2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2023 · 문제 1 · 유체역학

물감 위에 자라는 나무 — 프랙탈 손가락

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2023 문제 1 ‘Fractal Fingers’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2023 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「분자 운동과 상태 변화」(증발·확산) / 고등학교 화학 「물질의 구조와 성질」(분자 간 상호작용과 표면 장력) / 과학탐구실험1·2(탐구 수행과 데이터 분석) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

표면장력, 마랑고니 효과, 증발, 점성, 점도비, 뉴턴 유체, 전단 묽어짐(shear thinning), 혼화성(섞임성), 점성 핑거링, 새프먼–테일러 불안정성, 프랙탈, 프랙탈 차원, 확산 제한 응집(DLA), 상자 세기법

원리 살펴보기

물 위에 세제 한 방울을 떨어뜨리면 후추 가루가 사방으로 밀려난다 — 세제가 표면장력을 낮춰, 장력이 센 바깥쪽이 액체 표면을 잡아당기기 때문이다. 잉크에 섞인 알코올도 똑같은 일을 한다. 알코올은 표면장력이 낮고 빨리 증발하므로, 액적 가장자리에서 표면장력 차이가 생겨 물감 표면이 잉크를 바깥으로 끌어당긴다. 이렇게 표면장력의 차이가 만드는 흐름을 마랑고니 효과라고 부른다.

그런데 왜 매끈한 원이 아니라 나뭇가지 모양으로 퍼질까? 잉크가 밀고 나가는 상대는 물이 아니라 점성이 훨씬 큰 물감 층이다. 묽은 유체가 진한 유체를 밀면 경계가 매끈하게 남지 못하고 손가락처럼 갈라지는데(점성 핑거링), 그 끝이 갈라지고 또 갈라지기를 반복하면 부분이 전체를 닮은 프랙탈 구조가 자란다. 문헌은 이런 가지의 프랙탈 차원을 약 1.7로 보고한다.

같은 물리가 원유 회수·CO₂ 지중 저장(주입한 유체가 손가락을 만들며 새는 정도가 효율을 좌우), 잉크젯 인쇄·박막 코팅(액막이 고르게 퍼지도록 마랑고니 흐름을 제어), 신생아 폐 표면활성제 치료(약물이 폐 속 액막을 타고 스스로 퍼짐), 유체 아트(덴드라이트 페인팅 기법 그 자체)에 두루 등장한다.

실험 설계

준비물

아크릴 물감, 물, 검은 잉크(또는 먹물), 소독용 이소프로필알코올, 스포이트, 평평한 아크릴판(또는 반코팅 종이), 전자저울, 자, 스마트폰(수직 고정 촬영)과 삼각대.

변인

독립변인은 물감의 희석 비율(물감:물 무게비), 종속변인은 손가락 패턴의 기하(최종 반지름, 가지 폭, 가지 개수)와 퍼짐 반지름의 시간 변화이다. 통제변인은 잉크:알코올 혼합비, 액적 부피, 물감 층 두께, 떨어뜨리는 높이, 실온이다.

실험 순서

  1. 아크릴 물감을 물과 무게비 1:1, 1:2, 1:3으로 희석해 세 가지 바탕액을 만들고, 아크릴판 위에 같은 양을 부어 얇고 고르게 편다.

  2. 잉크와 알코올을 부피비 1:1로 섞은 혼합액을 만들고, 스마트폰을 판 바로 위에 수직으로 고정한다.

  3. 스포이트로 같은 부피의 액적을 물감 층 중앙에 한 방울 떨어뜨리고, 패턴이 멈출 때까지 촬영한다(희석 단계마다 3회 반복).

  4. 영상에서 일정 시간 간격으로 퍼짐 반지름을 재고, 최종 패턴 사진에서 가지 폭과 가지 개수를 센다(심화: 상자 세기법으로 프랙탈 차원).

안전 안내

⚠ 안전

이소프로필알코올은 인화성이 강하다. 화기·열원 근처에서 다루지 않고, 창문을 열어 환기하며, 남은 알코올은 뚜껑을 닫아 보관한다. 눈에 튀지 않게 보안경을 쓰고, 잉크·물감이 묻지 않도록 장갑과 신문지를 준비한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물감을 진하게(1:1) 쓸 때와 묽게(1:3) 쓸 때, 어느 쪽에서 가지가 더 가늘고 촘촘해질까? 손가락이 아예 생기지 않는 조건도 있을까?

자료 정리

시간–반지름 데이터를 로그–로그 그래프로 그려 직선 구간의 기울기(멱지수)를 읽고, 희석 단계별 가지 폭·가지 개수를 표로 비교한다. 심화에서는 최종 패턴을 이진화해 상자 세기법으로 프랙탈 차원을 구해 문헌값과 견준다.

결과의 의미

물감이 진할수록 가지는 더 가늘고 촘촘해지고, 알코올 비율이 어느 문턱 아래로 내려가면 손가락이 아예 생기지 않는 경향이 예상된다. 퍼짐 반지름은 시간의 멱법칙을 따를 것으로 예상되며, 문헌은 바깥 가장자리가 t의 3/8제곱, 본체가 1/4제곱으로 퍼진다고 보고한다. 멱지수가 조건을 바꿔도 유지되는지, 프랙탈 차원이 문헌값 약 1.7에 가까운지가 이 탐구의 정량적 승부처다. 다만 물로 희석하면 점성과 전단 묽어짐만이 아니라 표면장력·고형분 농도·건조 속도까지 함께 바뀌므로, 희석비는 여러 물성을 한꺼번에 움직이는 조작 조건으로 다루자. 물감 한 통과 알코올만으로 계면 불안정성을 수치로 검증하는 셈이다.

더 탐구하기

  1. 잉크:알코올 혼합비를 바꿔, 손가락이 생기기 시작하는 최소 알코올 농도(문턱)를 찾아 보자 — 문헌은 가지가 나타난 가장 낮은 시험 농도가 16.7 vol%였다고 보고할 뿐, 문턱 자체는 잰 적이 없다.

  2. 물감 대신 물엿·글리세린 같은 뉴턴 유체를 깔아, 같은 액적에서도 가지가 생기지 않는지(전단 묽어짐의 역할) 확인해 보자.

  3. 액적 부피와 물감 층 두께를 바꿔, 최종 반지름과 가지 수가 어느 쪽에 더 민감한지 비교해 보자.

  4. 완성된 패턴 사진을 상자 세기법 프로그램(ImageJ 등)으로 분석해, 확산 제한 응집(DLA) 시뮬레이션의 프랙탈 차원과 비교해 보자.

연결 주제

IYPT 2026 문제 4 ‘오일 흐름’(가열된 기름층이 바깥으로 흐르는 표면장력 구동 흐름), IYPT 2023 문제 10 ‘역류’(물 표면의 입자가 물줄기를 거슬러 오르는 현상) — 모두 마랑고니 효과가 주인공이며, 수직 고정 촬영과 퍼짐 반지름 추적법을 그대로 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] APS 유체역학 갤러리 영상 “Acrylic paint fractals”(S. T. Chan, S. J. Haward, A. Q. Shen, Gallery of Fluid Motion, APS DFD 2021 — 액적이 물감 위에 가지를 키우는 과정을 촬영으로 시연) / 영상 검색어 “dendritic painting”, “fractal fingers ink alcohol” / [심화] S. T. Chan, E. Fried, “Marangoni spreading on liquid substrates in new media art,” PNAS Nexus 3(2), pgae059 (2024), doi:10.1093/pnasnexus/pgae059 (arXiv:2312.05518) — 잉크·알코올 액적의 멱법칙 퍼짐(3/8·1/4)과 농도별 가지 형성(16.7 vol%부터 관찰, 33.3 vol% 이상 자발 형성), 전단 묽어짐 물감에서 프랙탈 차원 1.68 ± 0.04의 가지 성장 측정 / I. Bischofberger, R. Ramachandran, S. R. Nagel, “Fingering versus stability in the limit of zero interfacial tension,” Nature Communications 5, 5265 (2014), doi:10.1038/ncomms6265 — 섞이는 두 유체에서도 점도비가 손가락의 형태를 결정함을 실험으로 정리 / O. Praud, H. L. Swinney, Phys. Rev. E 72, 011406 (2005), doi:10.1103/PhysRevE.72.011406 — 방사형 점성 핑거링의 프랙탈 차원 1.70 ± 0.02 측정. ※ 물감 층 두께·액적 부피·잉크 종류의 정량적 효과, 개별 가지의 성장 속도 법칙, 그리고 물감을 수지 대신 물로 희석하고 소독용 알코올·문구용 잉크를 쓰는 학교 재료 조건에서의 재현은 이 탐구의 개방 지점이다.

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