빠를수록 좁아질까 — 오리가 만드는 물결 원뿔

탐구 주제

IYPT 2006 문제 3 ‘Duck's cone’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2006 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「파동」(파동의 발생·전파, 파장·진동수·파의 속력)·「여러 가지 운동」(속력) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 어림) / 물리학 「빛과 물질」(파동의 간섭·중첩·회절) · 진로선택 「역학과 에너지」(속도와 상대 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

켈빈 항적(Kelvin wake), 마하 원뿔, 마하수, 프루드 수, 심수파·천수파, 수면 중력파, 분산 관계, 위상 속도, 군속도, 파동의 간섭·중첩, 횡파·발산파, 조파 저항, 임계·초임계 흐름, 도플러 효과

원리 살펴보기

오리는 왜 더 빨리 헤엄쳐도 뒤로 벌어지는 물결의 V자가 좀처럼 좁아지지 않을까? 초음속 제트기의 소리는 마하 원뿔로 쌓이고, 그 반각은 sin θ = 1/마하수를 따라 빠를수록 좁아진다. 오리 뒤의 V자도 언뜻 같아 보이지만, 물 위의 파동에는 반전이 숨어 있다. 물 위의 중력파는 파장이 길수록 빠르게 나아가는 ‘분산성’ 파동이고, 에너지가 실려 가는 군속도는 마루가 나아가는 위상 속도의 딱 절반이다. 바로 이 성질 때문에, 깊은 물에서 항적을 감싸는 쐐기의 반각은 오리의 속도와 무관하게 약 19.47°(=arcsin ⅓)로 고정된다 — 켈빈이 1887년에 밝힌 이 ‘각이 변하지 않는 V’가 마하 원뿔과 결정적으로 다른 점이다.

그렇다면 속도에 따라 변하는 것은 없을까? 쐐기 ‘안’의 무늬와 크기가 변한다. 쐐기 속에는 두 종류의 물결 — 뒤를 가로지르는 횡파와 깃털처럼 비스듬히 뻗는 발산파 — 이 겹쳐 헤링본 무늬를 이루고, 그 파장은 속도의 제곱에 비례해 커진다. 게다가 ‘각이 고정된다’는 이야기는 깊은 물에서만 성립한다. 오리가 노니는 곳은 대개 얕은 연못이다. 얕은 물에서 물결은 분산성을 잃고 파장과 무관하게 √(gh)(h는 수심)로만 나아가, 소리와 똑같아진다. 이때 무늬를 지배하는 수가 마하수의 물결판인 수심 기준 프루드 수 Fr_h = v/√(gh)다. 얕은 물에서 오리가 √(gh)보다 빠르면(Fr_h>1) 항적은 진짜 마하 원뿔처럼 행동해 sin θ = 1/Fr_h, 즉 빠를수록 좁아진다. 결국 오리의 ‘원뿔’이 각이 고정된 19.47° 켈빈 항적일지, 속도 따라 좁아지는 마하형일지는 수심 기준 프루드 수가 가른다(깊은 물에서도 몸길이 기준 Fr_L = v/√(gL)가 크면 가장 밝은 팔은 1/Fr_L로 좁아진다).

이 원리는 물가 곳곳에서 일한다. 선박 설계와 ‘선체 속도’(조파 저항이 프루드 수 0.4 부근에서 최대여서 배가 쉽게 넘지 못하는 속도 한계가 생긴다), 얕은 물길의 항주파 관리(빠른 여객선이 운하·강에서 만드는 초임계 항적이 둑을 침식하므로 수심 기준으로 속도를 제한한다), 위성·레이더의 선박 탐지(인공위성 영상레이더가 19.47°로 고정된 켈빈 항적을 단서로 배를 찾고 무늬에서 속도를 역산한다), 생체모방 대형 이동(새끼 오리가 어미의 항적을 타 조파 저항을 줄이는 원리를 무인 수상 선단·화물 대열의 에너지 절감에 응용한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

긴 투명 수조 또는 곧은 빗물받이 홈통(수 m), 잔잔한 물, 위에서 끌 모형(작은 나무 막대·모형 배 선체·장난감 오리), 일정 속도로 끄는 장치(도르래에 건 실과 낙하 추, 저속 전동 대차, 또는 눈금을 따라 손으로 일정 박자로 끌기), 바로 위에서 수직으로 내려다보게 고정한 스마트폰(고속 촬영), 수조 바닥이나 배경에 붙인 모눈판, 각도기 또는 영상 분석 도구(트래커·ImageJ), 수심을 바꿀 받침 블록, 자.

변인

독립변인은 모형을 끄는 속도이다(두 번째 실험에서는 물의 깊이도 독립변인으로 삼는다). 종속변인은 위에서 찍은 사진에서 잰 항적의 반각, 곧 끄는 경로와 항적 팔 사이의 각이다. 통제변인은 모형의 모양·크기, (속도 실험에서는) 물 깊이, 수조 폭(벽 반사 방지), 출발 전 수면의 잔잔함, 그리고 카메라의 높이와 수직 정렬이다.

실험 순서

1. 물을 깊게(예상 파장보다 훨씬 깊게) 채우고 바닥에 모눈판을 깔며, 스마트폰을 수조 중심선 바로 위에 수직으로 고정한다.

2. 모형을 수조 중심선을 따라 낮고 일정한 속도로 끌며 위에서 촬영한다. 속도를 조금씩 높여 가며 같은 촬영을 반복한다(속도마다 3회).

3. 항적이 충분히 발달한 프레임에서 끄는 경로와 밝은 항적 팔 사이의 반각을 잰다(인쇄한 프레임에 각도기, 또는 트래커·ImageJ의 각도 도구). 반복 촬영값을 평균한다.

4. 항적 반각을 속도(그리고 몸길이 기준 프루드 수 Fr_L=v/√(gL))에 대해 그래프로 그린다 — 바깥 경계가 약 19.47°에 머무는지, 가장 밝은 팔이 빠른 속도에서 좁아지는지 본다.

5. 물을 얕게 바꿔 천수파가 지배하게 하고, 각 시행의 수심 기준 프루드 수 Fr_h=v/√(gh)를 계산해 Fr_h>1에서 sin θ=1/Fr_h를 따르는 마하형 원뿔로 좁아지는지 확인한다.

6. 두 영역을 비교한다 — 깊은 물의 ‘각이 고정된’ 켈빈 항적과 얕은 물 초임계의 ‘속도 따라 좁아지는’ 마하형 항적.

안전 안내

물과 전기를 함께 다루므로 스마트폰·전동 장치는 물에서 떨어뜨려 감전·침수를 막고, 촬영용 거치대가 물에 빠지지 않게 단단히 고정한다. 흘린 물은 곧바로 닦아 미끄러짐을 막고, 낙하 추로 끄는 장치는 발밑에 두지 않는다. 물을 채운 큰 수조는 무거우므로 옮길 때 허리를 다치지 않게 유의하고, 바닥이 젖은 곳으로 전선을 끌지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

모형을 더 빠르게 끌면 뒤로 벌어지는 물결의 V자는 좁아질까, 그대로일까? 그리고 물을 얕게 하면 그 답이 달라질까?

자료 정리

속도별 항적 반각을 표로 모아 가로축을 속도(또는 Fr_L·Fr_h)로 한 그래프를 그린다. 깊은 물 실험에서는 바깥 경계각이 속도와 무관하게 약 19.47° 부근에서 평평한지 보고, 얕은 물 실험에서는 측정한 sin θ를 1/Fr_h에 대해 그려 기울기 1의 마하 직선 위에 놓이는지 확인한다. (수치는 실제 측정으로 채우고, 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

깊은 물에서는 속도를 높여도 항적의 바깥 경계각이 약 19.47°에서 거의 변하지 않고(켈빈 항적), 다만 가장 밝은 팔만 빠른 속도에서 좁아질 것으로 예상된다. 반면 물을 얕게 해 수심 기준 프루드 수가 1을 넘으면 sin θ = 1/Fr_h를 따라 속도가 빠를수록 좁아지는 마하형 원뿔이 나타날 것이다. 이 대비가 곧 분산성 파동(깊은 물)과 비분산성 파동(얕은 물·소리)의 차이를 눈으로 보여 준다 — 오리의 물결이 진짜 마하 원뿔처럼 행동하는 것은 얕은 물에서(또는 가장 밝은 팔만 좇을 때)뿐이다. 무늬를 다스리는 수는 둘이다 — 깊은 물의 밝은 팔은 몸길이 기준 Fr_L이, 얕은 물의 마하형 전이는 수심 기준 Fr_h가 가른다. 예쁜 V자를 이 두 수에 대한 각도 그래프로 바꾸는 순간 물놀이 사진이 물리가 된다.

더 탐구하기

1. 물 깊이를 체계적으로 바꿔 가며 항적이 ‘각 고정’에서 ‘속도 의존’으로 넘어가는 임계 수심 프루드 수를 찾아보자.

2. 실제 연못의 오리·거위·작은 배를 알려진 크기의 기준물과 함께 위에서 찍어 항적 각을 재고, 그 프루드 수를 어림해 보자.

3. 쐐기 안의 두 물결 — 가로지르는 횡파와 비스듬한 발산파 — 을 구분해, 속도가 바뀔 때 둘의 두드러짐이 어떻게 달라지는지 관찰하자.

4. 매끄럽게 끄는 대신 발장구처럼 끊어서 미는 교란원으로 바꿔, 오리의 물갈퀴질(비정상 교란)이 항적 무늬에 어떤 결을 더하는지 비교하자.

연결 주제

문제 12 ‘다각형 와류’(2020) — 수면 중력파의 분산과 간섭이 무늬를 만든다는 같은 물리를 다루며, 위에서 내려다보는 수면 촬영과 파장·각도 측정 기법을 그대로 공유한다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘켈빈 항적(Kelvin wake pattern)’ / Physics World 기사 “Physicists rethink celebrated Kelvin wake pattern for ships”(2013) / 영상 검색어 “duck wake Kelvin” / [심화] F. S. Crawford, “Elementary derivation of the wake pattern of a boat,” American Journal of Physics 52(9), 782–785 (1984), doi:10.1119/1.13550 — 군속도가 위상 속도의 절반이라는 사실만으로 켈빈 각 19.47°를 초등 유도 · M. Rabaud, F. Moisy, “Ship wakes: Kelvin or Mach angle?,” Physical Review Letters 110(21), 214503 (2013), doi:10.1103/PhysRevLett.110.214503 — 항공사진 분석으로 큰 프루드 수에서 겉보기 항적각이 1/Fr_L로 좁아짐을 보고(선체 길이 기준 Fr_L≈0.5에서 전이) · A. Darmon, M. Benzaquen, E. Raphaël, “Kelvin wake pattern at large Froude numbers,” Journal of Fluid Mechanics 738, R3 (2014), doi:10.1017/jfm.2013.607 — 최대 진폭 각은 1/Fr_L로 좁아지나 항적의 바깥 경계는 19.47°로 유지됨을 이론으로 규명(논쟁 정리) · Z.-M. Yuan 외, “Wave-riding and wave-passing by ducklings in formation swimming,” Journal of Fluid Mechanics 928, R2 (2021), doi:10.1017/jfm.2021.820 — 오리는 Fr_L 약 0.25로 헤엄치며 켈빈 항적을 만들고, 새끼가 그 항적을 타 조파 저항을 줄임. ※ 배·선박의 켈빈 항적과 새끼 오리의 대형 헤엄은 잘 다뤄졌으나, ‘한 마리 오리의 항적 각을 헤엄 속도·연못 수심에 따라 직접 측정’해 켈빈↔마하 전이를 확인한 문헌은 찾기 어렵다 — 그 측정이 이 탐구의 개방 지점이다.