2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1990 · 문제 7 · 유체역학

틈새 2 mm가 천 배를 만든다 — 관 속의 원기둥

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1990 문제 7 ‘Cylinder in a tube’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1990 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력·부력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템)·과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(측정과 오차) / 물리학 「힘과 에너지」(저항력과 종단 속도) · 진로선택 역학과 에너지 「시공간과 운동」 — 점성 유동과 윤활 근사는 교육과정 밖 심화다 (2022 개정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

점성, 점성 계수, 층류, 레이놀즈 수, 하겐-푸아죄유 흐름, 환상 틈새, 윤활 근사, 연속 방정식, 압력 차, 동압, 항력, 종단 속도, 부력, 편심, 낙하 원기둥 점도계

원리 살펴보기

물이 가득 찬 관에서 원기둥을 막힌 끝 쪽으로 밀면 앞의 물은 갈 곳이 없다. 빠져나갈 길은 원기둥과 관 벽 사이의 좁은 환상 틈새뿐이다. 그 틈새는 원기둥 단면보다 훨씬 좁아 같은 부피가 지나려면 물이 그만큼 빨라진다. 넓이 비가 곧 증폭률이라 틈새 속력은 원기둥 속력의 D/2h 배 — 안지름 40 mm 관에 틈새 2 mm면 열 배다. 이 증폭을 빼먹고 원기둥 겉면의 마찰만 세면 저항력이 세 자릿수 작게 나온다. 막힌 끝이 주인공인 까닭이 여기 있다 — 같은 원기둥이 열린 물속에서 받는 항력의 천 배쯤 되는 힘이다.

틈새로 물을 밀어내는 압력은 두 몫이다. 벽에 끌리는 점성 마찰은 속력에 비례하고, 좁은 목으로 밀어 넣었다 뿜어내며 버리는 운동 에너지는 속력의 제곱에 비례한다. 앞의 몫만 남기면 F ≈ 6π μ L D³ U / h³ — 틈새를 절반으로 좁히면 저항력이 여덟 배로 뛴다(원문의 h는 지름의 차이라 반지름 쪽 틈새는 h/2다. 이 2를 흘리면 8배가 어긋난다). 어느 몫이 이기는지는 틈새 기준 레이놀즈 수 Re = ρUD/2μ가 가르는데, 신기하게도 h가 지워진다. 입출구 손실을 1.5로 잡으면 경계는 Re ≈ 64 L/h이고, D = 40 mm·h = 2 mm·L = 80 mm의 물이면 Re ≈ 2,500, 곧 원기둥 속력 13 cm/s 언저리다. 그보다 느리면 힘은 속력에 비례하고, 빠르면 제곱으로 간다. 학교에서 닿는 1~11 cm/s는 아직 비례 구간이되 관성 몫이 6~46 %를 차지해 직선이 살짝 휠 것으로 예상된다.

좁은 틈으로 액체를 밀어내며 힘을 만드는 장치는 흔하다. 유압 완충기(쇼크업소버·도어클로저 — 저속엔 속력에, 고속엔 제곱에 가깝게 버틴다), 낙하 원기둥 점도계(이 문제의 식을 그대로 검량식으로 쓰는 고압용 점도계), 주사기와 유압 실린더(피스톤 링 틈새로 새는 몫이 h³에 비례해 늘어 정밀도를 깎는다)가 그렇다.

실험 설계

준비물

안지름 40 mm 안팎 투명 아크릴 관(길이 60 cm), 아래를 막을 고무마개·실리콘, 스탠드와 수평계, 길이 80 mm 원기둥(바깥지름 38 mm 안팎 PVC 관을 잘라 양 끝을 막은 것), 무게 조절용 모래와 스테인리스 구슬, 절연 테이프, 0.8 mm 낚싯줄(중심 잡이)과 0.2 mm 낚싯줄(회수용), 디지털 캘리퍼스, 0.1 g 전자저울, 초시계, 240 fps 스마트폰과 삼각대, 온도계.

변인

독립변인은 원기둥에 걸리는 알짜 힘, 곧 물속 무게(공기 중 질량에서 밀어낸 물의 질량을 뺀 값)이며 속에 넣는 모래·구슬의 양으로 바꾼다. 종속변인은 등속으로 내려가는 속력 U로, 표시선 구간의 통과 시간으로 잰다. 통제변인은 안지름 D, 원기둥의 지름 d와 길이 L(따라서 틈새 h), 수온(점성이 1 °C에 약 2 % 달라진다), 원기둥의 중심 정렬과 기울기, 측정 구간의 위치다.

실험 순서

  1. 아크릴 관의 아래 끝을 고무마개와 실리콘으로 막고 스탠드에 수직으로 세운 뒤 물을 45 cm까지 채우고 수온을 적는다 — 원기둥을 넣으면 수위가 7 cm 남짓 오른다. 캘리퍼스 안측 날로 D를 세 높이에서 재어 평균한다.

  2. PVC 관을 80 mm로 잘라(L > D를 지킨다) 양 끝을 막고, 바깥지름 d를 세 높이·두 방향으로 재어 h = D − d를 얻는다. 0.8 mm 낚싯줄 토막을 양 끝에 120°씩 셋 붙여 중심 잡이로 삼고, 위 마개에 0.2 mm 회수줄을 맨다 — 반지름 틈 1 mm에 0.8 mm 줄이라 국소로는 0.2 mm만 남고 환형 단면의 2 %가 막히지만, 가이드가 없으면 원기둥이 관벽에 붙어 유량이 2.5배까지 부푸니 이쪽이 훨씬 이득이다. 가이드 없이 한 번 떨어뜨려 차이를 확인해 둔다.

  3. 속에 마른 모래를 넣고, 물에 잠근 채 저울에 매달아 물속 무게를 10 g쯤으로 맞춘다 — 부피로 계산하지 말고 직접 잰다. 매달아 보아 수평이면 고루 실린 것이다. 원기둥을 넣은 뒤의 수면을 기준으로 아래 10 cm와 40 cm에 표시선을 긋는다(통과는 원기둥 위 끝 기준; 구간 30 cm, 바닥까지 12 cm 여유).

  4. 회수줄을 잡고 원기둥을 수면 바로 아래까지 조용히 내린 뒤 줄을 늦춰 놓아준다. 두 표시선 통과 시각을 다섯 번 재어 평균 속력 U를 얻는다(틈새 물까지 함께 움직여 등속에 드는 데 4 cm 남짓 걸린다).

  5. 모래를 구슬로 바꿔 물속 무게를 30·100·250 g으로 올려 되풀이한다. 통과 시간이 5초 밑으로 내려가면 초시계 대신 240 fps 영상에서 프레임을 세어 읽는다.

  6. 조건마다 F = (물속 무게)×g와 U로 F/U를 U에 대해 그린다. 끝으로 절연 테이프를 감아 h를 절반(약 1 mm)으로 줄이고 — 반지름 틈새가 0.5 mm가 되니 중심 잡이도 0.3 mm급으로 바꾸고 d·h를 다시 잰다 — 무게 30 g에서 한 번 더 재어 낙하가 몇 배 느려지는지 본다.

안전 안내

⚠ 안전

관은 유리 대신 아크릴·폴리카보네이트만 쓰고, 물을 채운 60 cm 관은 스탠드에 단단히 묶어 세우며 채운 채 옮기지 않는다(물을 먼저 뺀다). 최대 350 g인 원기둥은 수면 위에서 떨어뜨리지 말고 회수줄로 수면 아래까지 내린 뒤 놓으며, 관 바닥에 두꺼운 고무판을 깔아 충격을 받는다. 납 구슬은 쓰지 않는다(모래·스테인리스 구슬로 대신). PVC 관은 파이프 커터로 자르고 장갑을 끼며 절단면은 사포로 다듬는다. 막대로 원기둥을 밀어 내리는 확장에서는 30 N(약 3 kgf)을 넘기지 않는다. 관은 위를 열어 둔 채로만 쓰고 밀폐·가압하지 않는다. 흘린 물은 바로 닦는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

원기둥의 물속 무게를 두 배로 만들면, 같은 구간을 내려가는 데 걸리는 시간은 정확히 절반이 될까?

자료 정리

측정마다 (물속 무게 F, 틈새 h, 수온, 통과 시간 5회, 평균 속력 U)를 한 줄로 적는다. F를 U에 대해 로그-로그로 그려 기울기가 1 쪽인지 2 쪽인지 보고, 이어 F/U를 U에 대해 보통 눈금으로 그린다 — 절편이 점성 몫, 기울기가 관성 몫이다. (수치는 실측으로 채운다.)

결과의 의미

F/U-U 그래프는 수평선이 아니라 오르막 직선이 될 것으로 예상된다. 비례하기만 하면 수평이어야 하니, 저항력은 F = aU + bU² 꼴이고 학교에서 닿는 구간은 아직 점성 몫이 이끄는 앞자락이라는 뜻이다. 두 몫이 같아지는 곳은 U ≈ 13 cm/s, 틈새 레이놀즈 수로는 약 2,500 — 그 언저리에서 틈새 흐름도 층류를 벗어나 제곱 구간은 두 이유가 겹친다. 절편 a를 6πμLD³/h³와 견줄 때는 정직해야 한다. 저항은 h의 세제곱에 반비례해 틈새 오차가 세 배로 증폭되고(0.07 mm면 10 %, 보어 편차까지 넣으면 30 %), 좁은 틈새 근사도 정확해보다 8 % 남짓 높다. 그래서 실측 절편이 이론값의 0.6~1.3배에 떨어지면 정상이고, 크기보다 개형이 맞는지가 더 강한 검증이다. 중심 잡이를 붙인 조건과 뗀 조건을 견주면 이 몫만 떼어 볼 수 있다. 틈새를 절반으로 줄여 일곱 배 안팎 느려지는 것까지 보면, 좁을수록 세제곱으로 세진다는 뼈대가 자기 데이터로 선다.

더 탐구하기

  1. 물 대신 글리세린 수용액(점성 여섯 배쯤)을 채워 보자 — 경계 속력이 70 cm/s 근처로 밀려난다. F/U 그래프가 수평에 가까워지면 앞자락이 점성 몫이었음이 확인된다.

  2. 원기둥 길이를 60·80·160 mm로 바꿔 보자. 점성 몫만 L에 비례해 커지고 관성 몫은 그대로라, 경계 속력이 L을 따라 밀려나는지가 두 몫을 가르는 또 하나의 시험이다.

  3. 가벼운 원기둥으로 바꾸고 관을 큰 물통에 옮겨 세운 뒤 아래 마개를 열어(안팎 수위를 같게) 떨어뜨려 보자 — 막힌 끝이 저항을 몇 배 키웠는지가 숫자로 남는다.

  4. 원기둥에 이은 막대를 손으로 눌러(30 N 이하) 20~35 cm/s로 밀어 내리며 240 fps로 속력을 읽어, 관성이 이기는 구간까지 넓혀 보자.

연결 주제

IYPT 1998 문제 7 ‘관 속 공기 기포’ — 기포가 오를 때도 밀려난 물이 기포와 벽 사이 얇은 막을 거꾸로 지나는 같은 얼개다(그쪽 경계는 자유 계면이다). IYPT 2003 문제 12 ‘달걀 비틀림 점도계’ — 그쪽은 회전 감쇠로, 이쪽은 등속 낙하로 점성을 잰다. IYPT 1990 문제 6 ‘증발-응결’ — 좁은 목이 속도를 정하는 것은 같지만 그쪽 병목은 흐름이 아니라 확산이다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 14장 ‘유체 역학’(점성·푸아죄유 흐름·레이놀즈 수) / 영상 검색어 “falling cylinder viscometer” / [심화] J. Lohrenz, G. W. Swift, F. Kurata, “An experimentally verified theoretical study of the falling cylinder viscometer,” AIChE Journal 6(4), 547–550 (1960), doi:10.1002/aic.690060408 — 환상 틈새 층류를 풀어 계기 상수를 장치 치수만으로 나타내고 예측과 실측이 맞음을 보였다. 이 원고의 선형 항이 여기서 나온다 · E. G. Wehbeh, T. J. Ui, R. G. Hussey, “End effects for the falling cylinder viscometer,” Physics of Fluids A 5(1), 25–33 (1993), doi:10.1063/1.858781 — 막힌 동축 관 속을 축 방향으로 가는 원기둥의 속도를 반지름 비 0.21~0.70에서 실측해 좁은 틈새 이론과 이어짐을 확인하고, 끝단 보정을 1.67x − 0.017(x=(b−a)√(a/b)/L)로 정리 — 이 원고 치수에선 1 % 미만 · M. C. S. Chen, J. A. Lescarboura, G. W. Swift, “The effect of eccentricity on the terminal velocity of the cylinder in a falling cylinder viscometer,” AIChE Journal 14(1), 123–127 (1968), doi:10.1002/aic.690140122 — 편심이 낙하 속도에 만드는 오차를 표로 정리. 중심 잡이가 필요한 이유다 · N. A. V. Piercy, M. S. Hooper, H. F. Winny, “Viscous flow through pipes with cores,” Philosophical Magazine 15(99), 647–676 (1933), doi:10.1080/14786443309462212 — 심이 든 관(환상 틈새)의 층류를 편심까지 포함해 푼 고전 해석. ※ 점성 영역의 결말은 위 문헌에 있다. 물에서 선형-제곱 전이를 학교 장비로 훑어 두 계수를 갈라내는 것이 이 탐구의 몫이다.

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