끊기지 않아야 더 높이 솟는다 — 분수

탐구 주제

IYPT 2004 문제 14 ‘Fountain’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2004 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(압력·부력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템·에너지 보존) / 진로선택 「역학과 에너지」 — 토리첼리 정리·베르누이 원리·관 마찰은 교육과정 밖 유체역학 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

수두, 토리첼리 정리, 베르누이 원리, 방출계수, 수축단면(vena contracta), 관 마찰, 하겐-푸아죄유 흐름, 다르시-바이스바흐 식, 점성, 표면장력, 제트 분열, 레일리-플래토 불안정, 코히런트 제트 길이, 공기 저항, 계면활성제, 최고 높이 최적화

원리 살펴보기

1 m 높이의 물통에서 물을 끌어와 노즐로 위로 쏘면, 물기둥은 꼭 1 m까지 솟아야 할 것 같은데 왜 그만큼 못 오를까? 수면이 노즐보다 1 m 높으면 그 물은 1 m어치의 수두, 곧 중력이 채워 둔 압력을 지닌다. 마찰이 없다면 물은 v = √(2gh) ≈ 4.4 m/s로 뿜어져(토리첼리 정리) 출발한 수면 높이 1 m까지 되솟는다(에너지 보존). 그러나 실제 분수는 1 m에 한참 못 미친다 — 관을 지나며 마찰로 힘을 잃고, 공중에서 물방울로 부서지며 남은 에너지마저 흩어 버리기 때문이다.

힘이 새는 곳은 두 군데다. 먼저 관과 노즐 속이다 — 좁고 긴 관일수록 점성 마찰로 수두를 까먹어(층류면 하겐-푸아죄유, 난류면 다르시-바이스바흐 식) 출구 속도가 √(2gh)보다 느려지고, 노즐에서 물줄기가 잘록해지는 수축단면(vena contracta)도 방출계수만큼 속도를 깎는다. 또 하나의 손실은 공중에서 일어난다 — 곧게 뻗던 물기둥이 잔물결을 키우다 물방울로 끊어지면(레일리-플래토 불안정), 잘게 갈라진 물방울이 공기 저항에 급히 감속해 이론 높이에 닿지 못한다. 그래서 제트가 끊기지 않고 곧게 뻗는 코히런트 길이가 길수록 분수는 1 m에 가까이 솟는다. 소량의 수용성 고분자를 녹이면 잔물결이 억눌려 제트가 더 오래 버티고, 계면활성제·소금은 표면장력·점성을 바꿔 분열 양상을 바꾼다. 관과 공중 중 어느 쪽 손실이 더 큰지는 노즐과 관의 굵기 비에 달려 있어 측정으로 가른다.

제트를 곧게 유지하려는 이 원리는 곳곳에서 쓰인다. 분수·조경 설계는 노즐·펌프 수두로 물줄기 높이와 모양을 빚고, 소방 노즐·호스는 고분자 첨가제로 제트를 곧게 유지해 물을 더 멀리 보내며(‘미끄러운 물’), 관개 스프링클러는 물방울 크기로 살수 범위를 정하고, 급수·배관 설계는 관 마찰 수두 손실로 펌프 압력을 정한다.

실험 설계

준비물

노즐보다 1 m 높은 곳에 고정하고 수위를 일정하게 유지할 물통(넘침관·보충), 굵기·길이가 다른 여러 관과 구멍 크기가 다른 노즐 몇 개, 밸브·집게, 소금 용액과 세제(계면활성제) 용액, 가능하면 묽은 수용성 고분자 용액, 자와 모눈 배경판, 스마트폰(고속 촬영), 물받이와 수건.

변인

독립변인은 노즐 안지름, 공급 관의 길이, 용액의 종류(맑은 물·소금·세제·고분자 용액)이며 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 제트의 최고 높이와 코히런트 길이(끊기지 않고 곧게 뻗는 길이)이다. 통제변인은 수두(수위를 유지해 1 m로 고정), 물의 온도(용액을 바꿀 때는 유량·출구 속도도 함께 기록해 비교한다), 노즐을 수직 위로 향하는 자세, 노즐 출구 형상, 실내 공기 흐름, 촬영 거리·배경이다.

실험 순서

1. 물통을 노즐보다 1 m 높게 고정하고, 넘침관·보충으로 수위를 유지해 수두를 1 m로 고정한다. 노즐을 수직 위로 향하게 하고 모눈 배경 앞에 둔다.

2. 맑은 물로 밸브를 열어 제트를 위로 쏘고, 고속 촬영으로 최고 높이를 조건마다 3회 재며 코히런트 길이도 읽는다. 토리첼리 예측(1 m)과 견준다.

3. 수두·용액은 그대로 두고 노즐 안지름만 여러 굵기로 바꿔 최고 높이를 측정해 최적 지름을 찾는다.

4. 노즐 지름을 최적값으로 고정하고 관 길이·굵기를 바꿔, 관 마찰이 최고 높이를 얼마나 깎는지 확인한다.

5. 용액을 맑은 물·소금·세제·고분자 용액으로 바꿔 같은 조건에서 최고 높이와 코히런트 길이를 비교한다.

안전 안내

물을 1 m 높이에서 다루므로 튄 물로 미끄러지기 쉽다 — 물받이를 넉넉히 두고 바닥 물기를 즉시 닦으며, 물통·받침대·사다리는 쓰러지지 않게 단단히 고정한다. 감전을 막기 위해 콘센트·카메라 등 전기기기는 물에서 멀리 두고 젖은 손으로 전선을 만지지 않는다. 세제·계면활성제 용액은 눈·피부를 자극하고 바닥을 미끄럽게 하니 튀지 않게 다루며, 유리 노즐·관은 깨지면 날카로우니 조심하고 제트는 사람 없는 쪽으로 향하게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

노즐을 더 가늘게 하면 제트는 이론 높이 1 m에 더 가까워질까, 오히려 낮아질까? 그리고 물에 세제나 소금, 소량의 고분자를 녹이면 제트의 최고 높이는 높아질까, 낮아질까?

자료 정리

조건마다 잰 최고 높이를 표로 모은 뒤, 가로축을 노즐 지름(또는 관 길이), 세로축을 최고 높이로 그래프를 그린다. 토리첼리 이론이 주는 최고 높이 1 m를 수평 기준선으로 그어, 실제 높이가 그보다 얼마나 낮은지(손실의 크기)를 본다. 용액별 최고 높이는 막대·점으로 비교하고 코히런트 길이도 함께 적는다. (실제 수치는 측정으로 채운다 — 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

실제 최고 높이는 늘 이론값 1 m보다 낮고, 아주 가는 노즐이나 긴 관에서는 마찰·분열 손실이 겹쳐 크게 처지며, 어떤 중간 굵기의 노즐에서 봉우리(최적점)가 나타날 것으로 예상된다. 높이가 1 m에 못 미치는 정도가 곧 관·노즐·공중에서 잃어버린 에너지이며, 제트를 오래 곧게 유지할수록 손실이 줄어 1 m에 다가선다는 것이 이 실험의 핵심이다. 고분자를 녹인 물이 더 높이 솟는다면 분열이 늦춰진 덕인지, 점성과 출구 속도가 함께 바뀐 탓인지는 코히런트 길이와 유량을 함께 재어 갈라야 한다. 다만 파일럿 전이므로 최적 노즐 지름과 유리한 용액은 측정으로 확인해야 한다.

더 탐구하기

1. 고속 촬영으로 제트의 코히런트 길이를 재서, 그 길이가 길수록 최고 높이가 1 m에 가까운지 확인해 보자.

2. 아주 묽은 수용성 고분자 용액을 만들어, 잔물결이 줄고 최고 높이가 높아지는지 맑은 물과 견주어 보자.

3. 노즐 출구를 날카로운 구멍과 매끈한 원뿔 노즐로 바꿔, 수축단면 손실의 차이를 비교해 보자.

4. 수두를 0.5 m·1 m·1.5 m로 바꿔, 최고 높이가 수두에 비례하는지 손실로 처지는지 살펴보자.

연결 주제

이 문제는 IYPT 1992 문제 9 ‘Fountain’의 준-재출제로, 이 책에서 수두 분수의 최고 높이 최적화를 대표한다. 완성편 물리 2026 문제 3 ‘링 분수’(물리_2026_03_링분수)와 물리 2016 문제 7 ‘뜨거운 물 분수’(물리_2016_07_뜨거운물분수)도 같은 ‘분수 최고 높이’ 식구지만 미는 힘의 근원이 다르다. 링 분수는 금속 링이 만든 공기 공동이 무너지며 솟는 임팩트 제트, 뜨거운 물 분수는 갇힌 기체·수증기 압력이 미는 열 구동인 반면, 이 분수는 1 m 수두가 만드는 정상 제트다. 높이를 고속 촬영으로 재고 최적화하는 방법은 셋에 공통이다.

참고문헌

[학생] tec-science ‘Torricelli’s law (discharge)’(분출 속도 v = √(2gh)와 방출계수·수축단면) / 위키백과 ‘Plateau–Rayleigh instability’(물기둥이 물방울로 끊어져 높이가 제한되는 까닭) / 영상 검색어 “water jet drag reduction polymer” / [심화] B. Trettel, O. A. Ezekoye, “Theoretical Range and Trajectory of a Water Jet,” Proc. ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition(IMECE2015), Vol. 7A, 논문 V07AT09A007, 2015, doi:10.1115/IMECE2015-52103 (물 제트 도달 거리를 공기 저항·분열까지 넣어 모형화) · J. W. Hoyt, J. J. Taylor, C. D. Runge, “The structure of jets of water and polymer solution in air,” Journal of Fluid Mechanics 63(4), 635–640, 1974, doi:10.1017/s0022112074002102 (미량의 고분자가 물 제트 잔물결을 억눌러 코히런트 길이를 늘림) · Lord Rayleigh, “On the instability of jets,” Proceedings of the London Mathematical Society s1-10(1), 4–13, 1878, doi:10.1112/plms/s1-10.1.4 (제트의 물방울 분열을 처음 이론화). ※ 노즐 지름·관 길이·용액을 함께 최적화해 최고 높이를 정량 예측한 문헌은 드물며, 소금·계면활성제 용액의 순효과가 이 탐구의 개방 지점이다.