2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2001 · 문제 17 · 파동·음향, 역학·진동

깊을수록 빨리 출렁인다 — 호수 정진동

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2001 문제 17 ‘Seiches’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2001 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(파동의 파장·진동수·속력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(지구 시스템 — 수권과 기권)·과학탐구실험1(측정과 오차) / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리 — 정상파와 공명) / 지구과학 「대기와 해양」(기압과 수면 변동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

정진동(세이시), 정상파, 마디와 배, 기본 진동 모드, 얕은 물 파동, 파동의 속력, 분산 관계, 메리안 공식, 고유 주기, 공명, 역기압 효과, 바람에 의한 수면 경사, 감쇠

원리 살펴보기

호수는 바람이 멎은 뒤에도 왜 몇 시간씩 시소처럼 오르내릴까? 욕조 한쪽을 눌렀다 놓으면 물이 반대쪽으로 몰렸다가 되돌아온다. 호수도 같은 그릇이다. 한쪽 하늘의 기압이 낮아지거나 바람이 물을 밀면 수면이 기울고, 원인이 사라지는 순간 중력이 물을 되돌려 반대쪽으로 넘겼다가 다시 돌려보낸다. 한가운데는 수위가 거의 변하지 않는 마디가 되고 양 끝은 가장 크게 오르내리는 배가 된다 — 양 끝 수위가 같은 크기로 반대로 움직이는 이유다. 마디 하나인 기본 모드는 호수 길이 L이 반파장이라 파장이 2L이고, 얕은 물 파동의 속력이 c = √(gh)이므로 주기는 T = 2L/√(gh) — 메리안 공식이다. 길수록 느려지고, 수심이 깊을수록 파가 빨라져 주기는 오히려 짧아진다.

여기서 걸려 넘어지기 쉽다. 문제의 호수는 깊은데 √(gh)는 얕은 물 근사에서 나온 식이기 때문이다. 그러나 얕고 깊고는 수심 자체가 아니라 수심을 파장과 견준 비율로 정해진다. 제네바 호는 수심이 150 m를 넘지만 기본 모드의 파장은 길이의 두 배인 약 146 km여서 수심은 파장의 1000분의 1이다. 기준인 수심 < 파장/20을 넉넉히 만족하니 깊은 호수도 얕은 물 파동을 탄다. 포렐이 1885년에 든 대비가 이를 잘 보여 준다 — 길이 73 km인 제네바 호의 주기는 73분인데, 길이가 그 40%뿐인 29 km 조지 호는 수심이 5~6 m로 얕아 주기가 131분으로 더 길다.

그릇의 크기와 깊이가 고유 주기를 정한다는 계산은 현장에서 쓰인다. 항만 설계(수역의 고유 주기가 너울과 겹치면 계류한 배가 흔들려 하역이 멈춘다), 기상해일 경보(기압 요란이 만의 고유 주기와 맞으면 맑은 날에도 수위가 급변한다), 댐·저수지와 발전소 취수(수위와 월류 여유고가 흔들린다), 액체 화물선과 로켓 추진제 탱크(같은 식으로 출렁임 주기를 어림해 칸막이를 넣는다)가 그렇다.

실험 설계

준비물

길이 1 m 안팎의 투명한 직육면체 수조(폭 10~20 cm, 높이 20 cm 이상), 수평계와 얇은 심, 수조를 얹을 튼튼한 평판, mm 눈금자와 방수 테이프, 물과 식용 색소, 방수 칸막이, 초시계, 30 fps 이상의 스마트폰·삼각대, 소형 송풍기, 수건과 물받이.

변인

독립변인은 수심 h이다(2·4·6·8·10 cm의 5단계). 종속변인은 기본 모드의 정진동 주기 T로, 한쪽 끝벽 수위가 최고점에서 다음 최고점에 이르는 시간이다. 통제변인은 수조의 길이와 폭, 수평, 진동을 일으키는 방법과 초기 수면 경사, 수온, 관측 위치이다. 심화에서는 길이 L이나 바닥 경사를 독립변인으로 바꾼다.

실험 순서

  1. 수조를 평평한 판에 올려 수평계로 맞추고 양 끝 안쪽 벽에 mm 눈금자를 세로로 붙인다. 식용 색소를 조금 풀어 수면을 또렷하게 한다.

  2. 수심을 2 cm로 맞춘다. 메리안 공식으로 L = 1 m·h = 5 cm면 T = 2 × 1 m ÷ √(9.81 × 0.05) = 2.86 s, 2 cm면 4.52 s다 — 초시계로 셀 수 있는 스케일이다.

  3. 수조 한쪽 끝을 살짝 들었다 조용히 내려놓아 진동을 일으킨다. 양 끝 수위 차는 수심의 5분의 1을 넘지 않게 한다(2 cm면 4 mm, 10 cm면 2 cm). 기압이나 바람이 만드는 초기 수면 경사를 흉내 낸 것이다.

  4. 끝벽 눈금자를 옆에서 30 fps로 찍고 초시계로 여러 주기의 시간을 재어 나눈다. 점성 감쇠를 어림하면 진폭이 1/e로 주는 데 2 cm에서 8주기, 10 cm에서 30주기쯤이니 얕으면 5주기·깊으면 10주기를 재고 조건마다 5회 되풀이한다.

  5. 수심을 4·6·8·10 cm로 올리며 ③④를 되풀이한다. 이어 칸막이로 L을 0.5 m로 줄여 주기가 절반이 되는지 보고, 수심을 15~20 cm로 올려 수심 < 파장/20이 깨질 때 공식이 어긋나는지 본다.

안전 안내

⚠ 안전

물 1 m × 15 cm × 10 cm만 해도 15 kg이 넘는다. 수조는 비운 뒤 옮기고, 얹을 판이 휘거나 미끄러지지 않는지 확인한다. 흘린 물은 곧바로 닦아 미끄러짐을 막고, 둘레에 물받이와 수건을 깐다. 유리·아크릴 수조는 부딪히면 깨지니 끝을 들 때 두 손으로 천천히 다룬다. 송풍기·충전기 같은 전기 기구와 멀티탭은 수조에서 멀리 두고 젖은 손으로 만지지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

수심을 네 배로 깊게 하면 물이 한 번 오갔다 돌아오는 주기는 길어질까, 짧아질까?

자료 정리

수심별 주기를 표로 모은 뒤 가로축 1/√h, 세로축 T로 그린다. 메리안 공식이 맞다면 원점을 지나는 직선이 나오고 기울기는 2L/√g다(L = 1 m면 약 0.64 s·m^½). 로그–로그 그래프에서 기울기가 −½인지 보아도 좋다. 실제 호수 값도 같은 식에 넣어 검산해 나란히 적는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

수심을 2 cm에서 10 cm로 다섯 배 올리면 주기는 4.5 s에서 2.0 s로 √5배 짧아질 것으로 예상된다. 복원력은 중력이고 움직여야 할 관성은 물기둥 전체여서, 그 둘의 다툼이 파의 속력 √(gh)로 압축되고 그것이 그릇의 고유 주기를 정하기 때문이다. 실제 호수로 검산해 보자. 조지 호(오스트레일리아)는 러셀이 실측한 수심 4.5~6.1 m를 넣으면 125~145분이 나와 관측 131분을 감싼다. 제네바 호는 전체 평균 수심 154 m로 63분이 나와 관측 73분보다 14 % 짧은데, 메리안 공식의 h는 호수 전체 평균이 아니라 정진동이 오가는 축의 단면 평균 수심이다. 서쪽 끝이 얕아 축 평균이 더 작고, 포렐이 적은 114 m를 넣으면 73분이 그대로 나온다. 어긋남의 방향까지 설명하는 것이 목표다.

더 탐구하기

  1. 수조 한가운데를 짧게 눌렀다 떼어 마디가 둘인 2차 모드를 만들어 보자 — 2차 모드는 파장이 수조 길이와 같아 얕은 물 기준이 훨씬 엄격해진다. 수심 2~3 cm에서 주기가 절반이 되는지 보자 — 5 cm에서도 이미 1 % 남짓 길고, 더 깊게 하면 그 차이가 커지는 것 자체가 분산의 증거다.

  2. 모래나 경사판으로 바닥을 가운데가 가장 깊은 포물선 모양으로 바꿔 보자. 최대 수심이 같은 평평한 바닥보다 주기가 길어지는지, 포물선 분지의 이론값 1.110배(π/(2√2) — 최대 수심 기준·포물선 바닥에만 해당)에 다가서는지 본다.

  3. 송풍기로 몇 초 바람을 불어 수면을 기울였다 끄는 방식으로도 일으켜 보자. 초기 경사를 바꾸면 진폭만 달라지고 주기는 그대로인지(선형성) 확인한다.

  4. 폭 방향 횡 정진동도 찾아보자 — 폭 15 cm·수심 5 cm면 얕은 물 근사로는 0.43 s지만, 이때 수심이 파장(30 cm)의 1/6이라 근사가 깨져 실제로는 0.5 s에 가깝다. 근사의 한계를 눈으로 보는 셈이다.

연결 주제

IYPT 2012년 문제 10 ‘흔들리는 병’이 가장 가깝다 — 중력이 되돌리는 자유 표면의 출렁임이라는 뿌리는 같지만, 그쪽은 출렁임이 병의 구름 운동과 얽혀 있고 이쪽은 고정된 그릇의 정상파다. 2012년 문제 5 ‘밝은 물결’과는 물결 수조와 표면파 분산 관계를 공유한다 — 정진동은 그 관계의 얕은 물 극한이다. 이 대회 같은 해(2001년) 문제 3 ‘물방울 공명기’도 공명을 다루지만, 표면장력이 지배하는 물줄기 분열이라 기제가 다르다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 16.6 ‘Standing Waves and Resonance’(정상파와 고유 진동수) / 미국 해양대기청(NOAA) 해설 “What is a seiche?” / 영상 검색어 “seiche wave tank demonstration”, “Lake Geneva seiche” / [심화] F.-A. Forel, “The ‘Seiches’ of Lakes,” Le Guide Scientifique, 1885, pp. 1–5 (제네바대 공개 아카이브 unige:164292 — 메리안의 이론에서 끌어낸 t = l/√(gh)를 반주기로 제시했으니 주기는 2l/√(gh)이다. 제네바 호 73.2 km·73분과 조지 호 29.0 km·131분을 나란히 놓았고, 관측 주기에서 거꾸로 구한 조지 호 평균 수심 5.54 m가 실측 4.5~6.1 m와 맞았다) · D. Avalos Cueva 외, “Natural Frequencies of seiches in Lake Chapala,” Scientific Reports 9, 11863 (2019), DOI 10.1038/s41598-019-48319-6 (메리안 T_k = 2L/(k√(gH))를 수위 관측과 비교 — 기본 모드 관측 5.9시간, 메리안 5.4시간. 다만 논문이 밝힌 79 km·6 m를 그대로 넣으면 5.7시간이 나온다. 함께 쓰인 윌슨 계수 1.110은 π/(2√2)로 최대 수심 기준이라 평균 수심에 곱하면 안 된다) · A. B. Rabinovich, “Seiches and Harbor Oscillations,” in Handbook of Coastal and Ocean Engineering, pp. 193–236, World Scientific (2009), DOI 10.1142/9789812819307_0009 (닫힌·반닫힌 수역의 고유 모드와 기압·바람에 의한 생성 기제 총설) · T. B. Barriquand, J. M. Kleiss, American Journal of Physics 93(9), 691–698 (2025), DOI 10.1119/5.0223337 (아크릴 물결 수조에서 정상파를 만들어 얕은 물·깊은 물 근사와 견주는 학부 실습). ※ 문헌은 수 km 이상의 호수와 항만을 다룬다 — 1 m 수조에서 메리안 공식의 오차와 감쇠를 체계적으로 잰 보고, 그리고 기압 변화 자체(수조를 기울이거나 바람을 부는 대체 여기가 아닌)로 정진동을 일으켜 본 학교 규모의 시도는 찾지 못했다. 이 탐구의 개방 지점이다.

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