아무도 흔들지 않는데 공이 튄다 — 튀는 마개

탐구 주제

IYPT 2005 문제 7 ‘The bouncing plug’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2005 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(부력·중력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(유체의 압력과 부력) · 진로선택 「역학과 에너지」(유체의 압력과 흐름 — 베르누이 법칙) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

부력, 아르키메데스 원리, 압력, 수두(head), 토리첼리 정리, 연속 방정식, 베르누이 법칙, 흡인력, 항력, 부가 질량, 자려진동(자기여기 진동), 되먹임, 한계순환, 완화진동, 충돌 채터, 유체-구조 상호작용

원리 살펴보기

아무도 건드리지 않았는데, 배수구 위의 공은 왜 스스로 위아래로 튀기 시작할까? 물이 빠질 때 물은 사방에서 배수구로 모여들고, 물에 뜨는 가벼운 공도 그 흐름에 이끌려 구멍 위에 자리를 잡는다. 공이 구멍에 다가가면 공과 구멍 가장자리(시트) 사이 틈이 좁아지는데, 같은 양의 물이 좁아진 틈을 지나려면 더 빨라져야 하고(연속 방정식), 흐름이 빨라진 곳은 압력이 낮아진다(베르누이 법칙). 종이 두 장 사이를 불면 종이가 서로 달라붙듯, 공은 제 밑을 지나는 빠른 물살에 배수구 쪽으로 빨려 내려간다.

공이 구멍을 거의 막으면 흐름이 잦아들며 흡인도 약해진다. 이때 시트를 누르는 물기둥의 힘이 부력보다 작을 만큼 수위가 낮아져 있으면 공이 다시 떠오르고, 틈이 열리면 물이 다시 쏟아지며 흡인이 되살아나 공을 끌어내린다. 꾸준히 빠져나가는 물(에너지원)과 스스로 밸브 노릇을 하는 공(되먹임)이 만나면, 밖에서 흔들지 않아도 진동이 유지되는 자려진동이 된다. 공학에서는 이를 밸브 채터라 부르며, 시트 가까이 작은 열림으로 작동하는 밸브가 이런 한계순환 진동에 빠진다는 사실이 잘 알려져 있다. 한편 공이 구멍을 완전히 막으면 위쪽 물기둥의 압력이 시트 넓이만큼 공을 내리누르므로, 수위가 높을 때는 공이 눌려 붙어 있다가 물이 빠져 수위(수두)가 낮아져야 진동이 시작되기도 한다 — 진동의 시작과 끝이 수위에 달려 있는 이유다.

이 ‘흐름이 스스로 밸브를 여닫는’ 원리는 곳곳에서 일한다. 플랜트 배관의 밸브 채터 방지(안전밸브·체크밸브가 시트에 되튀며 떠는 진동은 소음과 피로 파손을 부르는 실제 안전 문제다), 리드 악기(클라리넷·하모니카의 리드는 공기 흐름이 여닫는 작은 밸브 — 같은 자려진동으로 소리를 만든다), 유압 램 펌프(흐름이 스스로 밸브를 닫을 때 생기는 압력 상승(수격)으로 전기 없이 물을 퍼 올린다), 인공 심장판막 설계(혈류와 판막이 주고받는 유체-구조 상호작용에서 판막의 떨림을 억제하는 일)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

투명 수조나 세면대(배수구가 보이는 것), 지름·밀도가 다른 플라스틱 공 여러 개(배수구보다 지름이 큰 것; 주사기로 속에 물을 넣어 밀도 조절), 지름이 다른 배수구 어댑터(깔때기나 PVC 이음관으로 자작 가능), 자와 격자 배경판, 스마트폰(슬로모션 촬영·소리 녹음), 스톱워치, 수건.

변인

독립변인은 수위(수두)이다 — 물을 배수량만큼 보충해 수위를 일정하게 유지하며 한 번에 이 값만 바꾼다. 종속변인은 공의 진동 진동수와 진폭이다(고속 촬영과 소리 녹음으로 읽는다). 통제변인은 공의 지름과 밀도, 배수구의 지름과 모양, 수조의 크기, 물의 온도이다. 심화에서는 공의 밀도나 배수구 지름을 독립변인으로 삼되, 그때는 수위를 포함한 나머지를 고정한다.

실험 순서

1. 투명 수조에 물을 채우고 배수구를 연 뒤 공을 올려, 물이 자연히 빠지는 동안 진동이 언제 시작되고 멈추는지 수조 벽에 붙인 자로 수위와 함께 기록한다.

2. 수도로 물을 배수량만큼 보충해 수위를 일정하게 유지하면서, 격자 배경을 대고 스마트폰 슬로모션으로 공의 상하 운동을 촬영한다 — 영상에서 초당 왕복 횟수(진동수)와 진폭을 읽는다.

3. 여러 수위에서 ②를 반복하고 수위마다 3회 이상 측정해 수위–진동수·수위–진폭 관계를 얻는다. 공이 시트를 두드리는 소리를 함께 녹음하면 진동수를 교차 확인할 수 있다(공이 시트에 닿지 않고 떠는 유형이면 이 방법은 쓸 수 없다).

4. 공의 지름·밀도와 배수구 지름을 한 번에 하나씩 바꿔 같은 측정을 반복하고, 진동이 아예 일어나지 않는 조합도 빠짐없이 기록한다.

안전 안내

물이 튀어 바닥이 미끄러워질 수 있으니 수건을 깔고 흘린 물은 바로 닦는다. 스마트폰은 거치대나 방수 팩에 넣어 물에 빠뜨리지 않게 한다. 유리 수조는 모서리가 깨지기 쉬우므로 단단하고 평평한 받침 위에 놓고, 금이 간 수조는 쓰지 않는다. 조명 등 전기 기구는 물에서 충분히 떨어뜨려 두고 젖은 손으로 만지지 않는다. 공에 물을 넣는 주사기 바늘은 교사가 다루고, 쓰지 않을 때는 뚜껑을 씌운다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물이 빠져 수위가 낮아지면 공이 튀는 박자는 빨라질까, 느려질까? 그리고 진동이 시작되거나 멈추는 특별한 수위가 있을까?

자료 정리

수위별로 영상에서 읽은 진동수와 진폭을 표로 모아, 가로축을 수위로 한 진동수 그래프와 진폭 그래프를 나란히 그리고 진동이 나타나는 수위 구간을 색으로 표시한다. 공·배수구를 바꾼 실험은 가로축을 공의 밀도, 세로축을 수위로 한 평면에 진동 유무를 표시한 지도로 정리하면 진동 조건의 경계가 드러난다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

진동은 아무 조건에서나 나타나지 않고, 수위·공의 밀도·배수구 지름이 맞아떨어지는 구간에서만 나타날 것으로 예상된다. 수위가 낮아지면 틈을 지나는 유속이 느려져 흡인력이 약해지므로, 진동수와 진폭이 그에 따라 변하다가 어느 수위 아래에서는 진동이 멎을 수 있다. 진동이 태어나고 멎는 경계를 지도로 그리는 순간, 이 실험은 안정한 평형이 한계순환으로 바뀌는 자려진동의 문턱을 눈으로 재는 탐구가 된다. 다만 공이 시트에 실제로 부딪히며 튀는지(충돌 채터), 잠긴 채 부드럽게 떠는지는 조건에 따라 다를 수 있어, 고속 영상으로 두 유형을 구분하는 것이 관건이다.

더 탐구하기

1. 배수구에 호스를 이어 배수관의 길이를 바꿔 가며 진동수가 달라지는지 확인해 보자 — 관 속 물기둥의 관성과 수격이 되먹임에 끼어드는지를 가리는 실험이다.

2. 수위를 일정하게 유지한 채 공을 살짝 눌렀다 놓아, 흔들림이 저절로 커지는 수위와 잦아드는 수위의 경계(진동 문턱)를 정밀하게 찾아보자.

3. 소금물이나 글리세린 혼합액으로 물의 밀도·점성을 바꾸면 진동 조건이 어떻게 이동하는지 조사해 보자.

4. 공 대신 평평한 원판이나 타원형 물체를 올려, 물체의 모양이 진동의 유무와 진동수에 어떤 영향을 주는지 비교해 보자.

연결 주제

IYPT 2020 문제 3 ‘흔드는 소리 튜브(Swinging Sound Tube)’(중복문제맵 자려발음 계열) — 꾸준한 흐름이 되먹임을 타고 진동을 스스로 키우는 같은 자려진동 부류다. 그쪽은 공기 흐름이 관의 소리(정상파)를, 이쪽은 물의 흐름이 공의 역학적 진동을 깨운다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘베르누이 방정식’·‘수격 작용(water hammer)’ / 영상 검색어 “베르누이 법칙 실험”, “check valve chatter”, “hydraulic ram pump” / [심화] W. D’Netto, D. S. Weaver, “Divergence and limit cycle oscillations in valves operating at small openings,” Journal of Fluids and Structures 1(1), 3–18, 1987, DOI 10.1016/S0889-9746(87)90146-0 (시트 가까이 작은 열림으로 작동하는 밸브가 흡인 되먹임으로 발산·한계순환 진동에 빠지는 조건 — 이 현상의 공학판) · A. Misra, K. Behdinan, W. L. Cleghorn, “Self-excited vibration of a control valve due to fluid–structure interaction,” Journal of Fluids and Structures 16(5), 649–665, 2002, DOI 10.1006/jfls.2002.0441 (배관의 수격·음향과 결합해 밸브가 스스로 떠는 기제의 해석) · C. Hős, A. R. Champneys, “Grazing bifurcations and chatter in a pressure relief valve model,” Physica D 241(22), 2068–2076, 2012, DOI 10.1016/j.physd.2011.05.013 (밸브가 시트에 되튀며 떠는 충돌 채터의 비선형 동역학 모형) · C. Waltham, S. Bendall, A. Kotlicki, “Bernoulli levitation,” American Journal of Physics 71(2), 176–179, 2003, DOI 10.1119/1.1524162 (좁은 틈의 빠른 흐름이 만드는 흡인력을 학부 실험으로 정량화). ※ 욕조 배수구 위 공의 진동 자체를 다룬 논문은 찾기 어렵다 — 밸브 채터 문헌의 기제가 이 장난감 규모에서도 성립하는지 확인하고 수위–진동수 관계를 정량화하는 일이 이 탐구의 개방 지점이다.