무거울수록 묽다 — 열지 않고 재는 알코올 농도

탐구 주제

IYPT 1994 문제 13 ‘Spirits’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1994 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(부력)·「물질의 특성」(밀도) / 고등학교 통합과학1 「과학의 기초」(측정과 어림) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 진로선택 「물질과 에너지」 「용액의 성질」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

밀도, 부력, 아르키메데스 원리, 수중 칭량, 질량 백분율 도수, 부피 백분율 도수, 알코올 도수계(주정계), 과잉 부피(부피 수축), 단조 함수, 교정 곡선, 분해능, 오차 예산, 비파괴 검사

원리 살펴보기

병을 열 수 없다면, 밖에서 잴 수 있는 양 가운데 무엇이 안의 농도를 말해 줄까? 답은 밀도다. 20 °C에서 물은 998.20 kg/m³인데 순수한 에탄올은 789.24 kg/m³로 훨씬 가볍다. 그래서 같은 병에 같은 높이까지 채워 두면 도수가 높을수록 병은 가벼워진다 — 묵직한 병은 독한 술이 아니라 물이 많이 섞인 술이라는 뜻이다. 국제법정계량기구 공식 환산표의 20 °C 값은 질량 도수 0 %에서 998.20, 33 %에서 948.58, 50 %에서 913.77 kg/m³ — 도수가 오르는 내내 되돌아서는 법이 없다.

다른 후보는 왜 밀렸을까. 굴절률은 통틀어 2 %대밖에 변하지 않는 데다, 도수 80 % 부근에서 최댓값을 지나 순수 에탄올 쪽으로 되돌아온다 — 감도도 모자라고 방향까지 뒤집힌다. 음속은 더 고약하다 — 20 °C 물의 음속은 1482 m/s인데 에탄올을 부피로 9.5 %만 타면 오히려 1540 m/s로 올라간다. “알코올이 많으면 소리가 느려지겠지”라는 짐작이 낮은 농도에서 이미 어긋난다. 어떤 양을 고르든 농도에 따라 어느 쪽으로, 끝까지 한 방향으로 움직이는지 물성표로 먼저 확인해야 하는 까닭이다. 밀도조차 농도와 직선 관계는 아니다 — 섞으면 부피가 줄어들기 때문이다(과잉 부피). 부피가 그냥 더해진다고 보면 질량 도수 33 % 용액의 밀도를 948.6 대신 918 kg/m³로 잡게 되고, 거꾸로 실제 밀도 948.6을 도수 20 %로 잘못 읽는다. 환산표나 스스로 만든 교정 곡선이 반드시 필요한 이유다.

이 방법은 지금도 현장에서 일한다. 주류 법정 계량·과세(도수가 세율을 정하므로 밀도식 주정계와 환산표가 법적 기준이다), 위조·밀조주 단속(병을 뜯지 않고 유리벽 너머로 라만 분광을 쏘아 도수와 메탄올 혼입을 가려낸다), 공정의 액체 농도 감시(밀도계로 관을 흐르는 액체의 농도를 실시간으로 좇는다), 밀봉 포장 비파괴 검사(뜯으면 상품 가치가 사라지는 의약품·화장품에서 요긴하다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

뚜껑이 있는 같은 규격의 병 8개 이상(500 mL 유리병 — 페트병은 물보다 가벼워 매달아 잠글 수 없다), 소독용 에탄올(에탄올 70 % 이하 제품)과 증류수, 분해능 0.1 g급 전자저울, 병이 잠기는 깊고 좁은 용기(저울 칭량 한도를 넘지 않게), 병을 매달 스탠드와 낚싯줄, 온도계, 기포를 털어 낼 부드러운 붓, 충전선을 그을 유성펜, 수조 바닥에 깔 천, 보안경과 장갑.

변인

독립변인은 병에 밀봉한 에탄올 수용액의 질량 백분율 도수이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 밖에서만 재어 얻은 병 전체의 평균 밀도로, 공기 중 질량을 아르키메데스 원리로 구한 겉부피로 나눈 값이다. 통제변인은 병의 규격과 뚜껑, 액체를 채운 높이(충전선), 용액과 수조 물의 온도, 저울의 영점과 수평, 기포를 털어 내는 절차이다.

실험 순서

1. 소독용 에탄올의 표시 농도(부피 %)를 환산표로 질량 도수로 바꾼 뒤(70 %vol는 약 62 %mass다) 원액과 증류수를 저울로 달아 질량 도수 0·10·20·30·40·50 %인 표준 용액을 만든다 — 50 %를 만들려면 원액 80 g에 물 20 g이다. 빈 병을 하나씩 달아 질량을 적어 두고(병끼리의 편차가 곧 이 방법의 한계다), 같은 충전선까지 채워 밀봉한 뒤 겉면을 닦아 말린다. 도수를 알려 주지 않은 미지 병은 다른 모둠이 준비한다.

2. 병을 전자저울에 올려 공기 중 질량 M을 세 번 읽고 평균과 흩어짐을 기록한다.

3. 물을 담은 수조를 저울에 올려 영점을 맞춘 뒤, 스탠드에 매단 병을 바닥에 닿지 않게 완전히 잠그면 눈금이 ΔM만큼 늘어난다 — 밀려난 물의 질량이므로 겉부피는 V=ΔM/ρ물이다. 읽기 전에 붓으로 표면의 기포를 털어 낸다.

4. 평균 밀도 ρ̄=M/V를 계산하고 온도를 함께 적는다(모든 병을 20 °C 기준 ±1 °C 안에서 잰다).

5. 알려진 여섯 점의 (도수, ρ̄)를 찍어 교정 곡선을 그리고 미지 병의 ρ̄를 대입해 도수를 읽은 뒤, 준비한 모둠의 값과 맞춰 실제 오차를 확인한다.

안전 안내

에탄올은 인화성 액체다 — 불꽃과 열원에서 떨어진 자리에서만 다루고 창문을 열어 환기한다. 소독용 에탄올(에탄올 70 % 이하 제품)만 쓰고 더 진한 알코올은 쓰지 않으며, 표준 용액도 질량 도수 50 %를 넘기지 않는다. 증기를 들이마시지 말고, 어떤 용액도 입에 대거나 마시지 않는다 — 실험 시료이지 술이 아니다. 보안경과 장갑을 쓰고, 피부·눈에 닿으면 흐르는 물로 충분히 씻는다. 병은 밀봉해 겉면을 닦아 물에 넣고, 수조 바닥에 천을 깔아 유리병이 깨지지 않게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 병에 담긴 액체의 알코올 도수가 높아지면 병 전체의 무게는 무거워질까, 가벼워질까? 도수를 10 % 올릴 때 500 mL들이 병의 무게는 몇 g이나 달라질까?

자료 정리

표준 용액마다 잰 질량 M, 잠겼을 때 늘어난 눈금 ΔM, 온도를 한 표에 모으고 겉부피 V와 평균 밀도 ρ̄를 옆 칸에 계산해 적는다. 가로축을 질량 도수, 세로축을 ρ̄로 하여 점을 찍고 매끄럽게 이은 것이 교정 곡선이다 — 아래로 내려가되 고농도로 갈수록 가팔라지는지 본다. 미지 병의 ρ̄에서 수평선을 그어 도수를 읽고, 빈 병 질량의 흩어짐과 온도 오차를 도수 오차로 환산해 오차 막대로 얹는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

도수가 오를수록 ρ̄가 낮아지는 한 방향의 곡선이 예상된다. 환산표에서 도수 33 % 언저리의 기울기는 1 %당 약 1.8 kg/m³이니, 500 mL를 채운 병이라면 도수 1 %마다 병이 약 0.9 g 가벼워진다 — 0.1 g 저울이면 도수 0.1 %도 가른다. 그러니 분해능을 정하는 것은 저울이 아니다. 겉부피 615 cm³ 병이라면 유리 질량 차이 ±2 g은 도수로 약 2 %, 충전선 5 mL는 약 5 %, 기포 0.5 mL는 약 0.7 %, 온도 1 °C는 약 0.4 %의 오차가 된다. 한계는 병을 얼마나 똑같이 맞추었는가에 달려 있다. 충전선을 맞추고 기포를 털고 온도를 ±1 °C로 잡으면 도수 2~3 %까지, 미지 병의 빈 병 질량까지 미리 재 두었다면 1 %대까지 좁혀, 물을 타서 묽힌 것도 가려낸다.

더 탐구하기

1. 소금물이나 설탕물로 같은 절차를 되풀이해 보자. 이번에는 농도가 오를수록 밀도가 커져 교정 곡선의 기울기 부호가 반대가 된다 — 부호를 뒤집어 읽는 실수를 스스로 잡아내는 대조 실험이다.

2. 병을 칼날 위에 올려 균형점을 찾아 무게 중심을 재어 보자. 병의 질량과 충전선 높이를 알면 무게 중심이 액체 질량에 대한 두 번째 식을 주므로, 유리 질량을 몰라도 액체 밀도를 풀 수 있다.

3. 같은 병을 냉장고·실온에 두어 온도를 바꿔 가며 ρ̄를 재고 도수마다 온도 계수를 비교해 보자(20 °C에서 물은 1 °C당 약 0.2 kg/m³, 도수 33 % 용액은 약 0.65 kg/m³ 변한다).

4. 빈 병 20개의 질량을 재어 표준편차를 구하고 도수 오차로 환산해 보자 — 이 방법이 몇 %까지 갈 수 있는지 스스로 정하는 일이다.

연결 주제

같은 해 문제 3 ‘떨어지는 자석이 관을 읽는다 — 맴돌이 전류 게이지’ — 구리 관을 자르지 않고 자석의 낙하 시간만으로 벽 두께를 읽어 내는 탐구다. 밖에서 잰 양을 교정 곡선에 대입해 안의 값을 추정하는 뼈대가 이 원고와 똑같으므로, 곡선을 세우고 오차를 따지는 절차를 그대로 옮겨 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] 국제법정계량기구(OIML) 국제권고 R 22 『국제 알코올 도수 환산표(International Alcoholometric Tables)』, 국제법정계량기구 국제사무국(BIML), 파리, 1975 — 표 I이 −20~+40 °C에서 질량 도수와 밀도를 이어 주는 공식 환산표다(oiml.org 공개) / 미국 국립표준기술연구소(NIST) Chemistry WebBook 유체 물성(20 °C 물: 밀도 998.207 kg/m³, 음속 1482.3 m/s) / 미국 국립보건원 PubChem(20 °C 에탄올: 밀도 0.7893 g/cm³, 굴절률 1.3611) / 영상 검색어 “hydrostatic weighing density”, “아르키메데스 원리 밀도 측정”, “alcohol hydrometer” / [심화] P. Papaspyridakou, P. Giannoutsou & M. G. Orkoula, “Non-Destructive and Non-Invasive Measurement of Ethanol and Toxic Alcohol Strengths in Beverages and Spirits Using Portable Raman Spectroscopy,” Biosensors 13(1), 135, 2023, DOI 10.3390/bios13010135 (병을 열지 않고 유리벽 너머로 라만 신호를 얻어 도수를 정량하고, 병의 색·모양·두께가 주는 영향까지 점검) · K. Martin & D. Spinks, “Measurement of the speed of sound in ethanol/water mixtures,” Ultrasound in Medicine & Biology 27(2), 289–291, 2001, DOI 10.1016/S0301-5629(00)00331-8 (20 °C에서 부피 도수 9.5 % 수용액의 음속이 1540 m/s로 순수한 물보다 크다). ※ 밀봉 용기의 도수를 재는 비파괴 기법은 라만 분광처럼 이미 실용화된 것이 있다. 그러나 학교 저울과 수조만으로 유리 질량과 윗공간을 분리해 도수를 몇 %까지 좁힐 수 있는지, 그 오차 예산은 문헌이 덮지 않는다 — 그것을 세우는 일이 이 탐구의 개방 지점이다.