모래 한 알이 산을 무너뜨릴 때 — 눈사태

탐구 주제

IYPT 2005 문제 3 ‘Avalanche’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2005 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1(변인 통제와 반복 측정) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

입상체(알갱이 물질), 안식각, 최대 안정각, 정지 마찰·운동 마찰, 이력(히스테리시스), 쌍안정성, 임계 경사각, 자기조직화 임계성, 멱함수 분포, 응집력, 입자 크기·모양, 표층 사태·전층 사태, 약층, 소결

원리 살펴보기

모래를 아무리 천천히 부어도, 모래 산의 기울기는 왜 늘 비슷한 각도에서 멈출까? 알갱이 하나하나는 끌어내리는 중력과 이웃 알갱이들이 떠받치는 마찰·맞물림 사이에서 버틴다. 경사가 어떤 한계를 넘으면 표면의 알갱이들이 버티지 못하고 흘러내리며, 무너진 사면은 다시 특유의 기울기로 되돌아온다. 이 한계 기울기가 안식각 — 입상체가 스스로 지키는 사면의 각도다. 같은 재료라도 알갱이가 굵거나 모나거나 살짝 젖으면 이 각도는 달라진다.

사태의 열쇠는 각도가 하나가 아니라 둘이라는 데 있다. 이미 쌓인 층을 서서히 기울이면 안식각을 조금 넘어도 당장은 무너지지 않다가, 몇 도 더 높은 최대 안정각에 이르러서야 사태가 시작되고, 무너진 표면은 다시 안식각 근처로 되돌아온다. 두 각 사이의 좁은 띠에서 더미는 가만히 두면 버티지만 작은 충격에는 무너지는 쌍안정 상태에 있다 — 눈 덮인 사면이 스키어 한 명의 무게에 무너지는 까닭을 짐작하게 하는 실마리다(실제 판상 눈사태는 적설 속 약층이 깨져야 한다). 절반쯤 채운 투명 원통을 천천히 돌리면, 표면이 가팔라졌다 무너졌다를 되풀이하는 톱니꼴 주기를 눈으로 볼 수 있다. 모래더미 모형(자기조직화 임계성)은 사태 크기가 멱함수 분포를 따른다고 예측했지만, 실험에서는 둥근 알갱이가 주기적인 큰 사태를, 길쭉한 쌀알이 멱함수형 사태를 보였다 — 알갱이의 모양이 사태의 통계까지 바꾼다.

알갱이가 무너지는 조건을 아는 일은 곳곳에서 안전과 비용을 가른다. 눈사태 예보·방재(실제 눈사태는 대부분 경사 30°가 넘는 사면(가장 흔하게는 38° 안팎)에서 시작되며, 적설 속 약층을 진단해 위험을 예보한다), 곡물 사일로·분체 산업(곡물·시멘트·의약품 가루의 저장과 이송 설계는 안식각 측정에서 출발한다), 토목·사방 공학(깎기 비탈면·제방·광산 폐석 더미의 안전 경사가 안식각으로 정해진다), 행성 지형 연구(화성 모래언덕과 소행성 표면의 사면 각도에서 그곳 알갱이의 성질을 역추적한다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

마른 모래(굵기 두 종 이상)·쌀·좁쌀·설탕 등 입상체, 깔때기와 스탠드, 넓은 쟁반, 자, 기울일 수 있는 평판(또는 얕은 투명 상자), 스마트폰(경사계 앱·동영상 촬영), 투명 원통(넓은 유리병·아크릴 통), (선택) 원통을 일정 속도로 돌릴 낮은 회전수 모터, 분무기.

변인

독립변인은 입상체의 종류(입자의 크기와 모양)이고, 심화에서는 습도(분무량)나 바닥 거칠기를 독립변인으로 삼되 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 원뿔의 안식각, 기울인 판에서 사태가 시작되는 최대 안정각, 사태가 멈춘 뒤의 각, 그리고 두 각의 차(이력 구간)이다. 통제변인은 깔때기 높이와 붓는 속도, 쌓는 양, 판·용기의 재질, 실내 온도와 습도이다.

실험 순서

1. 깔때기를 스탠드에 고정하고 낮은 일정 높이에서 입상체를 천천히 흘려 원뿔을 쌓은 뒤, 원뿔의 높이와 밑면 반지름을 재어 안식각(탄젠트가 높이/반지름인 각)을 구한다 — 같은 조건으로 3회 이상 반복해 평균한다.

2. 평판(또는 얕은 투명 상자)에 같은 입상체를 고르게 깔고 한쪽 끝을 아주 서서히 들어 올리며, 표면이 처음 흘러내리기 시작하는 각(최대 안정각)과 사태가 멈춘 직후의 각을 스마트폰 경사계로 읽어 두 각의 차를 기록한다.

3. 투명 원통에 입상체를 절반쯤 넣고 수평 축 둘레로 아주 천천히 돌리면서 옆면을 동영상으로 찍고, 화면 속 표면 경사각이 시간에 따라 오르내리는 톱니꼴 주기를 프레임별로 읽는다.

4. 입상체의 종류(굵은 모래·고운 모래·쌀·좁쌀 등)를 바꿔 ①~③을 반복하고, 입자의 크기·모양에 따라 안식각과 이력 구간이 어떻게 달라지는지 한 표로 비교한다.

안전 안내

고운 모래·가루는 날려서 눈과 호흡기를 자극할 수 있으니 낮은 높이에서 천천히 붓고, 많이 날리는 재료는 마스크와 보안경을 쓴다. 바닥에 흘린 알갱이는 미끄럼 사고의 원인이 되므로 쟁반 위에서 실험하고 흘린 즉시 쓸어 담는다. 유리 용기는 책상 가장자리에 두지 않으며, 모터로 원통을 돌릴 때는 회전부에 머리카락·옷자락이 닿지 않게 한다. 실험에 쓴 쌀·설탕 등 식품 재료는 먹지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

깔때기로 쌓아 잰 안식각과, 판을 기울여 사태가 막 시작되는 각은 같을까 다를까? 그리고 굵은 모래와 고운 모래, 둥근 좁쌀과 길쭉한 쌀 중 어느 쪽이 더 가파른 산을 버틸까?

자료 정리

입상체 종류별로 안식각·최대 안정각·사태 후 각을 표로 모으고, 가로축을 입자 지름(또는 종류), 세로축을 각도로 하여 두 각을 같은 그래프에 나란히 찍는다 — 두 값 사이의 띠가 이력 구간이다. 회전 원통 영상은 가로축 시간, 세로축 표면 경사각의 그래프로 옮겨 톱니 모양의 개형과 주기를 읽는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

판을 기울여 잰 사태 시작 각은 깔때기로 쌓은 안식각보다 몇 도가량 높고, 회전 원통에서는 두 각 사이를 오가는 톱니꼴 주기가 나타날 것으로 예상된다. 두 각 사이의 띠가 곧 사태의 물리다 — 그 안에서 사면은 버티고 있으면서도 작은 충격 한 번에 무너질 수 있는 쌍안정 상태에 있다. 입자가 모나거나 길쭉할수록, 또 살짝 젖을수록 각이 커지는 경향은 사태의 조건이 재료의 마찰·맞물림·응집력에 달려 있음을 보여 준다. 다만 실제 눈은 알갱이끼리 시간에 따라 붙는 소결과 온도의 영향이 커서, 마른 입상체 실험은 눈사태의 뼈대(임계 경사와 이력)를 보여 줄 뿐 전부를 재현하지는 못한다.

더 탐구하기

1. 분무기로 물을 아주 조금씩 뿌려 가며 같은 측정을 반복해, 젖은 입상체의 안식각과 최대 안정각이 물의 양에 따라 어떻게 변하는지(조금 젖을 때 급히 오르고, 흠뻑 젖으면 되레 낮아지는지) 조사해 보자 — 모래성이 서 있는 이유다.

2. 얕고 좁은 투명 상자에 쌀을 쌓고 위에서 한 알씩 떨어뜨리며 사태마다 흘러내린 양을 기록해, 사태 크기의 분포가 멱함수를 따르는지 세어 보자(심화).

3. 판 표면에 사포를 붙이거나 매끈한 비닐을 깔아 바닥 거칠기만 바꾸고, 사태가 표면층에서 나는지 바닥부터 통째로 미끄러지는지 관찰해 보자 — 실제 눈사태의 표층 사태와 전층 사태의 축소판이다.

4. 두 각 사이의 쌍안정 띠에 맞춰 둔 판을 손가락으로 가볍게 두드려, 작은 교란이 사태를 촉발하는 문턱을 찾아보자.

연결 주제

같은 해 문제 16 ‘깔때기 속 장애물(Obstacle in a funnel)’ — 같은 입상체가 이번에는 깔때기 속을 흘러내리다 막히고 뚫리는 문제로, 이 원고의 재료와 안식각·알갱이 맞물림 개념을 그대로 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] 케임브리지대 DoITPoMS ‘Granular materials — Angle of repose’(안식각의 정의와 측정법 교육 페이지) / 위키백과 ‘Angle of repose(안식각)’ / 영상 검색어 “angle of repose experiment”, “rotating drum avalanche” / [심화] P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, “Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise,” Physical Review Letters 59(4), 381–384, 1987, DOI 10.1103/PhysRevLett.59.381 (모래더미를 본뜬 자기조직화 임계성 모형의 출발점) · H. M. Jaeger, C.-h. Liu, S. R. Nagel, “Relaxation at the angle of repose,” Physical Review Letters 62(1), 40–43, 1989, DOI 10.1103/PhysRevLett.62.40 (도는 원통 실험 — 사태가 멱함수 아닌 주기적 톱니꼴임을 보인 고전) · V. Frette 외, “Avalanche dynamics in a pile of rice,” Nature 379, 49–52, 1996, DOI 10.1038/379049a0 (길쭉한 쌀알 더미만 멱함수형 사태를 보임 — 알갱이 모양이 통계를 바꾼다) · A. Daerr, S. Douady, “Two types of avalanche behaviour in granular media,” Nature 399, 241–243, 1999, DOI 10.1038/20392 (기울인 판 위 알갱이 층의 두 임계각과 두 가지 사태 전파 방식) · D. J. Hornbaker 외, “What keeps sandcastles standing?,” Nature 387, 765, 1997, DOI 10.1038/42831 (미량의 물이 안식각을 크게 올림) · J. Schweizer, J. B. Jamieson, M. Schneebeli, “Snow avalanche formation,” Reviews of Geophysics 41(4), 1016, 2003, DOI 10.1029/2002RG000123 (실제 눈사태의 발생 조건 — 약층·판상 적설·경사의 종합 리뷰). ※ 마른 입상체 실험은 임계 경사와 이력까지는 잘 덮지만 실제 눈의 소결·온도 의존과 약층 파괴는 덮지 못하며, 학교 재료로 이력 구간과 사태 통계를 함께 정량화한 문헌도 드물다 — 그 둘이 이 탐구의 개방 지점이다.