저장한 만큼 뛰지 못한다 — 눌렸다 풀린 탄성 고리

탐구 주제

IYPT 2013 문제 16 ‘Hoops’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2013 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력) · 「운동과 에너지」(역학적 에너지 보존) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(운동량과 충격량) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 — 굽힘 강성과 면내 진동은 교육과정 밖 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성력, 훅 법칙, 굽힘 강성, 탄성 퍼텐셜 에너지, 역학적 에너지 보존, 운동량과 충격량, 무게중심, 면내 진동, 공기 항력, 탄성 계수(영률), 도약 효율, 스냅 좌굴

원리 살펴보기

손가락으로 눌러 납작해진 플라스틱 고리를 놓으면 왜 튀어 오를까? 고리를 누르면 재료가 굽으면서 변형 에너지를 저장한다. 눌린 깊이 δ와 누르는 힘 F는 용수철처럼 F = kδ로 비례하고, 강성 k는 탄성 계수 Y와 폭 w·두께 s·반지름 R로 정해진다(얇은 고리에서 k ∝ Yws³/R³). 저장 에너지는 ½kδ²이다. 손을 떼면 고리는 원형으로 돌아가며 바닥을 밀고, 바닥은 그만큼 되민다 — 고리를 띄우는 것은 이 바닥의 반작용이다. 완전한 원이 되는 순간 접촉이 끊어지고, 그때 무게중심이 얻은 속도가 도약 높이를 정한다.

그렇다면 저장 에너지를 mgH에 넣으면 될까? 그렇게 계산한 높이는 실제보다 두 배 가까이 크다. 이륙 순간의 고리는 완전한 원이지만 정지해 있지 않다 — 납작해졌다 길쭉해지기를 되풀이하는 면내 진동 중이고, 그 떨림의 에너지는 무게중심을 들어 올리지 못한다. 높이를 정하는 것은 접촉하는 동안 바닥이 무게중심에 넘겨준 알짜 충격량 하나뿐이다. 강철·폴리이미드 고리의 고속촬영 연구는 저장 에너지가 병진 57 %·진동 36 %·바닥 7 %로 갈라지고 그 비율이 크기·변형량·재질에 거의 무관함을 보였다. 여기에 항력이 더해져 도약은 더 낮아진다. 뒤집힌 반구 껍질 ‘포퍼’도 같아서, 저장 에너지 전체가 아니라 접촉이 고리형에서 원판형으로 바뀌는 임계 순간이 높이를 정한다. 도약 높이는 s²δ²/R⁴에 비례한다 — 두껍고 작은 고리를 깊이 누를수록 높이 뛴다.

짧은 순간에 큰 힘을 내야 하는 곳마다 이 원리가 일한다. 도약형 소프트 로봇(스냅 좌굴로 느린 구동기에서도 큰 순간 출력을 낸다), 곤충의 걸쇠 도약(벼룩·메뚜기는 탄성 조직에 모은 에너지를 걸쇠를 풀어 한꺼번에 쏟는다), 스냅 구조물(자벌레 팔찌와 전개형 붐은 두 안정 상태를 순식간에 넘나든다), 스포츠 장비(장대높이뛰기 폴도 저장한 에너지를 돌려주지만 무게중심을 올린 몫만 기록이 된다)에 쓰인다.

실험 설계

준비물

페트병 여러 종류(몸통 지름 60~90 mm 범위에서 벽 두께가 다른 것), 가위와 커터·커팅 매트, 사포, 목장갑, 디지털 캘리퍼, 0.1 g 단위 이하 전자저울, 누름판(아크릴판이나 책), 대나무 꼬치, 높이가 같은 받침 2개, 단단한 책상, 모눈 배경지와 자, 스마트폰(120~240 fps), 보안경, 튄 고리를 받을 쿠션.

변인

독립변인은 고리를 눌러 놓는 깊이(누름 변형량) δ이며, 계열을 나누어 반지름 R와 두께 s도 하나씩 바꾼다. 종속변인은 고리 중심의 최고 도약 높이 H이고, 여기서 도약 효율 mgH/Eb를 얻는다. 통제변인은 고리의 폭과 재질, 바닥의 단단함(딱딱한 바닥끼리는 차이가 1 % 이내라는 보고가 있다), 고리 평면을 연직으로 두고 카메라와 나란히 두는 자세, 놓는 방식, 무풍 실내이다.

실험 순서

1. 페트병 몸통의 곧은 부분에서 폭 10 mm 안팎의 고리를 잘라 낸다(몸통이 원형이라 이어 붙일 필요가 없다). 가장자리를 사포로 다듬고, 두께 s와 지름은 캘리퍼로 질량 m은 저울로 잰다.

2. 고리를 전자저울에 세우고 누름판으로 천천히 눌렀다가 다시 풀며, 눌린 깊이 δ를 자로 재며 눈금을 함께 읽는다. 눈금(g)에 9.8 mN/g을 곱해 F로 바꾼 뒤, F–δ가 직선이면 그 기울기가 강성 k이고 저장 에너지는 Eb = ½kδ²이다. 휘거나 올릴 때와 내릴 때가 갈리면 누를 때 곡선 아래 면적을 Eb로 쓰고, 두 곡선 사이 면적은 이력으로 잃은 몫으로 따로 적는다. 고리와 누름판을 얹은 상태에서 저울 영점을 잡는다.

3. 받침 두 개에 대나무 꼬치를 수평으로 걸쳐 아래 높이를 (지름 − δ)로 맞추고, 그 아래에 고리를 세워 눌린 상태로 둔다.

4. 모눈 배경지 앞에서 120~240 fps로 촬영하며 꼬치를 제 길이 방향으로 빼낸다(옆으로 밀면 도약이 기울어진다). 영상에서 고리 중심의 최고 높이 H를 읽는다.

5. δ를 여러 단계로 바꿔 조건마다 5회씩 되풀이하되, 누른 자리에 흰 자국(응력 백화)이나 접힘이 남으면 그 고리는 항복한 것이니 δ를 줄이고 새 고리로 다시 시작한다. 지름과 두께가 다른 병으로 R·s 계열을 만들어 반복한다.

안전 안내

눌린 고리는 놓는 순간 예측하기 어려운 방향으로 튄다 — 반드시 보안경을 쓰고, 고리 위나 정면으로 얼굴을 가져가지 않으며 사람이 없는 쪽을 향해 놓고 그쪽에 쿠션을 세워 둔다. 페트병은 자른 가장자리가 날카로우니 장갑을 끼고 매트 위에서 자른 뒤 사포로 다듬는다. 금속 고리(강철 밴드·톱날·줄자)는 절단면이 위험하고 저장 에너지가 훨씬 커지므로 쓰지 않는다. 고리는 지름 60~90 mm·두께 0.4 mm 이하의 플라스틱으로 제한하고, 누름 변형량은 지름의 3분의 2를 넘기지 않는다(그래도 도약이 1 m에 이를 수 있으니 조명·유리가 없는 쪽을 향해 놓는다).

예상과 해석

먼저 예상해 보기

저장된 탄성 에너지가 전부 도약이 된다고 계산한 높이와 실제 높이는 얼마나 다를까? 두꺼운 고리와 얇은 고리 중 어느 쪽이 높이 뛸까?

자료 정리

조건마다 저장 에너지 Eb와 도약의 역학적 에너지 mgH를 나란히 적고, 가로축 Eb·세로축 mgH로 점을 찍는다. 점들은 원점 근처에서만 직선에 가깝고 큰 δ에서는 공기 항력 때문에 그 아래로 휜다 — 원점 쪽 기울기가 얼마인지, 어디서부터 휘는지가 핵심 결과다. 다음으로 가로축을 s²δ²/R⁴로 바꿔 조건이 다른 점들이 한 곡선으로 겹치는지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

도약 높이는 누름 깊이가 클수록, 두꺼울수록, 반지름이 작을수록 커지고, 가로축을 s²δ²/R⁴로 바꾸면 여러 조건의 점들이 한 곡선으로 모일 것으로 예상된다. 그러나 mgH 대 Eb 그래프의 기울기는 1이 아니라 그보다 훨씬 작을 것이다 — 저장한 에너지의 절반 안팎만 도약이 된다. 사라진 몫은 공중에서 아직 떨고 있는 고리 안에 남아 있고, 나머지는 바닥과 공기로 빠져나갔다. 작은 δ 쪽 기울기가 문헌의 57 %에 가깝게 나온다면 그 배분이 재료와 크기를 넘어 성립한다는 뜻이고, 크게 다르면 그 이유가 다음 질문이 된다. 이륙은 10 ms 남짓이라 240 fps로도 두세 프레임뿐이어서, 변형 과정은 읽히지 않고 최고점만 읽힌다는 한계도 적자.

더 탐구하기

1. 재질이 다른 플라스틱(투명 파일 필름·요구르트병)으로 같은 치수의 고리를 만들어, 도약 높이가 재료의 Y/ρ에 따라 달라지는지 본다(Y는 k에서 거꾸로 구한다).

2. 가장 빠른 프레임률로 공중의 고리를 찍어 납작–길쭉을 오가는 진동수를 세어 보자 — 도약에 쓰이지 못한 36 %가 눈에 보이는 형태다.

3. 바닥을 나무·금속판·고무판·팽팽하게 씌운 비닐막으로 바꿔 도약 높이를 비교한다. 딱딱한 바닥끼리는 차이가 거의 없어도 무른 바닥에서는 크게 달라진다는 보고를 확인한다.

4. 얕은 물을 담은 쟁반 위에서도 같은 도약이 되는지 시도해 보자 — 문헌은 물 위 도약을 항력이 지배하는 별도의 문제로 다루었다.

연결 주제

같은 해 문제 1 ‘종이 다리(Invent yourself)’ — 얇은 판과 고리의 굽힘 강성을 하중–처짐 그래프의 기울기에서 뽑아내는 방법이 똑같아, 그 원고의 측정 기법을 이 문제의 ② F–δ 측정에 그대로 쓸 수 있다. 되튐 높이 촬영으로 에너지 손실을 재는 쪽은 문제 3 ‘되튀는 공(Bouncing ball)’과 이어진다.

참고문헌

[학생] D. R. Lapp, “Exploring ‘extreme’ physics with an inexpensive plastic toy popper,” Physics Education 43(5), 492–493, 2008, DOI 10.1088/0031-9120/43/5/004 (포퍼의 큰 가속도를 계산하는 학교 활동) / ‘Jumping hoops’ 전문은 fluids.snu.ac.kr에 공개 / 영상 검색어 “jumping hoop slow motion”, “popper toy high speed” — “hopping hoop”은 다른 문제다. [심화] E. Yang, H.-Y. Kim, “Jumping hoops,” American Journal of Physics 80(1), 19–23, 2012, DOI 10.1119/1.3633700 (강철·폴리이미드 고리를 3,000 fps로 촬영 — 저장 변형 에너지가 병진 57 %·진동 36 %·바닥 7 %로 갈라지고 그 비율이 치수·재질에 무관, 도약 높이는 s²δ²/R⁴에 비례) · T. Abe 외, “Snap and Jump: How Elastic Shells Pop Out,” Advanced Robotics Research 1(2), 2025, DOI 10.1002/adrr.202500041 (포퍼의 도약은 접촉이 고리형에서 원판형으로 바뀌는 전이가 촉발하며 그 임계 상태가 높이를 정한다) · H. B. Jeong 외, “Elastic hoops jumping on water,” Physical Review Fluids 8, 100503, 2023, DOI 10.1103/PhysRevFluids.8.100503 (같은 고리의 물 위 도약) · A. Pandey 외, “Dynamics of snapping beams and jumping poppers,” EPL 105(2), 24001, 2014, DOI 10.1209/0295-5075/105/24001 (스냅의 시간 규모와 ‘팝’ 소리 진동수). ※ 위 실측은 두께 0.1 mm급 강철·폴리이미드 고리의 것이다. 페트병에서 잘라 낸 플라스틱 고리에서도 병진 57 %라는 배분이 그대로인지, 무른 바닥에서 빠지는 몫이 얼마나 커지는지가 개방 지점이다.