아래로 던져야 일어선다 — 아이스크림 막대 연쇄 반응

탐구 주제

IYPT 2019 문제 17 ‘Popsicle Chain Reaction’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2019 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(탄성력)·「운동과 에너지」(역학적 에너지 전환과 보존) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(에너지 전환과 효율) / 물리학 「힘과 에너지」(탄성력에 의한 위치 에너지) · 진로선택 「역학과 에너지」(탄성파와 소리: 파동의 진행 속력 측정) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성 퍼텐셜 에너지, 영률, 굽힘 변형, 곡률, 오일러-베르누이 보 이론, 준안정 상태, 파면, 정상 상태, 특성 시간, 반동, 운동량 보존, 차원 분석, 축척 법칙, 에너지 전환 효율

원리 살펴보기

엮인 막대 하나하나는 시위를 당겨 둔 활이다. 코브라 엮기에서 막대는 이웃 네 개의 위·아래를 번갈아 지나며 제 두께만큼 휘고, 그 굽힘에 탄성 에너지가 저장된다. 사슬은 이웃이 이웃을 붙들어 주어 간신히 버티는 준안정 상태다. 한쪽 끝을 풀면 첫 막대가 튕겨 나가며 옆 막대의 결박을 끊고, 그 막대가 또 다음을 푼다 — 도미노처럼 릴레이로 달리지만 연료가 중력이 아니라 굽힘 탄성이다. 파면은 짧은 과도기를 지나면 모양을 유지한 채 일정한 속력으로 달리는데, 흔한 나무 막대에서 초속 수 m, 일어서는 높이는 수십 cm에 이른다.

사슬이 뱀처럼 일어서는 비밀은 뜻밖에도 막대가 아래로 튕겨 나간다는 데 있다. 바닥 쪽으로 내던져진 막대들의 반동이 로켓 분사처럼 사슬 몸통을 들어 올린다. 반대쪽 끝을 풀면 막대가 위로 튀는 대신 사슬이 바닥에 눌리는 역파가 된다. 속력의 원천은 저장 에너지다. 막대 하나의 탄성 에너지가 제 운동 에너지로 바뀌고, 막대 하나가 빠져나갈 때마다 파면은 한 칸(피치)씩 전진한다. 그래서 단단하고 가벼운 재질일수록, 두껍고 짧은 막대일수록, 엮음이 성길수록 파면은 빠르다. 막대의 폭은 속력과 무관하다.

저장된 변형 에너지가 파면으로 풀리는 이 구도는 세포 속 미세소관의 붕괴(끝 마개를 잃는 순간 해체 파면이 달린다 — 물리학자들이 이 장난감을 그 거시 모형으로 지목했다), 구조물의 연쇄 붕괴 해석(격자가 부재 하나를 잃을 때 파괴가 전파되는가), 도미노·쥐덫 연쇄 시연(핵분열 연쇄 반응의 교실 모형)에 맞닿아 있다.

실험 설계

준비물

나무 아이스크림 막대(같은 제품 300개 이상), 버니어 캘리퍼스, 전자저울, 용수철저울, 클램프, 줄자와 표시 테이프, 스마트폰(240 fps 슬로모션)과 삼각대, 막대를 불릴 물통, 사슬 끝을 누를 책과 당길 끈, 1 m 자, 양옆에 세울 가림판(골판지·아크릴), 보안경.

변인

독립변인은 엮음각으로 정해지는 피치(이웃 막대 끝 사이 간격)이고, 종속변인은 정상 상태 파면 속력과 사슬이 일어서는 최대 높이다. 통제변인은 막대의 종류와 건조 상태, 사슬 길이, 바닥 재질, 격발하는 쪽 끝, 촬영 거리·프레임률이다.

실험 순서

1. 막대의 길이·폭·두께와 질량을 재고, 한쪽 끝을 클램프로 물린 뒤 자유단에 용수철저울을 걸어 처짐이 길이의 1/10을 넘지 않는 범위에서 힘–처짐 기울기를 얻는다. 보 이론 F = 3EIδ/L³(I는 단면 이차 모멘트)로 영률 E를, 밀도 ρ와 함께 √(E/ρ)를 구한다.

2. 막대 하나가 이웃 네 개의 위·아래를 번갈아 지나는 코브라 엮기로 2.5~3 m(막대 170~200개)를 엮고 양 끝을 책으로 누른다. 엮는 동안에도 막대가 튕겨 나올 수 있으므로 전원 보안경을 쓴다.

3. 사슬 옆 바닥에 50 cm 간격으로 테이프를 붙이고, 2 m 옆 삼각대에서 사슬 전체가 화면에 들어오게 240 fps로 촬영한다. 격발은 끈을 당겨 끝의 책을 옆으로 밀어내어 한다(부득이하면 1 m 자로 옆에서; 조건마다 3회).

4. 영상에서 파면이 표시선을 지나는 시각을 읽어 위치–시간 그래프를 그리고, 1.5 m 이후 정상 상태 구간의 직선 기울기로 속력을, 화면에서 사슬 최고점 높이를 구한다.

5. 같은 막대로 엮음각만 바꿔 피치를 3가지 이상 만들고 ③④를 반복한다.

6. 심화: 막대를 물에 2~3일 불린 뒤 ①의 측정을 다시 하고(영률·밀도가 함께 변한다) 같은 피치로 속력을 재어, 속력이 √(E/ρ)와 같은 방향으로 움직이는지 확인한다.

안전 안내

막대는 파면보다 빠르게 튕겨 나간다(문헌상 파면의 약 1.4배 — 마른 막대는 초속 10 m를 훌쩍 넘는다). 엮기부터 격발·정리까지 전원 보안경을 쓰고 얼굴을 사슬 높이로 낮추지 않는다. 사슬은 3 m 이하로 하고, 양옆에 30 cm 높이의 가림판(골판지·아크릴)을 사슬에서 조금 띄워 세워 튀는 막대와 바닥 반사를 막으며, 주위 1.5 m 안에 사람·유리 기물을 두지 않는다. 격발은 끈을 기본으로 하되 부득이하면 1 m 자로 옆에서 하고, 도중에 멈춘 사슬도 장전 상태이므로 손대지 말고 긴 자로 끝을 쳐서 마저 풀어 준다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

엮음을 성기게 해 피치를 두 배로 늘리면 파면 속력은 어떻게 될까? 사슬이 일어서는 높이도 함께 커질까, 그대로일까?

자료 정리

조건별 속력·높이를 표로 모아 피치–속력, 피치–높이 그래프를 그린다(축과 개형만 잡고 수치는 측정으로 채운다). 촬영 조건도 검산해 두자. 불린 막대의 초속 2 m면 240 fps에서 한 프레임에 약 8 mm씩 전진해 표시선 통과 시각을 넉넉히 읽을 수 있지만, 마른 막대(초속 10 m 이상)는 프레임당 4 cm를 넘으므로 표시선 간격을 넓히거나 정밀 측정은 불린 막대로 한다. 위치–시간 그래프에서 기울기가 일정해지는 지점이 과도 구간의 끝인데, 문헌은 막대 100개(약 1.5 m)를 보고하므로 내 사슬의 값과 견줘 본다. 심화에서는 가로축을 √(E/ρ)·(두께/길이)로 잡아 마른 막대와 불린 막대의 점을 함께 찍는다.

결과의 의미

문헌 실측으로는 속력은 피치에 비례해 늘고(막대 폭만큼의 오프셋), 높이는 피치와 거의 무관하다. 같은 굽힘 에너지를 쓰는데도 속력은 빠져나가는 박자가, 높이는 막대 한 개의 에너지 예산이 정하기 때문이다. 물에 불린 막대는 초속 2 m 안팎, 마른 막대는 수십 m까지 보고돼 있고, 높이로 회수되는 에너지는 5% 안팎 — 나머지는 진동·비틀림·마찰로 샌다. 막대 길이는 중력 상한과 파단 하한 사이에서만 파동이 선다 — 코브라 파동은 좁은 존재 영역 안의 현상이다. 한편 두 1차 논문은 파면의 박자를 다르게 잡는다: 막대가 제 길이를 빠져나가는 시간으로 보면 속력 ∝ √(E/ρ)(두께/길이)², 굽힘이 풀리는 진동 시간으로 보면 √(E/ρ)(두께/길이)다. 두께가 다른 막대로 어느 지수가 맞는지 가리는 것이 훌륭한 후속 탐구다.

더 탐구하기

1. 반대쪽 끝을 풀어 역파를 만들어 보자. 막대가 위로 튀고 사슬이 눌리는지, 그 속력·높이가 정파와 같은 척도에 모이는지는 문헌이 남긴 물음이다(위로 튀므로 더 멀리서 격발하자).

2. 막대 하나를 이웃 3개나 5개에 엮는 변형, 정사각 격자로 저장 에너지를 바꿔 보자(같은 논문이 제안한 확장).

3. 단단한 책상, 카펫, 공중에 늘어뜨린 사슬로 지지면의 역할을 보자.

4. 나무 대신 PVC 막대로 엮어 보자 — 마찰과 내부 감쇠가 작아 같은 척도에서 더 빠르고 높다는 것이 문헌 보고다.

연결 주제

물리 1993 문제 8 ‘도미노 파동’ — 준안정 줄을 파면이 훑는 같은 계열이되, 그쪽 연료는 세워 둔 중력 위치 에너지이고 이쪽은 엮어 둔 굽힘 탄성 에너지다. 위치–시간 그래프로 정상 속력을 재는 기법이 그대로 통한다. 물리 2011 문제 8 ‘도미노 증폭기’ — 줄을 따라 전달되는 에너지의 한계를 묻는 짝 문제로, 코브라 파동 논문도 도미노 문헌을 같은 유형의 선행으로 인용한다.

참고문헌

[학생] 영어 위키백과 ‘Stick bomb’ / APS Physics ‘Cobra Wave Explained’(2017, 영상 해설) / 영상 검색어 “cobra weave stick bomb”, “스틱밤” / [심화] J. Sautel 외, “The physics of a popsicle stick bomb,” American Journal of Physics 85(10), 783–790 (2017), DOI 10.1119/1.5000797 — 정적 휨(F = 3EIδ/L³)·진동으로 영률 측정, 3 m 사슬의 위치–시간 도표, 정상 상태는 약 1.5 m(막대 100개) 이후, 속력은 피치에 비례(폭만큼 오프셋)·높이는 피치 무관, 특성 척도 √(E/ρ)·(두께/길이), 불린 막대 1.7 m/s~마른 막대 36 m/s, 높이 전환 효율 약 5%. / J.-P. Boucher 외, “Popsicle-Stick Cobra Wave,” Physical Review Letters 119, 084301 (2017), DOI 10.1103/PhysRevLett.119.084301 — 여섯 종 막대에서 파면 속력 3.95√(E/ρ)(두께/길이)² 실측(폭 무관, 엮음각이 클수록 감속), 아래로 튕긴 막대의 반동이 사슬을 세운다는 모형, 푸는 끝에 따른 정파·역파, 중력이 정하는 막대 길이 상한과 파단이 정하는 하한 사이의 존재 영역. ※ 높이 모형(Emergent Scientist 1, 3 (2017), DOI 10.1051/emsci/2017003)은 서지·초록만 확인.