2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1992 · 문제 9 · 유체역학

힘은 같은데 높이가 다르다 — 삼손 분수

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1992 문제 9 ‘Fountain’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1992 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(압력) / 고등학교 통합과학1 「역학과 에너지」(일·에너지 보존) / 물리학 「힘과 에너지」 / 진로선택 「역학과 에너지」 — 펌프 수력 출력·베르누이·토리첼리·제트 분열은 교육과정 밖 유체역학 심화 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

펌프 수력 출력, 유량, 수두, 토리첼리 정리, 베르누이 원리, 제트 운동 출력, 노즐 단면적, 방출계수, 수축단면(vena contracta), 관 마찰, 다르시–바이스바흐 식, 제트 분열, 레일리–플래토 불안정, 코히런트 제트 길이, 공기 저항, 최적 노즐 지름

원리 살펴보기

같은 펌프를 쓰는데도 어떤 분수는 낮게 퍼지고 어떤 분수는 가늘고 높게 솟는다 — 힘이 같은데 왜 높이가 다를까? 펌프가 물에 실어 주는 수력 출력은 ‘유량 × 압력(수두)’으로 정해진다(P ≈ ρgQH). 출력이 고정되면 물을 많이 천천히 보낼지 조금 빠르게 보낼지를 노즐이 가른다. 노즐을 좁히면 같은 출력이 더 적은 물을 더 빠르게 밀어내고, 물은 v = √(2gh)로 뿜어져 h = v²/2g까지 솟는다 — 좁은 노즐일수록 이론상 더 높이 오른다.

이상적으로만 보면 노즐을 가늘게 할수록 높이는 끝없이 커진다 — 고정 출력에서 이상 높이가 h = P/(ρgQ)여서, 유량을 줄일수록(물을 가늘고 빠르게 쏠수록) 높이가 커지기 때문이다. 그러나 실제로는 속도가 빨라질수록 세 가지 손실이 함께 커지며 높이를 붙잡는다 — 관·노즐의 점성 마찰, 물줄기가 물방울로 끊기는 제트 분열(레일리–플래토 불안정), 물방울을 급히 세우는 공기 저항이다. 그래서 너무 굵지도 가늘지도 않은 ‘최적 노즐’에서 물줄기가 가장 높이 솟는다. 다만 실제 삼손 분수(약 21 m)는 펌프가 아니라 로프샤 고지대의 물이 만드는 중력 수두로 솟는다 — ‘펌프 출력’ 제약은 이 문제의 가정이다.

정해진 힘을 가장 높이·멀리 보내려는 이 최적화는 곳곳에서 쓰인다. 분수·조경 설계는 펌프 출력에 맞춰 노즐과 유량을 골라 물줄기 높이를 빚고, 소방 노즐·방수총은 같은 펌프로 물을 가장 멀리 보내도록 제트를 곧게 유지하며, 관개 스프링클러는 물방울 크기로 살수 범위를 정하고, 펌프·배관 설계는 관 마찰 손실을 따져 필요한 출력을 정한다.

실험 설계

준비물

수중 펌프(또는 수위를 일정하게 유지하는 정수두 탱크), 구멍 크기가 다른 교체형 노즐 5~6개, 유량용 눈금 실린더·초시계(또는 유량계), 압력계(또는 마노미터), 소비 전력용 전력계(또는 펌프 정격 출력), 굵기·길이가 다른 공급 관, 높은 눈금자·모눈 배경판, 스마트폰(고속 촬영), 물받이·수건.

변인

독립변인은 노즐 안지름이다(이것만 바꾸고 관 길이·굵기는 따로 시험한다). 종속변인은 제트의 최고 높이와 코히런트 길이(끊기지 않고 곧게 뻗는 길이)이다. 통제변인은 펌프에 넣는 전기 입력 전력을 일정하게 유지하는 것 — 이 문제의 핵심 제약 — 이며, 물 온도, 노즐의 수직 자세, 공급 관, 실내 공기 흐름, 촬영 조건도 통제한다. 노즐마다 유량·수두를 재어 수력 출력도 확인한다.

실험 순서

  1. 펌프(또는 정수두 탱크)를 물받이 위에 고정하고, 전력계로 읽거나 정격 출력을 기준 삼아 공급 전력을 일정하게 유지한다. 노즐을 수직 위로 향하게 하고 높은 모눈 배경 앞에서 스마트폰을 고속 촬영으로 맞춘다.

  2. 중간 굵기 노즐로 최고 높이를 3회 재고, 같은 조건에서 유량(눈금 실린더·초시계)과 수두(또는 노즐 압력)를 재어 수력 출력 P ≈ ρgQH를 확인한다 — 공급 전력과의 비가 펌프 효율 η다.

  3. 공급 전력을 그대로 둔 채 노즐을 굵은 것부터 가는 것까지 바꾸며 최고 높이·유량·수두를 재고, 영상에서 코히런트 길이를 읽어 가장 높이 솟는 노즐을 찾는다.

  4. 그 노즐로 고정하고 공급 관의 길이·굵기를 바꿔 관 마찰이 최고 높이를 얼마나 깎는지 본다.

  5. 노즐마다 측정 유량으로 이상 높이 h = P/(ρgQ)를 계산해 실제 높이와 견주고, 그 차이(손실)가 노즐 지름에 따라 어떻게 달라지는지 정리한다.

안전 안내

⚠ 안전

물과 전기를 함께 쓰므로 감전 위험이 가장 크다 — 펌프는 누전차단기(GFCI) 콘센트에 연결하고, 전선·전력계 같은 전기기기는 물에서 멀리 두며 젖은 손으로 만지지 않는다. 수중 펌프는 정격대로 물에 잠근 채만 켜고 통전 중 자리를 비우지 않는다. 가늘고 빠른 제트는 눈을 다칠 수 있으니 보안경을 쓰고 물줄기는 사람 없는 쪽으로 향하며, 튄 물에 미끄러지지 않게 바닥을 즉시 닦는다. 유리 노즐·관은 깨지면 날카롭다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

노즐을 점점 가늘게 하면 같은 출력에서 물줄기는 계속 높아질까, 아니면 어느 지름에서 가장 높고 더 가늘어지면 오히려 낮아질까?

자료 정리

노즐 지름마다 잰 최고 높이·유량·수두를 표로 모은 뒤, 가로축 노즐 지름·세로축 최고 높이로 그래프를 그려 봉우리(최적점)를 찾는다. 같은 그래프에 측정 유량으로 계산한 이상 높이 h = P/(ρgQ)를 기준선으로 겹쳐 실제 높이가 얼마나 처지는지(손실)를 본다. 심화 과정에서는 높이와 출력을 로그–로그로 그려 h ∝ P^(2/3) 경향을 살핀다. (수치는 측정으로 채운다 — 축·개형만.)

결과의 의미

노즐을 가는 쪽으로 바꿔 가면 최고 높이가 단조롭게 변하지 않고 어떤 중간 지름에서 봉우리(최적점)를 이룰 것으로 예상된다. 측정한 유량으로 이상 높이 h = P/(ρgQ)를 계산해 실제 높이와 견주면 그 차이가 곧 펌프 효율과 관·노즐·공중의 손실이며, 이 손실을 줄이는 설계가 같은 출력으로 더 높은 분수를 만든다는 것이 이 실험의 핵심이다. 1 kW에서의 높이는 하나로 정해지지 않는다 — 효율·유량·노즐 가정에 따라 갈린다. 손실을 뺀 이상 상한은 유량에 따라 수십 미터(낮은 유량 1 L/s에선 100 m 남짓)까지 오르지만, 공기 저항·분열·효율을 감안하면 실제로는 십수 미터로 삼손 분수(약 21 m)와 같은 자릿수다. 최적 노즐과 높이는 파일럿 측정으로 확인한다.

더 탐구하기

  1. 펌프 출력을 조절할 수 있다면 여러 값으로 바꿔, 최적 노즐에서 최고 높이가 대략 출력의 2/3제곱(h ∝ P^(2/3))으로 커지는지 확인해 보자.

  2. 물에 소량의 수용성 고분자를 녹여 제트 분열을 늦추면(드래그 감소), 최적 높이가 오르고 최적 노즐이 더 가늘어지는지 맑은 물과 견주어 보자.

  3. 같은 출구 지름이라도 날카로운 구멍과 매끈한 원뿔 노즐로 바꿔, 수축단면에 따른 방출계수 차이가 높이에 주는 영향을 비교해 보자.

  4. 촬영 장비가 없다면 노즐마다 유량·수두만 재어 이상 높이 h = P/(ρgQ)를 계산하고, 자로 잰 실제 높이와의 차(손실)를 노즐 지름에 따라 그려 보자.

연결 주제

이 문제는 IYPT 2004 문제 14 ‘분수’(물리_2004_14_분수)의 원판 격으로, 분수 최고 높이 최적화 계열의 대표편이다. 둘은 쌍둥이지만 제약이 다르다 — 2004편은 수두를 1 m로 고정해 관·용액을 최적화하고, 이 1992편은 펌프 출력을 고정해 그 힘을 어디에 쓸지(노즐)를 최적화한다. 미는 힘의 근원이 다른 식구로는 완성편 물리 2026 문제 3 ‘링 분수’(물리_2026_03_링분수, 공기 공동이 무너지며 솟는 임팩트 제트)와 물리 2016 문제 7 ‘뜨거운 물 분수’(물리_2016_07_뜨거운물분수, 갇힌 기체·수증기 압력의 열 구동)가 있다. 높이를 고속 촬영으로 재고 최적화하는 방법은 넷에 공통이다.

참고문헌

[학생] 페테르고프 국립박물관 공식 소개 ‘삼손 분수’ — 약 21 m가 로프샤 고지대에서 끌어온 물의 중력 수두로 솟으며 96 km 수로에 펌프가 하나도 없음(go.peterhofmuseum.ru) / Engineering ToolBox ‘Pumps — Hydraulic Power / Horsepower Required to Pump Water’(펌프 수력 출력 P = ρgQH와 효율) / 영상 검색어 “fountain jet slow motion”, “water jet breakup nozzle” / [심화] B. Trettel, O. A. Ezekoye, “Theoretical Range and Trajectory of a Water Jet,” Proc. ASME IMECE 2015, Vol. 7A, 논문 V07AT09A007, 2015, doi:10.1115/IMECE2015-52103 (공기 저항·제트 분열까지 넣어 물 제트의 도달 거리·궤적을 모형화하며 응용에 장식 분수를 명시) ·P. M. Comiskey, A. L. Yarin, “Friction coefficient of an intact free liquid jet moving in air,” Experiments in Fluids 59(4), 2018, doi:10.1007/s00348-018-2519-y (부서지기 전 곧은 제트가 공기 마찰로 감속하는 정도를 측정) · Lord Rayleigh, “On the instability of jets,” Proc. London Math. Soc. s1-10(1), 4–13, 1878, doi:10.1112/plms/s1-10.1.4 (제트가 물방울로 끊어지는 분열의 고전 이론). ※ 수두를 고정한 최적화(2004편)는 문헌이 비교적 덮지만, 펌프 출력을 고정한 채 노즐을 바꿔 최고 높이의 최적점을 학교 재료로 정량화하고 이상 한계 h = P/(ρgQ)와 실제 높이의 차(손실)를 유량·수두 측정으로 분해한 자료는 드물다 — 이 두 방향이 이 탐구의 개방 지점이다.

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