어 밸브를 열면, 왜 작은 풍선이 오히려 큰 풍선에 바람을 불어넣을까? 답은 이미 우리 입술이 알고 있다. 풍선은 처음 불기 시작할 때가 가장 힘들고, 한 번 부풀고 나면 훨씬 수월해진다. 힘이 덜 든다는 것은 속의 압력이 낮아졌다는 뜻이다. 즉 풍선 속 압력은 커질수록 계속 높아지는 것이 아니라, 아직 한참 작을 때 정점을 찍고 그 뒤로는 오히려 떨어진다. 큰 풍선 쪽 압력이 더 낮다면, 공기가 작은 풍선에서 큰 풍선으로 흘러가는 것은 역설이 아니라 당연한 일이다.

왜 그런 모양이 나올까. 풍선 속을 밀어내는 것은 고무막의 장력이고, 그 장력이 만드는 내부 압력은 라플라스 법칙에 따라 장력을 반지름으로 나눈 값에 비례한다(ΔP = 2σ/R). 같은 장력이라면 풍선이 클수록 압력은 오히려 낮다 — 커질수록 곡률이 완만해져 안쪽을 조이는 효과가 약해지기 때문이다. 물론 고무를 늘이면 장력 σ도 함께 커지므로, 압력은 ‘자라는 장력’과 ‘커지는 반지름’의 줄다리기로 정해진다. 이상적인 고무(플로리 이론)에서 이 줄다리기를 풀면, 팽창비(부푼 반지름 ÷ 부풀리기 전 반지름)가 7의 6제곱근, 곧 약 1.38에 이르는 순간 장력의 증가가 반지름의 증가를 이기지 못하고 압력이 내리막으로 돌아선다. 더 크게 늘이면 사슬이 다 펴지고 변형 유도 결정화로 고무가 뻣뻣해져 압력이 다시 솟는다. 공기는 언제나 압력이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 흐르므로 결론은 명확하다 — 두 풍선이 모두 오르막(정점 왼쪽)에 있으면 큰 풍선이 작은 풍선을 불어 주어 둘은 같아지고, 모두 내리막에 있으면 작은 풍선이 큰 풍선을 불어 주어 격차가 벌어진다.

압력–반지름 곡선을 읽는 이 관점은 파티용 장난감을 넘어 여러 곳에서 결정적이다. 폐포와 폐 계면활성제는 이 문제의 생체판이다 — 라플라스 법칙만 따른다면 작은 폐포는 큰 폐포에 공기를 빼앗기고 찌그러져야 하지만, 폐 계면활성제가 폐포가 작아질수록 표면 장력을 더 크게 낮춰 이 붕괴를 막는다. 인공호흡기 분할 환기에서는 호흡기 한 대에 두 환자를 잇는 비상 상황에서 두 폐의 순응도가 다르면 공기가 한쪽으로 쏠려, 유량 제한기나 역류 방지 밸브를 덧대는 방안이 논의된다. 소프트 로보틱스의 공압 액추에이터는 거꾸로 이 불안정을 이용해, 압력을 조금만 올려도 순식간에 크게 부푸는 스냅스루로 빠르고 큰 변형을 얻는다. 혈관 동맥류와 풍선 카테터처럼 얇은 관이 유독 한 곳만 볼록하게 부풀어 오르는 국소 팽창도, 압력–반지름 곡선이 내리막으로 돌아서는 바로 그 지점에서 싹튼다.

실험 설계

준비물

같은 봉지에서 꺼낸 같은 규격의 고무 풍선 여러 개, 밸브(또는 호스를 조여 막는 클램프)가 달린 T자 연결관과 실리콘 호스, 압력계 — 압력 센서나 스마트폰 기압계 앱, 또는 물을 채운 U자관 압력계(물기둥 40 cm 이상), 눈금 주사기(50~100 mL), 줄자나 실(적도 둘레 측정), 스탠드와 클램프, 스마트폰(영상 촬영), 보안경.

변인

독립변인은 풍선에 넣은 공기의 양, 곧 팽창비(부푼 반지름 ÷ 부풀리기 전 반지름)이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 풍선 속 게이지 압력이다. 통제변인은 풍선의 종류·규격과 로트(같은 봉지에서 꺼낸 것), 미리 늘여 두는 횟수(멀린스 효과를 모든 풍선에 똑같이 맞춘다), 온도, 공기를 넣는 속도(관성·점탄성이 섞이지 않도록 준정적으로 아주 천천히), 둘레를 재는 위치(가장 굵은 적도)이다. 이어지는 두 풍선 실험에서는 독립변인이 두 풍선의 처음 팽창비 조합, 종속변인이 공기가 흐른 방향과 최종 크기가 된다.

실험 순서

  1. 같은 봉지의 풍선을 여러 개 꺼내 각각 크게 두세 번 불었다 뺀다 — 첫 팽창에서 유난히 뻣뻣하다가 한 번 늘이고 나면 물러지는 멀린스 효과를 미리 겪게 해 조건을 맞추는 과정이다. 부풀리기 전 적도 둘레를 재어 처음 반지름을 정해 둔다(둘레 ÷ 2π).

  2. 풍선을 호스로 압력계에 연결하고 주사기로 공기를 일정량씩 단계적으로 넣는다. 단계마다 잠시 멈춰 압력이 안정된 뒤 게이지 압력과 적도 둘레를 함께 기록하고, 압력이 정점을 지나 내려갔다가 다시 오를 때까지 계속한다.

  3. 같은 방식으로 공기를 단계적으로 빼며 되돌아오는 곡선도 기록해, 넣을 때의 곡선과 겹치는지 아니면 이력 고리가 남는지 확인한다.

  4. 두 풍선 실험 — 같은 규격의 풍선 두 개를 밸브를 잠근 채 서로 다른 팽창비로 부풀려 T자 연결관 양쪽에 끼운다. 두 풍선 모두 부풀리는 방향으로만 목표 크기에 맞춘 뒤, 밸브를 열기 직전 압력계로 각 풍선의 게이지 압력을 직접 읽어 그 차이로 방향을 예측한다(앞서 얻은 곡선은 오르막·내리막을 가늠하는 지도로 쓴다). 밸브를 열어 실제 방향을 영상으로 기록한다.

  5. 둘 다 오르막인 조합, 둘 다 내리막인 조합, 정점을 사이에 두고 나뉜 조합으로 처음 팽창비를 바꿔 가며 앞 단계를 반복하고(조합마다 3회), 흐른 방향과 최종 두 크기를 표로 모은다.

  6. 곡선의 같은 압력 높이에서 크기가 다른 세 풍선(오르막·내리막·다시 오르막에 하나씩)을 골라 잇기 직전 압력이 정말 같은지 확인한 뒤 한꺼번에 연결하고, 정말 아무 일도 일어나지 않는지 확인한다.

안전 안내

⚠ 안전

풍선은 터질 때 파편이 눈을 때릴 수 있고 소리가 매우 크다 — 부풀리는 동안 보안경을 쓰고 얼굴을 멀리 두며 주위 사람과 거리를 확보한다. 라텍스 알레르기가 있는 학생은 라텍스가 없는 풍선을 쓰거나 조작을 맡지 않는다. 입으로 세게 반복해 불면 어지러움(과호흡)이 올 수 있으므로 부풀리기는 주사기나 펌프로 한다. 터진 조각은 삼키면 질식 위험이 크니 즉시 모아 버린다. 스마트폰을 풍선 안에 넣는 방법은 기기가 젖거나 튕겨 나갈 수 있으므로, 호스로 연결한 바깥쪽 압력계를 권한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

큰 풍선과 작은 풍선을 호스로 잇고 밸브를 열면 공기는 어느 쪽으로 흐를까? 그리고 두 풍선을 아주 조금만 부풀렸을 때와 둘 다 빵빵하게 부풀렸을 때, 그 답이 서로 달라질까?

자료 정리

단계마다 기록한 적도 둘레에서 반지름을 구하고(둘레 ÷ 2π), 처음 반지름으로 나눠 팽창비를 낸다. 가로축을 팽창비, 세로축을 게이지 압력으로 하여 넣기 곡선과 빼기 곡선을 한 그래프에 겹쳐 그리고, 정점과 최저점의 팽창비를 읽어 이상 고무의 예측값 약 1.38과 견준다. 두 풍선 실험은 가로축·세로축을 각각 두 풍선의 처음 팽창비로 하는 평면에 조합마다 점을 찍고, 흐른 방향을 화살표나 색으로 구분해 상평형 그림 꼴로 정리한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

압력은 팽창비가 커질수록 계속 오르는 것이 아니라, 팽창비 1.4 안팎에서 정점을 찍고 내려갔다가 크게 늘어난 뒤 다시 솟는 비단조 곡선을 그릴 것으로 예상된다. 두 풍선 실험에서는 둘 다 정점 왼쪽에 있으면 큰 풍선이 작은 풍선을 불어 주어 같은 크기로 수렴하고, 둘 다 내리막에 있으면 작은 풍선이 큰 풍선을 불어 주어 격차가 벌어질 것으로 보인다. ‘작은 풍선이 큰 풍선을 부풀린다’는 역설은 결국 역설이 아니라, 압력–반지름 곡선이 내리막인 구간에서는 작은 쪽의 압력이 더 높다는 사실의 당연한 귀결이다. 이 탐구의 힘은 여기에 있다 — 잇기 직전의 두 압력으로 방향을 예측하고, 그 예측이 맞는지로 곡선을 거꾸로 검증할 수 있다. 한 걸음 더 들어가면 안정성이 보인다. 두 풍선이 같은 크기로 나란히 있는 상태는 오르막에서는 안정하지만 내리막에서는 불안정해, 아주 작은 차이만 생겨도 한쪽이 다른 쪽을 삼키며 스스로 대칭이 깨진다.

더 탐구하기

  1. 풍선 대신 크기가 다른 비눗방울 두 개를 관으로 이어 보자. 비눗물은 표면 장력이 늘 일정해 압력이 반지름에 반비례하기만 하므로 언제나 큰 쪽이 작은 쪽을 삼킬 것으로 예상된다 — 방향이 뒤집히는 까닭이 ‘고무의 비단조 특성’임을 가려내는 대조 실험이다.

  2. 미리 늘인 횟수를 0회·1회·5회로 바꿔 가며 압력 곡선이 얼마나 낮아지는지(멀린스 효과) 재고, 몇 번 만에 곡선이 더 이상 변하지 않는지 찾아보자.

  3. 풍선의 종류(크기·두께·재질)를 바꿔, 정점의 팽창비가 이상 고무의 예측값 1.38에서 얼마나 벗어나는지 비교해 보자.

  4. 호스의 굵기와 길이를 바꿔 공기가 옮겨 가는 시간을 재고, 유동 저항이 최종 상태까지 바꾸는지 도달 속도만 바꾸는지 확인해 보자.

연결 주제

IYPT 2025 문제 11 ‘용수철 이력’ — 특성 곡선이 단조롭지 않아 음(-)의 강성 구간이 생기고 그 탓에 평형이 여럿 나타난다는 뼈대가 똑같다. 다만 그쪽의 음의 강성은 용수철을 건 기하에서, 이 문제의 것은 고무의 초탄성과 라플라스 법칙에서 온다 — 같은 수학, 다른 출처다. IYPT 2025 문제 2 ‘공기 근육’ — 풍선·공압 장비와 게이지 압력 측정, 넣기·빼기 곡선에서 이력을 읽는 방법을 공유한다(그쪽의 핵심은 그물의 엮음각 기하다).

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Two-balloon experiment’(압력 정점이 팽창비 7의 6제곱근 ≈ 1.38에 나타나는 까닭과 정점 오른쪽 ‘같은 크기’ 평형의 불안정성) / 위키백과 ‘Laplace pressure’·‘Mullins effect’(라플라스 압력, 첫 팽창 뒤 고무가 물러지는 연화 현상) / PhysLab(LUMS) 실험 1.34 ‘Properties of rubber balloons’(압력 센서로 풍선 압력을 실시간 측정하는 학생용 매뉴얼·표본 곡선) / 영상 검색어 “two balloon experiment”, “balloon paradox” / [심화] D. R. Merritt, F. Weinhaus, “The pressure curve for a rubber balloon,” Am. J. Phys. 46(10), 976–977, 1978 (DOI 10.1119/1.11486; 압력–반지름 식을 유도해 실험과 견주고 두 풍선의 평형까지 다룬 원전) · F. Weinhaus, W. Barker, “On the equilibrium states of interconnected bubbles or balloons,” Am. J. Phys. 46(10), 978–982, 1978 (DOI 10.1119/1.11487; 연결된 두 막의 평형을 비눗방울·고무 풍선으로 정리 — 비눗방울 대조의 근거) · Y. Levin, F. L. da Silveira, “Two rubber balloons: Phase diagram of air transfer,” Phys. Rev. E 69(5), 051108, 2004 (DOI 10.1103/PhysRevE.69.051108, arXiv:cond-mat/0403171 — 프리프린트 제목은 ‘To grow or to shrink’; 공기가 압력 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 흐름을 열역학으로 보이고 상평형 그림을 완성) · J. Vandermarlière, “On the inflation of a rubber balloon,” Phys. Teach. 54(9), 566–567, 2016 (DOI 10.1119/1.4967901; 스마트폰 기압계로 압력–반지름 곡선을 직접 측정 — 정점은 팽창비 약 1.44에서 나타났고 정점 압력조차 대기압보다 약 3 %만 높았다. 빼기 곡선의 이력과 세 풍선의 등압점도 제시) · E. Verron, G. Marckmann, “Numerical analysis of rubber balloons,” Thin-Walled Structures 41(8), 731–746, 2003 (DOI 10.1016/S0263-8231(03)00023-5; 무니–리블린 막으로 두 풍선의 불안정과 평형 경로를 수치 추적 — 물성 파라미터(C₂/C₁ = 0.1)에서 정점 팽창비는 1.48). ※ 압력 정점의 위치부터 문헌이 갈린다 — 이상 고무(플로리) 모형은 팽창비 1.38을, 무니–리블린 수치는 1.48을, 스마트폰 실측은 1.44를 준다. 학생이 쥔 풍선에서 정점·최저점과 ‘다시 오르막’이 시작되는 팽창비는 풍선마다 달라 직접 재는 수밖에 없다. 또 문헌의 상평형 그림은 ‘완전히 동일한 두 풍선’을 구(球)로 이상화한 것이어서, 실제 풍선의 배 모양 변형과 목의 구속, 개체차, 멀린스 효과의 불균등은 빠져 있다. 특히 내리막의 대칭 평형이 어느 쪽으로 깨지는지를 무엇이 정하는지는 이 탐구의 개방 지점이다.

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