풀렸다 되감기는 태엽 — 고무줄 비틀림 진자

탐구 주제

IYPT 2022 문제 11 ‘Balls on an Elastic Band’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2022 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력·마찰력) / 고등학교 물리학 「힘과 에너지」(힘의 평형과 돌림힘, 역학적 에너지) / 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리 — 진동의 주기와 감쇠) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성력, 탄성 퍼텐셜 에너지, 비틀림, 복원 돌림힘, 비틀림 진자, 관성 모멘트, 각운동량, 감쇠 진동, 등시성, 미끄러짐 없는 구름, 점탄성, 탄성 이력(히스테리시스), 겹꼬임(초나선)

원리 살펴보기

고무줄을 꼬는 것은 태엽을 감는 것과 같다. 꼬인 고무줄에는 탄성 퍼텐셜 에너지가 저장되고, 탁자에 내려놓는 순간 고무줄이 풀리며 두 공을 돌린다. 꼬임이 다 풀린 뒤에도 돌던 기세(각운동량)가 남아 고무줄을 반대쪽으로 되감고, 되감긴 고무줄은 다시 공을 반대로 돌린다. 그네가 앞뒤로 오가듯 회전이 이쪽저쪽으로 오가는 비틀림 진자가 탁자 위에 생긴다.

숨은 주인공은 공과 탁자의 접촉이다. 공이 미끄러지지 않고 구르는 동안, 고무줄의 풀림은 두 공 전체가 수직축 둘레로 함께 도는 회전으로 바뀐다. 고무는 늘였다 놓을 때마다 에너지 일부를 열로 잃는 재료여서(점탄성·탄성 이력) 진동은 왕복마다 조금씩 잦아든다. 많이 꼬면 고무줄이 전화선처럼 스스로 겹꼬여, 복원 돌림힘이 회전각에 비례하지 않게 된다.

이 원리는 고무동력 모형 비행기(감아 둔 고무줄의 비틀림 에너지로 프로펠러를 돌린다), 기계식 시계의 밸런스 휠(스프링의 복원 돌림힘이 만드는 일정한 회전 진동으로 시간을 잰다), 자동차의 토션바 서스펜션(막대의 비틀림 탄성으로 노면 충격을 흡수한다), DNA 초나선(과도하게 꼬인 이중나선이 겹꼬임으로 응축하는 분자 세계의 같은 역학)에 닿아 있다.

실험 설계

준비물

지름 2 cm 안팎의 강철 공 2개(또는 큰 쇠구슬), 같은 제품의 넓적한 고무줄 여러 개, 매끄러운 책상, 표면 교체용 유리판·종이·고무 매트, 각도 눈금을 그린 배경지, 표시점 스티커, 스마트폰(바로 위에서 촬영), 영상 분석 프로그램(Tracker), 보안경.

변인

독립변인은 처음 감은 꼬임 수 N이고, 종속변인은 왕복 주기와 최대 회전각(진폭)이 줄어드는 감쇠이다. 통제변인은 고무줄의 종류·길이·폭, 공의 질량과 지름, 바닥 표면, 실온이며, 같은 고무줄을 다시 쓸 때는 쉬는 시간을 같게 둔다.

실험 순서

1. 두 공의 둘레에 고무줄 고리를 팽팽하게 걸어 잇고, 각도 눈금 배경지 위에 장치를 놓은 뒤 두 공의 윗면에 표시점 스티커를 붙인다.

2. 고무줄 가운데를 잡고 정한 꼬임 수(예: 10바퀴)만큼 감은 뒤, 두 공을 동시에 살며시 내려놓고 스마트폰으로 바로 위에서 촬영한다.

3. 영상에서 두 공을 잇는 선이 돌아간 각도를 시간에 따라 읽어(Tracker) 회전각–시간 그래프를 얻고, 이웃한 반전 시각 간격의 두 배로 주기를 구한다.

4. 꼬임 수를 5·10·15·20바퀴로 바꾸며 조건마다 3회 반복하고, 고무줄이 스스로 감겨 뭉치는 겹꼬임이 몇 바퀴부터 생기는지도 기록한다.

5. 같은 꼬임 수에서 바닥을 유리판·종이·고무 매트로 바꿔 주기와 진폭의 감쇠가 어떻게 달라지는지 비교한다. 표시점으로 공이 굴렀는지 헛돌았는지도 확인한다.

안전 안내

강하게 꼬인 고무줄은 갑자기 풀리거나 끊어지며 튈 수 있으니 보안경을 쓰고 얼굴 가까이에서 감지 않는다. 오래돼 삭은 고무줄은 미리 새것으로 바꾸고, 금속 공이 책상에서 굴러떨어질 수 있으니 낙하 구역을 비우고 발을 치워 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

꼬임 수를 두 배로 늘리면, 회전 방향이 처음으로 바뀌기까지 걸리는 시간은 길어질까, 짧아질까, 아니면 그대로일까?

자료 정리

조건별 회전각–시간 그래프로 진동의 개형을 확인하고, 꼬임 수별 주기와 최대 회전각의 감쇠를 표로 모은다. 복원 돌림힘이 회전각에 비례하는 선형 비틀림 진자라면 주기는 진폭과 무관하게 일정할 것이다. 실제로는 주기가 한동안 거의 일정하다가 어느 지점부터 달라지는 경향이 보고되어 있으니, 그 경계가 겹꼬임이 나타나기 시작하는 꼬임 수와 겹치는지 눈여겨본다.

결과의 의미

작은 꼬임에서는 진폭이 줄어도 주기가 거의 일정한 등시성이 예상되고, 꼬임이 커지면 겹꼬임과 함께 등시성이 깨진다고 보고되어 있다. 마찰은 에너지를 잃게 하는 브레이크이자 꼬임을 회전으로 바꿔 주는 기어라는 두 얼굴을 가진다는 점이 핵심이다. 다만 바닥을 바꾸면 마찰로 잃는 에너지만이 아니라 공이 구르는지 미끄러지는지도 함께 달라진다. 그래서 감쇠 곡선만으로는 두 손실원을 가려낼 수 없고, 표면 교체는 여러 단서 가운데 하나로 삼자.

더 탐구하기

1. 고무줄을 냉장고에 넣어 차게 하거나 손난로로 데운 뒤 같은 실험을 반복해, 온도에 따라 달라지는 고무의 탄성이 주기를 바꾸는지 확인해 보자.

2. 유리구슬과 강철 공처럼 질량이 다른 공으로 바꿔, 회전 관성(관성 모멘트)이 주기와 감쇠에 주는 영향을 확인해 보자.

3. 바닥에 활석 가루를 얇게 뿌려 마찰을 줄이고, 공이 구르지 못하고 헛도는 조건에서 진동이 어떻게 달라지는지 관찰해 보자.

4. 같은 고무줄을 같은 바퀴만큼 감은 채 한쪽 공을 클램프에 물리고 다른 공을 공중에 매달아, 바닥에 닿지 않은 비틀림 진동이 몇 번 만에 잦아드는지 재어 보자 — 바닥에 놓았을 때와 견주면 고무 자체가 잃는 몫을 가늠할 수 있다(매단 상태는 공 하나만 돌고 고무줄이 늘어나므로 정확한 뺄셈이 아니라 어림이다).

연결 주제

문제 3 ‘막대 위의 링’(와셔가 회전하며 천천히 내려가는 현상) — 구름 접촉과 마찰이 회전을 지배한다는 같은 관점과 촬영·회전각 판독 기법을 공유한다. 문제 2 ‘레일리 원반’(실에 매달린 원반이 실의 비틀림 축 둘레로 돌며 소리 세기를 재는 장치) — 비틀림 복원 돌림힘과 미세 회전각 측정이라는 같은 언어를 쓴다.

참고문헌

[학생] 영상 검색어 “IYPT balls on an elastic band”, “Spinning Ball Bearings”(Grand Illusions — 공식 참고 키트에 수록된 시연 영상), “centripetal spheres” / 위키백과 ‘Rubber band’(고무줄의 재료·탄성 개관) / [심화] X. Liu 외, “Research on the Movement Law of ‘Balls on an Elastic Band’,” Physics and Engineering 34(1), 130–136 (2024), doi:10.26599/PHYS.2024.9320120 — 이 문제를 정면으로 다룬 논문: 2자유도 감쇠 비틀림 진동 모형을 Tracker 영상 분석으로 검증하고, 주기가 일정하다가 깨지는 현상을 반정량적으로 설명 / G. Zurlo 외, “The Poynting effect,” American Journal of Physics 88(12), 1036–1040 (2020), doi:10.1119/10.0001997 — 비틀린 탄성 원기둥이 축 방향으로 늘어나려 하는 포인팅 효과를 학부 실험으로 정리 / C. A. Triana, F. Fajardo, “Dependence of some mechanical properties of elastic bands on the length and load time,” European Journal of Physics 33(4), 771–784 (2012), doi:10.1088/0143-0807/33/4/771 — 고무줄의 탄성이 길이와 하중 시간(사용 이력)에 따라 달라짐을 측정(통제변인 설정의 근거). ※ 겹꼬임이 시작되는 임계 꼬임 수와 그 전후의 돌림힘–회전각 관계, 그리고 감쇠에서 표면 마찰과 고무 내부 이력이 차지하는 몫의 정량 분리는 문헌이 얇아 이 탐구의 개방 지점이다.