동시에 부딪치면 결과가 갈린다 — 세 원반 충돌

탐구 주제

IYPT 1995 문제 7 ‘Three discs’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1995 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」·「운동과 에너지」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템·운동량 보존) / 진로선택 「역학과 에너지」(운동량과 충격량, 운동량 보존 법칙, 충돌과 반발) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

평면 이차원 충돌, 운동량 보존, 운동 에너지 보존, 충격량, 중심 연결선(접촉선), 법선 방향 충격량, 반발 계수(e), 탄성 충돌·비탄성 충돌, 90° 규칙, 충격 매개변수, 동시 충돌의 비결정성, 순차 충돌의 경로 의존성, 마찰과 회전(스핀), 강체

원리 살펴보기

한 원반이 정지한 두 원반을 향해 미끄러져 갈 때, 부딪친 뒤 셋은 어느 방향으로 얼마나 빠르게 흩어질까? 매끄러운(마찰 없는) 강체 원반끼리는 접촉면에 수직인 힘만 주고받고, 그 수직선은 두 원반의 중심을 잇는 선(중심 연결선)과 일치한다. 그래서 충격량은 언제나 두 중심을 잇는 선 방향으로만 전달된다. 여기에 운동량 보존과 운동 에너지 보존(탄성 충돌), 그리고 반발 계수 e를 더하면 두 원반의 충돌은 원리상 완전히 풀린다 — 질량이 같고 하나가 정지해 있던 탄성 충돌이라면 둘은 정확히 90°로 갈라진다(당구의 90° 규칙).

그런데 상대가 둘이면 이야기가 갈린다. (b) 순차 충돌은 세 번째 원반이 한쪽을 먼저 때리고 그 결과가 다시 다음 충돌을 일으키는 ‘두 원반 충돌의 연쇄’다 — 각 단계는 위의 방법으로 정해지지만, 겨냥이 조금만 달라져 어느 원반을 먼저 맞히느냐가 바뀌면 이후 경로 전체가 달라지는 경로 의존성을 보인다. 반면 (a) 완전 동시 충돌은 세 번째 원반이 두 원반을 같은 순간에 때리는데, 특히 맞는 두 원반이 서로 닿아 있으면 세 접점에서 충격량이 한꺼번에 오가 운동량·에너지 보존만으로는 결과가 하나로 정해지지 않는다 — 접촉힘이 두 접점에 어떻게 나뉘는지를 더 알아야 풀리는, 다체 충돌 특유의 비결정 상황이다. 완벽한 동시성은 현실에서 거의 불가능해서, 아주 작은 시간차만 있어도 (a)는 사실상 (b)로 무너져 내린다.

이 원리는 놀이 이상의 쓸모를 지닌다. 당구·큐 스포츠(브레이크 샷과 수구 배치의 각도 계산), 분체·그래뉼러 공학(알갱이들이 부딪쳐 에너지를 잃는 정도를 반발 계수로 다룸), 물리 엔진·로봇 시뮬레이션(여러 물체가 동시에 닿을 때의 접촉 처리를 푸는 다물체 동역학의 난제), 충돌·산란 실험과 사고 재구성(충돌 전후 속도 벡터를 되짚어 힘과 질량을 알아냄)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

매끄러운 평면(에어테이블이 가장 좋고, 없으면 평평한 유리·아크릴판이나 잘 닦은 책상), 똑같은 원반 세 개(하키 퍽, 두꺼운 동전, 자석 반발 퍽, 또는 드라이아이스 퍽), 원반을 일정하게 쏘아 줄 발사 경사로나 튕김 장치, 스마트폰(위에서 내려다보는 고속 촬영), 모눈 배경과 자·각도기. (선택) 서로 밀어내는 자석을 심어 접촉 없이 ‘부드럽게’ 충돌시키는 퍽.

변인

독립변인은 세 원반의 배치와 겨냥이다 — 입사 원반이 두 정지 원반을 같은 순간에 때리는 대칭 배치(a)인지, 한쪽을 먼저 때리는 배치(b)인지, 그리고 겨냥 지점을 정하는 충격 매개변수. 종속변인은 충돌 후 세 원반의 속도 벡터(속력과 방향), 특히 튕겨 나가는 각도와 두 원반이 이루는 사잇각이다. 통제변인은 원반의 질량·지름·재질, 바닥의 평탄도와 마찰, 입사 원반의 속력, 그리고 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 평면을 수평으로 맞추고 위에서 내려다보도록 고속 카메라를 걸며, 원반 하나가 일정한 속도로 곧게 미끄러지는지 확인한다 — 마찰이 충분히 작은지 보는 기준 잡기다.

2. 먼저 두 원반 충돌로 방법을 검교정한다: 정지한 원반 하나를 빗맞혀 쏜 뒤, 영상에서 충돌 전후 속도 벡터를 읽어 운동량이 보존되는지, 질량이 같은 탄성 충돌에서 사잇각이 90°에 가까운지 확인한다.

3. (b) 순차 충돌: 두 정지 원반을 살짝 벌려 놓아 입사 원반이 한쪽을 분명히 먼저 때리게 하고, 겨냥을 바꿔 가며 여러 번 반복해 속도 벡터의 연쇄를 추적한다.

4. (a) 동시 충돌: 두 정지 원반을 서로 닿게(제3 접점을 만들어) 붙여 놓고 대칭축을 따라 겨냥해 두 원반을 같은 순간에 때리며, 같은 조건으로 여러 번 반복 촬영한다. 살짝 벌려 놓되 동시에 맞도록 겨냥한 경우도 함께 시험해, 제3 접점이 있을 때만 결과가 흩어지는지 대비한다 — 원문 (a)는 두 표적이 닿아 있으라는 조건이 없다.

5. 조건마다 세 원반의 속도 벡터를 디지털로 읽어 충돌 전후 총운동량·총운동 에너지와 반발 계수를 계산하고, (a)의 대칭 갈라짐과 (b)의 연쇄 결과를 비교하며 (a)에서 반복 사이의 흩어짐(재현성)을 살핀다.

안전 안내

퍽·원반은 평면 밖으로 튀어 나가 사람이나 손을 칠 수 있다. 발사 속력을 무리하게 높이지 말고, 주변을 비우며, 원반이 테두리를 넘지 않게 막거나 받는다. 자석 반발 퍽을 쓸 때는 손끼임에 주의하고 휴대폰·자기 카드·심장 박동기에서 멀리 둔다. 유리·아크릴판은 깨짐에, 에어테이블·송풍기는 전기와 발열에 주의한다. 드라이아이스 퍽은 맨손으로 오래 쥐지 않는다(동상).

예상과 해석

먼저 예상해 보기

대칭 동시 충돌(a)에서 입사 원반은 그 자리에 멈추고 두 원반만 대칭으로 튀어 나갈까, 아니면 입사 원반이 앞으로 얼마쯤 계속 나아갈까? 그리고 ‘똑같이’ 맞힌 동시 충돌을 여러 번 반복하면 결과가 매번 같을까, 아니면 흩어질까?

자료 정리

충돌마다 세 원반의 충돌 전후 속도 성분을 표로 모아, 총운동량 두 성분과 총운동 에너지가 보존되는지, 반발 계수 e가 얼마인지 계산한다. 사잇각을 충격 매개변수에 대해 그래프로 그리고 두 원반 충돌의 90° 기준선을 겹쳐 본다. (a)의 경우에는 ‘똑같이’ 반복한 충돌에서 입사 원반의 남은 속력이 얼마나 흩어지는지 그 분포를 그린다. (실측 전에는 축과 개형만 잡고 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

두 원반 충돌은 운동량과 (거의) 에너지를 보존하고, 질량이 같은 탄성 충돌이면 사잇각이 90°에 가깝되 마찰·회전 때문에 조금 벗어날 것으로 예상된다. (b) 순차 충돌은 기하 배치를 고정하면 재현되지만 겨냥을 아주 조금만 바꿔도 먼저 맞는 원반이 뒤바뀌어 결과 전체가 달라지는 경로 의존성을 보이고, (a) 완전 동시 충돌은 보존 법칙만으로는 결과가 덜 정해져 접촉의 세부에 따라 갈릴 것으로 보인다. 그래서 ‘똑같이’ 맞힌 동시 충돌이 반복 사이에 흩어진다면, 그것은 보존 법칙만으로는 답이 하나로 정해지지 않고 결과가 미세한 시간차·접촉 조건에 극도로 민감하다는 신호다. 겨냥·발사의 입력 오차도 함께 기록해, 산포 가운데 입력 오차로 설명되는 몫과 그것을 넘는 몫을 나눠 보는 것이 이 문제의 가장 깊은 발견 지점이다.

더 탐구하기

1. 강철 원반(거의 탄성)과 고무·찰흙 원반(비탄성)을 바꿔 대며, 반발 계수와 사잇각이 어떻게 달라지는지 비교해 보자.

2. (a)의 대칭을 아주 조금씩 일부러 깨뜨려, 결과가 어느 한쪽 (b) 순차 충돌 쪽으로 급격히 기우는지 — 즉 결과가 타이밍에 얼마나 민감한지 — 지도로 그려 보자.

3. 입사 원반에 회전(스핀)을 주거나 표면을 거칠게 해서, 마찰이 결과를 마찰 없는 예측에서 얼마나 돌려놓는지(Wallace–Schroeder) 재어 보자.

4. 원반을 넷으로 늘리거나 질량비를 바꿔 보고, 서로 밀어내는 자석 퍽으로 접촉 없이 시간이 늘어난 ‘부드러운’ 충돌을 만들어 촬영을 쉽게 해 보자.

연결 주제

IYPT 1995 문제 15 ‘떨어진 물병’ — 바닥에 부딪친 순간의 충격량·운동량 전달과 에너지 배분(물이 튀어 오르는 높이)을 다루는 짝 탐구다. 세 원반이 충돌에서 운동량과 에너지를 주고받는 것과 똑같은 충격량–운동량–에너지 도구를 쓰고, 충돌 전후를 고속 촬영으로 되짚는 측정법도 같다.

참고문헌

[학생] Rod Cross, “Collisions of three billiard balls,” Physics Education 57(6), 063002 (2022) (공 하나가 정지한 두 공을 비스듬히 때리는, 이 문제와 똑같은 상황을 학생 눈높이로 실험·해설; 두 공이 직각으로 갈리는 단순한 경우들을 보임; DOI 10.1088/1361-6552/ac8517) · S. Mathavan, M. R. Jackson, R. M. Parkin, “Application of high-speed imaging to determine the dynamics of billiards,” American Journal of Physics 77(9), 788–794 (2009) (고속 촬영으로 충돌 전후 속도 벡터와 회전을 정량하는 표준 실험법; DOI 10.1119/1.3157159), 영상 검색어 “billiard 90 degree rule”, “air table collision” / [심화] R. E. Wallace, M. C. Schroeder, “Analysis of billiard ball collisions in two dimensions,” American Journal of Physics 56(9), 815–819 (1988) (마찰을 포함한 2차원 충돌 해석 — 충돌 후 사잇각이 이상적인 90°에서 벗어남을 실측; DOI 10.1119/1.15455) · Rod Cross, “Oblique angle collisions between three or more billiard balls,” American Journal of Physics 91(11), 879–884 (2023) (하나가 접촉한 두·세 공을 때리는 다체 충돌 — 운동량·에너지 보존만으로는 결과가 정해지지 않고 접촉힘 정보를 더해야 함을 보임; DOI 10.1119/5.0119656). ※ 위 문헌들은 원형 강체의 2차원·다체 충돌을 잘 다루지만, 세 번째 원반이 두 원반을 “정확히 같은 시각”에 때리는 (a)의 완전 동시 충돌이 보존 법칙만으로는 유일하게 정해지지 않는다는 점을 에어테이블 위 원반으로 재현하고 그 재현성(흩어짐)을 확인하는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.