혼자서는 구르고, 둘이서는 멈춘다 — 멈춘 두 공

탐구 주제

IYPT 2005 문제 2 ‘The two ball problem’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2005 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력·힘의 평형) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(힘의 합성과 평형) · 진로선택 「역학과 에너지」(돌림힘과 강체의 평형) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

힘의 평형, 돌림힘(토크), 정지 마찰력, 정지 마찰 계수, 마찰 원뿔, 수직항력, 강체, 구름 운동, 미끄러짐(슬립), 접촉점, 자유 물체 도형, 자가 잠금(셀프 로킹), 재밍(맞물림 정체), 안식각, 구름 저항

원리 살펴보기

기울어진 홈에 공 한 개를 올리면, 경사가 아무리 완만해도 공은 반드시 굴러 내린다. 강체 공이 홈에서 받는 수직항력과 마찰력은 모두 접촉점을 지나므로, 접촉축에 대한 중력의 돌림힘을 상쇄할 힘이 하나도 없기 때문이다. 그런데 공 두 개를 서로 맞닿게 놓으면 이야기가 달라진다 — 때때로 두 공은 그 자리에 그대로 멈춰 있다. 문틈에 괴어 놓은 버팀목처럼 두 공이 서로를 붙잡는 것이다. 혼자서는 구를 수밖에 없던 공이 둘이 되는 순간 멈출 수 있게 되는 이 역설이 문제의 심장이다.

비밀은 맞닿은 지점의 움직임에 있다. 두 공이 함께 굴러 내리려면 둘 다 같은 방향으로 회전해야 하는데, 그러면 맞닿은 곳에서 아래 공의 뒷면은 위로, 위 공의 앞면은 아래로 움직여 두 표면이 서로 반대로 비벼진다. 이 미끄럼을 막으려는 정지 마찰력이 두 공의 회전을 동시에 붙잡는 브레이크가 된다. 힘·돌림힘 평형을 풀면 조건이 나온다 — 같은 크기의 두 공이라면 위쪽(오르막 쪽) 공이 충분히 무거워야 두 공이 서로를 누르는 힘이 생기고, 공 사이 정지 마찰 계수는 두 무게의 합을 차로 나눈 값 (P₁+P₂)/(P₂−P₁) 이상이어야 한다 — 이 값은 언제나 1보다 커서 같은 크기의 유리·강철 공으로는 잠기지 않는다(V자 홈에서는 여기에 홈 반각의 사인이 곱해져 조금 낮아진다). 똑같은 두 공이면 이 값이 무한대가 되어 이상적 모형으로는 멈출 수 없다. 아래 공이 더 작으면 두 중심을 잇는 선이 경사면에서 들려 작은 공이 장애물처럼 작동하므로 조건이 크게 완화되고, V자 홈의 열림각이 좁을수록 이 기울임은 더 증폭된다. 그래서 이 현상은 아무 때나가 아니라 ‘때때로’만 일어난다.

맞물려 스스로 잠기는 마찰은 공학 곳곳에서 일한다. 자전거 프리휠(원웨이 클러치)(롤러가 쐐기처럼 맞물려 한 방향 회전만 잠근다 — 페달을 멈춰도 바퀴가 헛도는 이유), 볼베어링의 리테이너(이웃한 공이 맞닿으면 접촉면이 서로 반대로 비벼져 마모가 급증하므로 공 사이를 케이지로 떼어 놓는다 — 이 문제의 운동학 그대로), 암벽등반용 캠(마찰 원뿔 안에 들어오게 설계된 캠이 바위 틈에서 하중을 받을수록 더 단단히 잠긴다), 곡물 사일로의 아치 막힘(알갱이들이 마찰로 맞물려 아치를 이루면 출구가 뚫려 있어도 흐름이 멎는다 — 두 공의 잠금은 그 최소 단위다)에서 같은 원리를 만난다.

실험 설계

준비물

각재(또는 알루미늄 L자 앵글) 2개와 클램프로 만드는 폭 조절 V자 홈 트랙, 경사 받침(책·목재 블록), 각도기 또는 스마트폰 기울기 센서, 크기·질량·재질이 다른 공 여러 개(유리구슬, 강구, 탁구공, 고무공, 골프공 등), 전자저울, 버니어 캘리퍼스(또는 자), 마찰 계수 측정용 납작한 시편(공·홈과 같은 재질의 조각).

변인

독립변인은 홈의 경사각이다(받침 높이로 서서히 바꾸며 한 번에 이 값만 올린다). 종속변인은 두 공이 굴러 내리기 시작하는 임계 경사각이다. 통제변인은 홈의 재질과 표면 상태(먼지·기름기), 홈의 폭(열림각), 공을 맞닿게 놓는 위치와 순서이다. 심화에서는 두 공의 질량비·반지름비나 홈의 폭을 독립변인으로 삼되, 한 번에 그 하나만 바꾼다.

실험 순서

1. 각재 두 개를 나란히 고정해 V자 홈 트랙을 만들고, 공 한 개만 올린 뒤 경사각을 0°부터 서서히 올려 굴러 내리기 시작하는 각을 기록한다 — 단독 공이 아주 작은 각에서도 구르는지가 모든 비교의 기준선이다.

2. 가볍고 작은 공을 아래(내리막 쪽), 무겁고 큰 공을 위(오르막 쪽)에 맞닿게 놓고, 경사각을 서서히 올려 두 공이 움직이기 시작하는 임계각을 잰다. 같은 조합으로 3회 이상 반복해 값의 흩어짐도 기록한다.

3. 두 공의 배치를 뒤집어(무거운 공을 아래로) 같은 측정을 하고, 이어서 재질 조합(유리–강철, 고무–유리, 플라스틱–강철 등)을 바꿔 가며 임계각을 비교한다 — 잠금이 배치와 재질에 따라 어떻게 달라지는지가 핵심 데이터다.

4. 홈의 폭(두 각재 사이 간격)을 바꾸거나 크기 차이가 다른 공 조합으로 확장해 임계각 지도를 만들고, 각 재질 쌍의 정지 마찰 계수는 같은 재질의 납작한 조각이 같은 재질 판 위에서 미끄러지기 시작하는 각의 탄젠트로 따로 재어(공은 굴러 버려 이 값을 주지 않는다) 모형의 예측과 비교한다.

안전 안내

강구처럼 무거운 공이 트랙 끝에서 굴러떨어지면 발등을 다칠 수 있다 — 트랙 아래쪽에 수건이나 상자를 받쳐 공을 받는다. 유리구슬은 바닥에 떨어지면 깨져 튈 수 있으니 주변을 정리하고 보안경을 쓰며, 깨진 조각은 손 대신 빗자루로 치운다. 각재의 거친 모서리와 절단면은 사포로 다듬어 가시가 박히지 않게 하고, 경사를 높일 때 트랙이 옆으로 쓰러지지 않도록 받침을 클램프로 고정한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

무거운 공을 위에 둘 때와 아래에 둘 때, 어느 쪽이 더 높은 경사까지 버틸까? 그리고 똑같은 공 두 개라면 멈출 수 있을까?

자료 정리

조합별(단독 공/무거운 공 위/무거운 공 아래/같은 공 두 개) 임계 경사각을 표로 모으고, 반복 측정의 흩어짐을 오차 막대로 얹는다. 가로축을 두 공의 질량비(위 공÷아래 공), 세로축을 임계각으로 한 그래프에서 질량비가 클수록 임계각이 커지는 경향을 살피고, 홈의 폭을 바꾼 시리즈는 가로축을 홈 폭으로 한 그래프로 따로 그린다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

공 한 개는 아주 작은 경사에서도 굴러 내리지만, 가볍고 작은 공을 아래에, 무겁고 큰 공을 위에 맞닿게 놓은 쌍은 상당한 경사각까지 버틸 것으로 예상된다. 배치를 뒤집으면 잠금은 거의 사라지고, 똑같은 공 두 개도 멈추지 않을 것이다. 멈춤을 만드는 것은 새로운 힘이 아니라, 세 접촉점의 정지 마찰이 두 공의 회전을 서로 붙잡도록 배치된 기하 — 곧 자가 잠금이다. 임계각은 세 접촉(아래 공–홈, 위 공–홈, 공–공) 가운데 어느 마찰 원뿔이 먼저 포화되는지가 정하므로, 임계각 직전·직후의 미세한 움직임을 보면 모형의 어느 부등식이 실험을 지배하는지 읽어 낼 수 있다. 같은 공 두 개가 실험에서 가끔 멈춰 보인다면, 그것은 이상적 강체 모형이 무시한 구름 저항과 표면 눌림의 흔적이다.

더 탐구하기

1. 같은 공 4개로 경사면 위에 삼각형 3개 + 꼭대기 1개의 피라미드를 쌓아 어느 경사까지 버티는지 시험해 보자 — 두 공의 잠금이 여러 공의 맞물림으로 확장되는지 볼 수 있다.

2. V자 홈 대신 평평한 경사면에서 지름이 다른 원기둥 두 개(병·파이프)로 같은 실험을 해 보자 — 옆으로 새지 않는 원기둥은 평면에서도 잠금 조건을 시험할 수 있다.

3. 공 표면에 분필 가루를 묻히거나 물·기름을 얇게 발라 마찰 계수만 바꿔 가며 임계각이 어떻게 이동하는지 재어 보자.

4. 스마트폰 슬로모션으로 임계각 직전·직후를 촬영해, 세 접촉점(공–홈 두 곳, 공–공 한 곳) 가운데 어디가 먼저 미끄러지는지 관찰해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 3 ‘눈사태’ — 입상체 더미가 정지 마찰로 안식각까지 버티다 무너지는 임계 조건을 다룬다. 두 공의 잠금은 그 마찰 맞물림(재밍)의 최소 단위이므로, 경사를 서서히 올려 무너짐(구름) 문턱을 찾는 같은 측정법을 두 공의 임계각 측정에 그대로 이어 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] IYPT 공식 아카이브의 2005년 프로시딩 풀이 — M. P. Bigarella, “The Two Balls Problem,” Proc. 18th IYPT, 15–30, 2005 (archive.iypt.org — 90° 나무 V홈과 유리·강철·폴리스티렌·골프공 등으로 임계각을 재고 힘·돌림힘 평형 이론과 비교한 영문 풀이. 이 원고 실험의 원형) / 영상·자료 검색어 “two ball problem IYPT”, “self-locking friction”, “마찰 원뿔” / [심화] R. Cross, “Two balls stuck by friction on an incline, and a four ball pyramid,” Physics Education 55(5), 055013, 2020, DOI 10.1088/1361-6552/ab9958 (경사면에서 맞닿은 두 공이 공 사이 마찰로 멈추는 조건을 실험으로 — 질량·지름·마찰의 영향과 같은 공 4개 피라미드까지) · T. C. Halsey, D. Ertaş, “A Ball in a Groove,” Physical Review Letters 83(24), 5007–5010, 1999, DOI 10.1103/PhysRevLett.83.5007 (홈 속 공 ‘한 개’의 정역학 — 홈의 열림각과 기울기에 따라 두 접촉점이 구름/미끄럼의 서로 다른 두 평형 영역으로 갈림을 접촉역학으로 규명) · S. Gröber, J. Sniatecki, “Collision of two balls in a groove: an interplay between translation and rotation,” European Journal of Physics 41(3), 035002, 2020, DOI 10.1088/1361-6404/ab5d93 (수평 홈 속 두 공의 충돌에서 홈 폭이 병진–회전 결합을 바꾸는 방식의 3차원 강체 분석 — 홈 접촉 기하 계산의 본보기). ※ 평면 경사 모형(Cross)과 홈의 2차원 투영 모형(Bigarella)은 있으나, V홈의 열림각이 세 접촉점의 돌림힘 팔 길이를 바꾸는 완전한 3차원 정역학과 그 정밀 검증은 문헌이 얇다 — 홈 열림각을 독립변인으로 한 임계각 정밀 측정이 이 탐구의 개방 지점이다.