넘어짐이 줄을 타고 달린다 — 도미노 파동

탐구 주제

IYPT 1993 문제 8 ‘Dominoes’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1993 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」·「운동과 에너지」(역학적 에너지의 전환과 보존) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(일과 에너지, 충돌) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

중력 위치 에너지, 무게중심, 역학적 에너지 전환, 비탄성 충돌, 자기 유지 파동, 정상 전파 속도, 차원 해석, 무차원 변수, 임계 간격

원리 살펴보기

불을 붙인 것도 아닌데 넘어짐은 왜 줄 끝까지 스스로 달려갈까? 세워 둔 도미노는 저마다 중력 위치 에너지를 품고 있다. 하나가 기울면 무게중심이 내려가며 그 에너지가 풀려나고, 일부가 충돌로 다음 도미노에 건네져 그것을 넘어뜨리기에 충분한 문턱을 넘긴다. 나머지는 충돌과 바닥 마찰로 흩어진다. 그래서 파동은 앞선 도미노에서 에너지를 받아 달리는 것이 아니라, 지나가는 자리마다 그 자리의 도미노가 자기 에너지를 내놓아 유지된다 — 도화선에 붙은 불이나 신경을 타고 가는 흥분처럼, 스스로를 먹여 살리며 일정한 속도로 나아가는 파동이다.

속도의 크기는 차원 해석으로 가늠할 수 있다. 이 문제에 등장하는 양은 중력 가속도 g와 도미노의 높이 h·두께 δ·간격 λ뿐이므로, 속도의 눈금은 √(gh)로 잡고 나머지는 높이로 나눈 무차원 비 λ/h·δ/h가 정한다고 쓸 수 있다. 여기서 질량이 빠져 있다는 점이 결정적이다 — 무거운 도미노라고 파동이 더 빨리 달리지 않는다. 넘어질 때 얻는 에너지도 질량에 비례하고 넘어뜨리는 데 드는 에너지도 질량에 비례해 서로 약분되기 때문이다. 실제로 여러 실측에서 속도는 √(gh)의 1~1.5배 언저리에 머문다.

그렇다면 간격을 넓히면 파동은 빨라질까 느려질까? 놀랍게도 문헌의 답이 갈린다. 넓은 간격에서는 앞 도미노가 더 회전한 뒤 부딪쳐 세게 민다는 쪽이 있는가 하면, 고전 모형과 실측은 오히려 간격이 좁을수록 빠르고, 최대는 아주 좁은 쪽이나 중간 어딘가에 있다고 보고한다. 한쪽 끝에서는 조금만 기울어도 곧장 다음을 치니 시간이 절약되고, 다른 쪽 끝에서는 거의 다 쓰러진 뒤에야 힘없이 닿아 전달이 실패한다 — 두 사정이 맞서는 곳이 어디인지가 바로 이 문제가 묻는 지점이다. 이렇게 문턱을 넘기며 스스로 번지는 전파는 전력망 연쇄 정전(한 선로가 끊기면 이웃이 과부하로), 산사태·눈사태와 구조물 연쇄 붕괴, 신경의 활동 전위 전달에서 같은 얼개로 나타나며, 그 대책도 똑같이 “연결을 끊어 간격을 벌리는 것”이다.

실험 설계

준비물

같은 규격의 도미노 40개 이상(플라스틱 카드·나무 블록·같은 종류의 책도 가능), 간격을 일정하게 맞출 종이·판지 스페이서 여러 두께, 줄자와 직선 자, 초당 240프레임(슬로모션)으로 찍을 수 있는 스마트폰과 삼각대, 평평하고 미끄럽지 않은 바닥.

변인

독립변인은 도미노 사이의 간격을 도미노 높이로 나눈 무차원 비 λ/h이다. 종속변인은 정상 전파 구간에서 잰 넘어짐 파동의 속도이다. 통제변인은 도미노의 규격·질량·재질, 바닥의 재질(마찰), 첫 도미노를 넘어뜨리는 방식과 세기, 줄의 직진성, 촬영 프레임률이다.

실험 순서

1. 도미노 40개를 직선 자에 맞춰 세운다. 간격은 같은 두께의 스페이서를 끼웠다 빼는 방식으로 맞춰 줄 전체에서 일정하게 하고, λ/h ≈ 0.05에서 시작한다.

2. 첫 도미노를 늘 같은 방식으로(자로 살짝 밀어) 넘어뜨리며 옆에서 촬영한다. 10~30번째가 한 화면에 들어오게 잡고, 앞쪽 다섯 개는 속도가 붙는 가속 구간이라 측정에서 뺀다.

3. 10번째와 30번째가 기울기 시작한 프레임을 세어 그 사이 시간 t를 구하고, 이동 거리 20(λ+δ)를 t로 나눠 속도를 계산한다. 조건마다 3회 되풀이한다.

4. λ/h를 0.05·0.1·0.2·0.4·0.8로 바꿔 가며 ②③을 되풀이하고(가장 좁은 쪽이 가장 빠르면 더 좁혀 본다), 파동이 도중에 멈춰 버리는 간격이 나오면 그 값을 임계 간격으로 따로 기록한다.

5. 같은 도미노를 종이·천·고무판 위에 세워 바닥 마찰을 바꿔 보고, 속도와 임계 간격이 어떻게 달라지는지 비교한다.

안전 안내

유리·도자기처럼 깨지는 물건을 도미노로 쓰지 않는다(나무·플라스틱 블록이나 카드가 알맞다). 바닥에 흩어진 도미노를 밟아 미끄러지지 않도록 촬영이 끝날 때마다 치우고, 줄을 통로나 계단 가까이 놓지 않는다. 도미노를 높이 쌓아 올려 세우지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

도미노 사이를 넓게 벌릴수록 넘어짐의 파동은 빨라질까, 느려질까? 속도가 가장 빠른 간격은 아주 좁은 쪽일까, 중간 어딘가일까, 아니면 전달이 끊기기 직전일까?

자료 정리

조건별 속도의 평균과 흩어짐을 표로 정리한 뒤, 가로축 λ/h·세로축 v/√(gh)로 그래프를 그린다. 무차원으로 그려야 다른 크기의 도미노로 잰 문헌 값과 곧바로 견줄 수 있다. 곡선이 계속 오르는지, 봉우리를 이루고 내려오는지, 거의 평평한지를 눈으로 판정하고, 파동이 멈춘 조건은 점으로 찍지 말고 임계 간격으로 표시한다. 흔한 도미노라면 속도가 초속 0.5~1 m라 20칸을 지나는 데 1초 안팎이니, 240프레임으로 찍으면 시간을 1% 안팎까지 읽는다(60프레임에서는 오차가 몇 %로 커져 조건 사이의 차이를 가릴 수 있다).

결과의 의미

속도는 √(gh)의 1~1.5배 안에 들어오고, 간격을 넓히면 어느 지점부터는 느려지다가 결국 파동이 멈춰 설 것으로 예상된다. 봉우리가 어디에 있는지가 이 탐구의 답이다. 문헌이 갈리는 질문에 스스로 잰 값으로 한 표를 던지는 셈이니, 어느 쪽이 나오든 그것이 결과다. 같은 규격·같은 재질에서 질량만 다른 도미노라면 속도가 거의 그대로여서 차원 해석의 힘을 실감한다 — 질량은 양쪽에서 약분된다. 단, 재질까지 바꾸면 마찰·반발 계수가 함께 달라져 약분이 깨진다. 다만 임계 간격 근처에서는 도미노가 조금만 어긋나도 결과가 크게 달라지므로, 여기서 얻은 값은 “이 바닥·이 도미노에서의 값”임을 밝혀 적어야 한다.

더 탐구하기

1. 도미노의 두께만 바꿔(카드를 두 장씩 겹쳐) 속도가 어떻게 달라지는지 재어, 높이·간격과는 다른 역할을 하는지 확인해 보자.

2. 줄을 직선이 아니라 완만한 곡선으로 배열해 같은 간격에서 속도가 달라지는지 비교해 보자.

3. 바닥을 종이·천·고무판으로 바꿔 마찰이 속도와 임계 간격 중 무엇을 더 크게 바꾸는지 가려 보자.

4. 뒤로 갈수록 조금씩 커지는 도미노 줄(예: 1.2배씩)을 만들어, 작은 손가락 힘이 몇 단계 만에 큰 블록을 넘어뜨리는지 세어 보자 — 가장 큰 블록이 무릎 높이를 넘지 않게 하고, 넘어지는 경로에서 발을 물린다.

연결 주제

같은 해 문제 1(물체가 어떤 영향으로 운동 상태를 갑자기 바꾸는 현상을 스스로 문제로 만드는 과제)에 이 실험을 그대로 가져다 쓸 수 있고, 문제 7·15처럼 “특성 시간”과 “특성 속도”를 재는 감각도 이어진다.

참고문헌

[학생] 영상 검색어 “domino wave speed slow motion”, “domino chain reaction amplification” / [심화] J. M. J. van Leeuwen, “The domino effect,” arXiv:physics/0401018 (2004; Am. J. Phys. 78, 721–727, 2010에 개정 게재) — 충돌·마찰을 넣은 모형으로 전파 속도를 계산해, 간격이 넓어질수록 속도가 줄고 최대는 도미노 효과가 성립하는 가장 좁은 간격 근처에 나타남을 보고 / R. Larham, “Validation of a model of the domino effect?,” arXiv:0803.2898 (2008) — 실측 표에서 v/√(gh)가 간격비 0.23의 1.53에서 최대(저자 자신은 “실용 구간에서 간격에 거의 무관”으로 요약) / B.-H. Sun, “Scaling law for the propagation speed of domino toppling,” AIP Advances 10, 095124 (2020), doi:10.1063/5.0017928 (공개 논문) — 반대로 직선 배열에서 속도가 간격의 제곱근에 비례해 커진다고 보고 / C. J. Efthimiou, M. D. Johnson, “Domino Waves,” SIAM Review 49(1), 111–120 (2007) — Larham의 검증 대상. ※ 이처럼 간격–속도 관계의 방향과 최대가 어디인지는 문헌마다 엇갈린다 — 스스로 잰 값이 어느 쪽에 서는지가 이 탐구의 알맹이이며, 임계 간격의 위치도 바닥 마찰과 도미노 비율에 따라 달라지는 개방 지점이다.