고리가 고리를 통과한다 — 와류 대포

탐구 주제

IYPT 2003 문제 15 ‘Vortices’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2003 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「기체의 성질」(입자의 운동)·「힘과 운동」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템)·과학탐구실험1 「생활 속 과학 탐구」 / 「물리학」 「힘과 에너지」(운동량과 충격량) · 진로선택 「역학과 에너지」(유체의 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

와도, 순환, 전단층, 와류 고리, 유도 속도, 임펄스, 스트로크 비, 형성 수, 꼬리 제트, 오리피스, 레이놀즈 수, 개구리 뜀뛰기, 와류 재연결, 방위각 불안정, 합성 제트

원리 살펴보기

막을 한 번 쳤을 뿐인데 왜 도넛 모양 공기 고리가 튀어나갈까? 막이 밀려들며 상자 속 공기를 구멍으로 밀어내는데, 가장자리에 붙은 공기는 벽면 마찰로 거의 서 있고 한가운데 공기는 빠르게 빠져나간다. 속도 차이가 만든 전단층이 가장자리에서 말려 올라가 와류 고리가 된다. 고리는 스스로 만든 유도 속도 U ≈ Γ/(4πR)로 나아가므로 순환 Γ가 같다면 반지름 R이 작은 고리가 더 빠르다. 다만 세게 친다고 한없이 세지지는 않아서, 밀려 나온 공기 기둥의 길이 L을 구멍 지름 D로 나눈 스트로크 비가 문턱—형성 수—을 넘으면 남는 공기는 고리에 흡수되지 못하고 꼬리 제트로 남는다. 관 끝에서 밀어내면 이 문턱은 대략 4지만, 이 문제처럼 평평한 벽에 뚫린 구멍에서는 2 부근으로 훨씬 작다.

두 고리가 만나면 서로의 유도 속도장 안에 놓여 모양과 빠르기를 주고받는다. 같은 축으로 잇달아 쏘면 개구리 뜀뛰기가 일어난다. 고리 앞쪽의 흐름은 축에서 바깥으로 벌어지고 뒤쪽의 흐름은 축으로 모여드니, 뒤 고리는 앞 고리가 만든 안쪽 흐름에 눌려 좁아지고, 좁아진 만큼 빨라진다. 반대로 앞 고리는 뒤 고리가 만든 바깥 흐름에 끌려 넓어지고 그만큼 느려진다. 그래서 뒤 고리가 앞 고리 한가운데를 통과해 앞으로 나서고 둘은 자리를 바꾼다 — 이 일이 되풀이된다. 마주 보고 쏘면 다르다. 서로가 상대의 앞쪽 흐름에 놓이므로 두 고리는 함께 넓어지며 느려지고 충돌면에 눌려 납작해진다. 레이놀즈 수가 크면 늘어난 둘레를 따라 짧은 파장의 방위각 불안정이 자라고, 맞닿은 와도선이 끊어졌다 이어지는 재연결을 거쳐 두 고리는 작은 고리 여럿으로 갈라진다. 비스듬히 부딪히면 닿은 자리만 잘려 이어 붙어 일그러진 고리 하나로 합쳐지기도 한다.

이 상자는 장난감이 아니라 실제 장치의 축소판이다. 합성 제트 액추에이터(막을 주기적으로 떨어 와류를 연달아 뿜으면 알짜 질량을 넣지 않고도 제트가 생겨 전자기기 냉각과 유동 제어에 쓰인다), 심장 판막의 혈류 진단(좌심실이 채워질 때 생기는 와류 고리의 형성 수가 심장 건강의 지표가 된다), 오징어·해파리를 본뜬 수중 추진(짧게 끊어 뿜은 물이 고리로 말리는 정도가 추력을 좌우한다), 공기를 흩뜨리지 않고 멀리 보내기(환기·냄새 포집 장비가 같은 원리를 쓴다)가 모두 여기서 출발한다.

실험 설계

준비물

두꺼운 종이 상자나 플라스틱 양동이 2개, 뒷면을 덮을 고무막(풍선 고무·샤워 커튼 천), 굵은 고무줄과 테이프, 지름이 다른 구멍을 뚫어 갈아 끼우는 앞판 여러 장, 초음파 가습기(또는 드라이아이스와 온수), 일정한 높이에서 떨어뜨릴 작은 추, 240 fps 이상 촬영이 되는 스마트폰과 삼각대, 모눈 배경판, 영상 분석 프로그램.

변인

독립변인은 스트로크 비 L/D와 구멍 지름 D, 두 고리를 만들 때 두 번 두드리는 간격 Δt이다. L은 막이 밀려 들어간 부피 ΔV를 구멍 넓이 A로 나눈 유효 스트로크 길이다. 종속변인은 고리의 전파 속도 U와 반지름 R, 꼬리 제트의 유무, 자리를 바꾼 횟수이다. 통제변인은 상자 부피, 고무막의 장력, 추의 낙하 높이로 정한 타격 충격량, 안개 농도, 실내 기류, 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 앞판에 지름 D인 구멍을 뚫고 뒷면에 고무막을 팽팽히 씌워 고무줄과 테이프로 밀봉한다. 구멍 지름이 다른 앞판을 여러 장 만들어 갈아 끼운다.

2. 초음파 가습기의 물안개(또는 온수에 드라이아이스를 넣어 만든 안개)를 옆구멍으로 채우고 잠시 두어 퍼지게 한다.

3. 손으로 치지 말고 정해진 높이에서 추를 막 한가운데로 떨어뜨려 매번 같은 충격량을 준다. 막은 가운데가 가장 깊이 들어가므로 최대 깊이의 절반쯤을 유효 깊이로 잡아 부피 ΔV를 어림하고, L = ΔV/A와 스트로크 비를 기록한다.

4. 모눈 배경판 앞에서 옆으로 240 fps 촬영하고, 고리 앞머리를 프레임마다 찍어 속도 U와 반지름 R를 읽는다. L/D를 키우며 꼬리 제트가 언제 보이는지 확인한다.

5. 막을 짧은 간격으로 두 번 두드려 앞뒤로 고리를 만들고, 뒤 고리가 좁아지며 빨라져 앞 고리를 통과하는지, 몇 번 자리를 바꾸는지 Δt를 바꿔 가며 센다.

6. 같은 대포 두 대를 1 m 남짓 떨어뜨려 마주 보게 놓고 동시에 쏘아, 반지름이 커지고 속도가 떨어지는 정도와 작은 고리가 몇 개나 갈라지는지 본다. 축을 비스듬히 튼 경우도 찍는다.

안전 안내

안개는 안전한 방법으로만 만든다. 초음파 가습기의 물안개나 드라이아이스 안개를 쓰고, 향·모기향·발연통처럼 태워서 만든 연기는 쓰지 않는다 — 태운 연기는 초미세먼지와 일산화탄소를 내놓는다. 드라이아이스는 −78 ℃여서 맨살에 닿으면 곧바로 동상을 입으니 장갑과 집게로만 다루고, 입에 넣거나 밀폐 용기에 담지 않는다(기체가 팽창해 터진다). 이산화탄소가 바닥에 깔리므로 창을 열어 환기한다. 와류 고리는 보이지 않아도 센 공기 흐름이니 얼굴이나 눈을 향해 쏘지 않고, 쏘는 방향에 아무도 서지 않게 한다. 칼날 작업은 교사의 지도 아래 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

막을 세게 칠수록 고리는 계속 세지고 멀리 갈까, 아니면 어느 지점부터는 남는 공기가 꼬리로만 흘러 나갈까? 앞뒤로 쏜 두 고리 가운데 좁아지며 빨라지는 쪽은 앞일까 뒤일까?

자료 정리

가로축을 스트로크 비 L/D, 세로축을 순환을 대신 읽는 양 U·R(한 발씩 쏜 고립 고리에서만 쓴다)로 잡아 산점도를 그리고, 꼬리 제트가 처음 보인 조건을 표시해 어디서 기울기가 꺾이는지 본다 — 무릎의 절대 위치는 L의 정의에 따라 밀릴 수 있으니 조건 간 비교로 읽는다. 구멍 지름 D별로 기호를 달리하면 D가 달라도 같은 자리에서 꺾이는지 알 수 있다. 개구리 뜀뛰기는 시간에 대한 두 고리의 반지름과 위치 곡선으로 그려 교차점을 표시한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

L/D를 키우면 고리의 세기는 함께 커지다 어느 값에서 멈추고, 그 뒤로 밀어낸 공기는 꼬리 제트로만 흘러 나갈 것으로 예상된다. 고리가 담을 수 있는 순환에는 상한이 있다는 뜻이다. 앞뒤로 쏜 두 고리에서는 뒤 고리가 좁아지며 빨라져 앞 고리 한가운데를 통과하고 앞 고리는 넓어지며 느려지는 순서가 보일 텐데, 반대로 읽혔다면 어느 쪽이 앞 고리인지 잘못 짚은 것이다. 다만 두 번 두드린다고 늘 되지는 않아 레이놀즈 수와 두 고리의 간격이 맞아야 하고, 어긋나면 하나로 합쳐진다. 정면 충돌에서는 두 고리가 함께 넓어지다 작은 고리들로 갈라질 것이다. 약해서 부서지는 것이 아니라 늘어난 둘레에서 자란 불안정이 와도선을 끊었다 이어 붙이기 때문이다.

더 탐구하기

1. 구멍을 타원이나 사각형으로 뚫어, 고리가 날아가며 긴 축과 짧은 축을 번갈아 바꾸는 축 전환이 나타나는지 살펴보자.

2. 고리를 벽에 정면으로 부딪혀, 벽 앞에서 넓어지며 느려지는 모습이 마주 쏜 정면 충돌의 절반과 같은지 견주어 보자.

3. 두 대포의 축을 조금씩 어긋나게 놓고 쏘아, 비스듬한 충돌에서 두 고리가 잘려 이어 붙는 재연결을 잡아 보자.

4. 막 대신 작은 스피커를 붙여 일정한 진동수로 떨게 하고, 고리가 잇달아 나와 하나의 합성 제트로 바뀌는 조건을 찾아보자.

연결 주제

IYPT 2022 문제 9 ‘물 나선’ — 작은 구멍으로 뿜어 나온 흐름이 가장자리의 전단층 때문에 모양을 바꾼다는 점에서 이 문제의 첫 단계와 겹친다. 부딪힌 고리의 둘레에서 자란 방위각 불안정이 몇 개의 마루로 갈라지는가 하는 물음은 IYPT 2020 문제 12 ‘다각형 소용돌이’의 각 수 선택과 같은 얼개다. 제트가 표면에 부딪힐 때는 IYPT 2006 문제 14 ‘스펀지 제트’와 이어진다.

참고문헌

[학생] Science Buddies ‘Build a Vortex Cannon!’(sciencebuddies.org) — 표준 제작법 / 영상 분석 프로그램 Tracker(physlets.org/tracker) / [심화] M. Gharib, E. Rambod, K. Shariff, “A universal time scale for vortex ring formation,” J. Fluid Mech. 360, 121–140, 1998, DOI 10.1017/S0022112097008410 (관 피스톤은 L/D 3.6~4.5의 문턱—‘형성 수’—에서 고리가 꼬리 제트와 끊어지고 순환이 최대가 된다) · R. Limbourg, J. Nedić, “Formation of an orifice-generated vortex ring,” J. Fluid Mech. 913, A29, 2021, DOI 10.1017/jfm.2021.36 (평평한 벽의 구멍에서는 Re = 5300·관/구멍 지름비 2.0 조건에서 형성 수가 약 2.0으로 훨씬 작고, 같은 조건의 노즐보다 순환·임펄스·운동 에너지가 크게 생긴다 — 이 문제의 상자가 이 구멍형이다) · T. T. Lim, “A note on the leapfrogging between two coaxial vortex rings at low Reynolds numbers,” Phys. Fluids 9(1), 239–241, 1997, DOI 10.1063/1.869160 (낮은 레이놀즈 수에서는 두 번 쏘기만으로 뜀뛰기가 되지 않는다 — 생성 조건이 성패를 가른다) · T. T. Lim, T. B. Nickels, “Instability and reconnection in the head-on collision of two vortex rings,” Nature 357(6375), 225–227, 1992, DOI 10.1038/357225a0 (정면 충돌한 두 고리가 재연결을 거쳐 작은 고리 여럿으로 갈라진다). ※ 문헌은 피스톤·구멍으로 만든 고리와 두 고리의 상호작용을 잘 덮지만, 막을 때리는 상자에서 밀려난 부피로 스트로크 비를 정의해 형성 수를 재어 본 자료는 찾기 어렵다 — 그 정의가 통하는 범위가 이 탐구의 개방 지점이다.