거꾸로 도는 알갱이 무리 — 팬케이크 회전

탐구 주제

IYPT 2023 문제 15 ‘Pancake rotation’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2023 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력) / 고등학교 물리학 「힘과 에너지」(등속 원운동·관성·마찰) / 진로선택 「역학과 에너지」(원운동·상대 운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

등속 원운동, 오비탈 스월링(궤도 흔들기), 마찰력, 미끄러짐 없는 굴림, 상대 운동, 밀집도(패킹 분율), 잼밍, 기하학적 좌절, 집단 거동, 액체–고체 유사 전이, 히포사이클로이드 궤적

원리 살펴보기

둥근 접시에 구슬 몇 개를 넣고 수평으로 빙빙 저으면 구슬 무리는 접시가 도는 쪽으로 함께 돈다. 그런데 구슬을 늘려 빽빽하게 채우면 어느 순간부터 무리가 접시와 반대쪽으로 돌기 시작한다. 똑같은 흔들기인데 왜 방향이 뒤집힐까?

실마리는 액체와 고체의 차이다. 와인 잔을 돌리면 와인은 잔을 따라 돌지만(액체), 프라이팬을 돌리면 팬케이크는 팬과 반대로 미끄러지며 돈다(고체). 구슬이 적으면 무리는 액체처럼 흘러 용기를 따라가고, 많아지면 하나의 고체 덩어리처럼 굳어 용기와 반대로 돈다. 구슬이 많으면 서로 닿은 구슬들이 굴러갈 방향이 어긋나 굴림이 막히고(기하학적 좌절), 무리는 용기 안쪽 벽을 미끄러짐 없이 구르는 딱딱한 원판이 된다. 원 안쪽을 따라 구르는 물체는 자신의 자전 방향이 도는 방향과 반대가 되므로, 뭉친 무리는 스월과 거꾸로 돈다.

이 원리는 제약·바이오 실험실의 오비탈 셰이커(시료를 원운동으로 고르게 섞는다), 곡물·분체 산업의 혼합과 분리(알갱이가 뭉치거나 갈라지는 조건), 잼밍을 다루는 연성물질 물리(같은 알갱이가 액체처럼 굳는 전이), 행성 고리·소행성 표면(레골리스)의 거동을 이해하는 데까지 이어진다.

실험 설계

준비물

둥근 납작한 용기(투명 접시·페트리 접시), 크기가 같은 공 여러 개(강철·유리구슬 등 재질별로), 용기를 수평으로 원을 그리며 흔들 장치(오비탈 셰이커 또는 손으로 저을 원형 쟁반), 위에서 촬영할 스마트폰, 자(또는 버니어 캘리퍼스), 회전 식별용 표시 스티커와 모눈 배경지.

변인

독립변인은 공이 용기 바닥을 덮은 비율, 곧 면적 충전율(공 한 개의 단면적 × 개수 ÷ 용기 바닥 넓이)이다 — 공의 크기와 용기가 고정된 묶음 안에서는 공의 개수가 이 값의 대리값이 된다. 종속변인은 무리가 도는 방향(스월과 같은지 반대인지)과 회전이 뒤집히는 임계 충전율이다. 통제변인은 용기의 크기·모양, 공의 크기와 재질(마찰), 흔드는 원의 반지름과 빠르기(스월 진폭·진동수)이다.

실험 순서

1. 공 지름과 용기 안쪽 바닥 지름을 재어 면적 충전율을 계산할 준비를 하고, 둥근 용기 바닥에 같은 공을 소수(예: 3~5개) 넣고 위에서 촬영하게 스마트폰을 고정한다. 공 하나에 점 스티커를 붙여 자전을 읽는다.

2. 용기 자체는 돌리지 말고 중심만 수평으로 일정한 반지름·빠르기로 원을 그리도록 흔든다(오비탈 스월링). 소수일 때 무리가 스월과 같은 방향으로 도는지 확인한다.

3. 같은 흔들기 조건에서 공의 개수를 조금씩 늘리며 촬영을 반복하고, 회전 방향이 뒤집히는 임계 개수를 찾는다.

4. 공의 재질(마찰)·크기, 스월의 반지름·빠르기를 하나씩 바꿔가며 임계값이 어디로 이동하는지 비교한다. 공의 크기를 바꿀 때는 임계 개수가 아니라 임계 충전율을 견주자 — 같은 개수라도 공이 크면 바닥을 덮는 비율이 높기 때문이다. 영상에서 무리 중심을 기준으로 자전 방향의 부호를 읽는다.

안전 안내

강철 구슬처럼 작은 공은 삼킴 위험이 있으니 어린이 손이 닿지 않게 하고, 용기 밖으로 튀어 바닥에 흩어지지 않게 관리한다. 오비탈 셰이커를 쓸 때는 회전부에 손·머리카락이 끼이지 않도록 하고, 용기를 단단히 고정한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

공을 늘려 갈 때 무리의 회전이 스월과 반대로 뒤집히는 임계 충전율은, 공끼리의 마찰이 클수록 커질까 작아질까?

자료 정리

공의 개수에 따른 무리의 회전 방향을 +(스월과 같음)·−(반대)로 표에 모으고 방향이 바뀌는 임계 개수를 찾는다. 가로축을 면적 충전율, 세로축을 공의 재질·마찰로 놓아 같은 방향·반대 방향으로 도는 영역을 나눈 상(phase) 그림을 그린다. 지어낸 수치 없이 경계 개형만 표시한다.

결과의 의미

공이 적을 때는 무리가 스월과 같은 방향으로, 늘리면 어느 임계점부터 반대 방향으로 도는 경향이 예상된다. 이는 똑같은 알갱이 무리가 바닥을 덮은 비율만으로 액체처럼 흐르다가 고체처럼 뭉치는 집단 전이를 보여 준다는 뜻으로, 개별 알갱이의 성질이 아니라 여럿이 닿았을 때 생기는 마찰과 기하학적 좌절이 방향을 정한다는 뜻이다. 다만 임계 충전율이 마찰·용기 크기·흔들기 조건에 따라 어디로 옮겨 가는지는 장치마다 달라, 그 경계를 재어 보는 것이 이 탐구의 핵심이다.

더 탐구하기

1. 공의 재질을 매끄러운 유리구슬에서 거친 표면으로 바꿔 임계 개수가 어떻게 달라지는지 보자.

2. 용기를 원 대신 타원이나 다각형으로 바꿔(회전 대칭 깨기) 회전–역회전 전이가 어떻게 달라지는지 살펴보자.

3. 무리 속 공 하나에 표시를 하고 고속 촬영해 개별 공이 그리는 히포사이클로이드(별 모양) 궤적을 그려 보자.

4. 스월의 빠르기(진동수)와 반지름(진폭)을 바꿔 방향 전이가 밀집도뿐 아니라 흔들기 세기에도 의존하는지 보자.

연결 주제

IYPT 2023 문제 12 ‘쌀 케틀벨’ — 알갱이들이 잼밍으로 고체처럼 굳는 현상이 무리가 ‘팬케이크’로 뭉쳐 반대로 도는 것과 같은 물리다. IYPT 2023 문제 17 ‘어레스터 베드’ — 같은 입상체 역학(마찰·집단 거동)이라 촬영·측정법을 공유할 수 있다.

참고문헌

[학생] Harvard SEAS 뉴스 “Solving the pancake problem”(Leah Burrows, 2019 — 와인=액체는 같은 방향, 팬케이크=고체는 반대라는 비유) / 영상 Numberphile “A Strange Change of Rotation”, 검색어 “swirling granular pancake rotation” / [심화] L. M. Lee 외, “Geometric frustration induces the transition between rotation and counterrotation in swirled granular media,” Phys. Rev. E 100, 012903 (2019), doi:10.1103/PhysRevE.100.012903 (arXiv:1804.02073) — 밀집도가 높아지면 마찰에 의한 기하학적 좌절로 무리가 고체처럼 반대로 회전함을 규명. M. A. Scherer 외, “Swirling granular matter: From rotation to reptation,” Phys. Rev. E 54, R4560 (1996), doi:10.1103/PhysRevE.54.R4560 — 임계 밀집도에서 회전이 뒤집히는 효과를 처음 보고. A. Feltrup 외, “The rotation-reptation transition under broken rotational symmetry,” Eur. Phys. J. Special Topics 179, 19 (2009), doi:10.1140/epjst/e2010-01190-6 — 용기의 회전 대칭을 깨면 전이가 달라짐. ※ 회전–역회전과 밀집도 의존은 위 문헌으로 교차 확인되나, 학교 장치에서 임계 개수의 값과 마찰·용기 모양에 따른 경계 이동은 이 탐구의 개방 지점이다.