안에 부어도 밖에 담가도 낮아지는 음 — 노래하는 잔

탐구 주제

IYPT 1999 문제 6 ‘Singing glass’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1999 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(파동의 발생·소리의 높낮이) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1 / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리 — 고유 진동수·공명) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

고유 진동수, 굽힘 진동 모드, (2,0) 모드, 마디와 배(node·antinode), 공명, 스틱–슬립, 자려 진동(자기여기 진동), 질량 부하(mass loading), 부가 질량(added mass), 비압축성 유체, 가로 흐름, 유체 압력, 점성 감쇠, 거듭제곱 법칙, FFT

원리 살펴보기

젖은 손가락으로 잔의 테두리를 문지르면 왜 맑은 음 하나가 길게 이어질까? 손가락은 미끄러지기만 하는 게 아니라 테두리를 붙잡았다 놓기를 1초에 수백 번 되풀이한다(스틱–슬립). 그 박자는 손가락이 정하는 게 아니라 잔이 정한다 — 잔의 고유 진동수에 이끌려 붙잡았다 놓는 리듬이 저절로 그 진동수에 맞춰지고, 손가락이 미는 힘과 잔의 떨림이 서로를 키우는 자려 진동이 걸린다. 테두리는 원이 타원으로 눌렸다 늘어나기를 되풀이하는 굽힘 모드로 떨린다. 문지르기는 두드리기와 결정적으로 다르다 — 두드리면 여러 모드가 한꺼번에 깨어나 소리가 섞이지만, 문지르면 대개 모드 하나만 골라 울려 음높이가 또렷한 순음에 가깝다. 그래서 이 문제는 “음높이가 무엇에 따라 변하는가”를 깨끗하게 묻는다.

그렇다면 무엇이 음높이를 정할까? 흔한 설명은 “액체가 무게를 더하니 잔이 무거워져 느리게 떨린다”는 질량 부하다. 액체를 높이 채울수록 음이 낮아지는 것은 사실이고, 그 낮아짐은 단순 비례가 아니라 가파르게 커진다. 하지만 이 설명만으로는 부족하다. 잔 한가운데에 기둥을 세워 액체를 오히려 덜어내면, 액체가 줄었는데도 음은 더 낮아진다. 액체는 압축되지 않아 벽이 안으로 들어오면 비켜 흘러야 하는데, 틈이 좁을수록 그 가로 흐름이 빨라지고 그 압력이 벽의 떨림을 더 세게 붙들기 때문이다. 즉 음높이를 정하는 것은 액체의 무게가 아니라, 벽이 떨릴 때 액체가 흘러야 하는 정도다. 잔을 바깥 액체에 담가도 음이 낮아지는 까닭이 이것이다 — 바깥 액체 역시 벽이 부풀 때 비켜 흘러야 하므로 부가 질량으로 얹힌다.

이 원리는 잔 하나에 머물지 않는다. 글라스 하프·글라스 하모니카(둘 다 젖은 손가락으로 테두리를 문질러 연주한다 — 글라스 하프는 담은 물의 양으로, 글라스 하모니카는 그릇의 크기로 음을 맞추며 모차르트가 곡을 남겼다), 비접촉 액위 센서(속이 안 보이는 통을 울려 그 음높이로 액체의 높이를 되짚는다), 와인잔 공명 자이로스코프(잔 모양 껍질의 굽힘 모드를 쓰되, 유체가 닿으면 진동수와 감쇠가 흔들려 진공으로 봉한다), 수중 음향 구조물 설계(소나 돔은 물에 잠기는 순간 고유 진동수가 떨어져, 그 부가 질량을 미리 계산해 넣어야 한다).

실험 설계

준비물

같은 규격의 얇은 유리 와인잔 여러 개, 물, 계량컵과 자, 비누와 기름기를 지울 식초, 잔이 넉넉히 들어가는 투명한 큰 용기(비커·수조), 잔을 띄워 받칠 낮은 받침, 스마트폰과 무료 주파수 분석(FFT·스펙트로그램) 앱, 밀도가 다른 액체(소금물·식용유·물엿 희석액), 온도계, 조용한 실내. (심화) 잔 한가운데에 세울 지름이 다른 원기둥과 고정용 클램프.

변인

독립변인은 잔에 담은 액체의 높이이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 테두리를 문질러 나는 음의 기본 진동수이며, 440 Hz처럼 숫자와 단위를 띄워 적는다. 통제변인은 잔의 종류와 받침, 손가락의 압력·속도와 젖음 상태(기름기 제거), 액체의 종류와 온도, 마이크의 거리와 소음이다. 이어지는 실험에서는 잠김 여부(안·밖·안팎)와 액체의 밀도를 각각 독립변인으로 삼는다.

실험 순서

1. 비누로 손을 씻고 손가락 끝을 물이나 식초에 적신다. 받침에 놓은 빈 잔의 테두리를 일정한 압력으로 천천히 돌려 문질러 맑은 음을 내고, FFT 앱으로 기본 진동수를 읽는다 — 기준값 f₀이다.

2. 같은 잔을 두드려도 보고 문질러도 보며 스펙트로그램을 견준다. 두드리면 봉우리가 여럿, 문지르면 대개 하나가 뚜렷이 서는지 확인한다 — 문지르기가 모드 하나를 골라낸다는 뜻이다. 이 두드림 대조는 액체 조건을 바꿀 때마다 되풀이해, 문지른 음이 늘 가장 낮은 봉우리를 따라가는지 확인한다.

3. 잔 안에 물을 조금씩 부어 높이를 단계적으로 올리며(예: 1 cm씩) 진동수를 잰다(높이마다 3회 이상). 매번 손가락의 젖음과 압력을 같게 유지한다.

4. 잔을 비워 큰 용기에 넣고 바깥에만 물을 부어 같은 높이까지 잠기게 한다(테두리는 액면 위로 나와야 문지를 수 있다). 같은 방식으로 재고 안팎을 채운 조건도 잰다 — 같은 높이에서 안·밖·안팎 세 조건을 견주는 것이 이 탐구의 핵심이다.

5. 소금을 농도를 달리해 녹인 물로 같은 높이에서 ③④를 되풀이해 밀도가 음높이를 얼마나 끌어내리는지 보고, 식용유는 점도·표면장력도 함께 다르므로 그 차이는 여러 물성이 겹친 결과로 적는다.

안전 안내

유리잔은 깨지기 쉽다. 테두리를 세게 누르거나 잔을 넘어뜨리지 않도록 다른 손으로 밑동을 잡고, 금이 간 잔은 쓰지 않는다. 잔을 큰 용기에 넣고 뺄 때 유리끼리 부딪쳐 깨지기 쉬우니 바닥에 수건을 깔고 천천히 다룬다. 깨진 조각은 맨손으로 줍지 말고 장갑과 빗자루를 쓴다. 바닥이 미끄러워지지 않게 하고 스마트폰은 물에서 멀리 둔다. 공명으로 잔을 깨뜨리는 시연은 하지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물을 절반쯤 채운 잔과, 똑같은 높이까지 바깥 물에 잠긴 잔 — 둘 중 어느 쪽 음이 더 낮을까? 그리고 잔 한가운데에 굵은 기둥을 세워 물을 덜어내면 음은 높아질까, 낮아질까?

자료 정리

조건별로 액체 높이에 따른 기본 진동수를 표로 모은다. 가로축을 액체 높이, 세로축을 진동수로 놓고 안에 채운 경우·바깥에 잠긴 경우·안팎을 채운 경우 세 곡선을 겹쳐 그린다. 심화 과정에서는 세로축을 (f₀/f)² − 1로 바꾼다 — 잔이 끌고 가야 하는 액체의 몫에 해당하는 값이다. 이를 액체 높이와 함께 로그–로그 그래프에 올리면 기울기에서 거듭제곱 지수를 읽고 세 조건을 견줄 수 있다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

액체를 높이 채울수록 음은 단순 비례가 아니라 가파르게 낮아지고, 잔을 바깥 액체에 잠가도 음이 낮아지며, 안팎을 채우면 가장 낮아질 것으로 예상된다. 안이든 밖이든 액체가 벽에 닿아 있기만 하면 음이 낮아진다는 사실이 이 탐구의 핵심이다 — 음높이를 정하는 것이 “잔이 담은 무게”가 아니라 “벽이 떨릴 때 액체가 흘러야 하는 정도”임을 드러내기 때문이다. 기둥을 세워 액체를 덜어냈는데도 음이 더 낮아진다면 단순 질량 부하 설명은 그 자리에서 반증된다. 다만 문지르는 압력과 속도가 흔들리면 진동수도 흔들리니, 손가락 조건을 통제하지 못하면 경향이 묻힌다.

더 탐구하기

1. 잔 한가운데에 지름이 다른 원기둥을 세워 액체를 덜어내도 음이 더 낮아지는지, 기둥과 벽 사이 틈이 좁을수록 효과가 커지는지 확인해 보자.

2. 바깥 용기의 크기를 바꿔(꼭 맞는 용기 ↔ 넓은 수조) 같은 깊이로 잠갔을 때 음높이가 달라지는지 보자 — 바깥 액체가 비켜 흐를 여유가 음을 바꾸는지 묻는 실험이다.

3. 물엿을 물에 타 점성을 크게 바꾼(밀도도 함께 오르니 그 몫을 따로 확인하며) 액체로, 점성이 음높이와 소리의 지속 시간(감쇠)에 각각 어떻게 작용하는지 나눠 보자.

4. 두께와 지름이 다른 잔들을 재어 빈 잔의 음높이가 모양에 어떻게 달라지는지 보자.

연결 주제

IYPT 2025 문제 15 ‘우는 그릇(Wailing Bowl)’ — 그릇·잔의 자려발음을 다루는 짝 원고이나 초점이 다르다. 그쪽은 그릇을 두드려 여러 모드를 한꺼번에 깨운 뒤 찌그러짐이 만든 모드 분리와 맥놀이, 물이 출렁일 때의 변조를 좇는다. 이쪽은 문질러 모드 하나만 골라 세우고, 그 음높이가 액체의 높이·밀도·잠김 여부에 따라 어떻게 옮겨 가는지를 정량화한다. 같은 해 문제 17 ‘물에서 나는 소리’와는 FFT 분석법을 공유한다.

참고문헌

[학생] C. Boone, M. Galloway & M. J. Ruiz, “Fun with singing wine glasses,” Physics Education 53(3), 035025, 2018, DOI 10.1088/1361-6552/aaae89 (물의 양에 따른 진동수를 스마트폰으로 재는 학생 실험 — 절차 ①의 근거) / 영상 검색어 “singing wine glass physics”, “glass harp water level pitch” / [심화] A. P. French, “In Vino Veritas: A study of wineglass acoustics,” American Journal of Physics 51(8), 688–694, 1983, DOI 10.1119/1.13147 (에너지법으로 빈 잔과 액체를 담은 잔의 고유 진동수를 푼 고전) · T. D. Rossing, “Acoustics of the glass harmonica,” JASA 95(2), 1106–1111, 1994, DOI 10.1121/1.408458 (두드리면 여러 모드가 깨어나지만 문지르면 대개 한 모드만 울리며, 기본 모드가 손가락과의 스틱–슬립으로 여기되는 것으로 보인다 — 1문단·절차 ②의 근거) · K.-W. Chen, C.-K. Wang, C.-L. Lu & Y.-Y. Chen, “Variations on a theme by a singing wineglass,” EPL 70(3), 334–340, 2005, DOI 10.1209/epl/i2004-10493-9 (빈 잔·바깥만 채운 잔·안만 채운 잔·안팎을 채운 잔을 견주고, 기둥으로 액체를 덜어내면 오히려 음이 낮아짐을 보여 질량 부하 설명을 수정 — 가로 흐름과 그 압력이 벽의 떨림을 붙든다는 해석으로 2문단·절차 ④·추가 실험 첫 항목의 근거. 모형화한 짝 논문은 Y.-Y. Chen, AJP 73(11), 1045–1049, 2005, DOI 10.1119/1.2063035) · M. Lendermann 외, “Comprehensive vibrational dynamics of half-open fluid-filled shells,” Proceedings of the Royal Society A 475(2227), 20190207, 2019, DOI 10.1098/rspa.2019.0207 (높이·밀도·점성·벽 두께를 아우르는 이론 — 단 바깥이 공기인 껍질만 다룬다). ※ 서지·DOI는 재확인했다. 잔 ‘안’을 채운 경우는 문헌이 두텁게 덮고 바깥까지 채운 비교도 EPL 2005의 한 그림에 나오지만, 잔이 바깥 액체에 잠긴 조건에서 음높이가 잠긴 깊이·바깥 액체의 밀도·잔과 용기 벽 사이 틈에 따라 어떻게 변하는지를 계통적으로 잰 연구는 찾기 어려웠다 — 이것이 이 탐구의 개방 지점이다.