2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2016 · 문제 1 · 강체·회전

조작할 수 없는 우연 — 기계식 난수 발생기

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2016 문제 1 ‘Invent Yourself’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2016 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(운동과 충돌) / 고등학교 과학탐구실험1(측정과 자료 분석) · 물리학 「힘과 에너지」 / 수학 「확률과 통계」(통계적 확률·이항분포) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

난수, 무작위성, 결정론, 카오스, 초기 조건 민감성, 세차 운동, 각운동량, 반발(튕김), 에너지 소산, 통계적 확률, 큰 수의 법칙, 이항분포, 표준 오차, 런(run) 검정, 편향, 엔트로피

원리 살펴보기

동전 던지기는 정말 아무도 모를 우연일까? 동전이 손끝을 떠나는 순간의 속도와 회전이 정해지면, 그 뒤는 뉴턴 법칙이 결과를 결정한다. 실제로 초기 조건을 고정한 던지기 기계는 사실상 매번 같은 면을 내놓았고, 사람의 던지기도 회전축이 기울어 세차 운동을 하는 탓에 시작한 면이 다시 나올 확률이 약 51 %로 살짝 기운다 — 35만여 회를 모은 실측에서 50.8 %가 측정되었다.

그런데도 동전과 주사위가 여태 쓰이는 이유는 카오스에 있다. 미세한 초기 조건 차이가 회전과 튕김을 거치며 눈덩이처럼 증폭되어 결과를 가르고, 바닥에서 튕길 때마다 시작 자세의 기억이 지워진다 — 거꾸로 튕김이 적으면 주사위가 처음 자세를 기억해 처음 아래를 향한 면이 그대로 바닥에 남을(곧 처음 위를 향한 면이 나올) 확률이 크게 남는다는 사실이 주사위 모형과 고속 촬영으로 확인되어 있다.무작위성은 저절로 주어지는 성질이 아니라, 초기 조건의 기억을 지우도록 설계해 넣는 양이다. 조작은 그 반대 방향이다 — 연습한 13명 전원이 원하는 면을 더 많이 냈고(그중 7명은 통계적으로도 유의했다), 최고 기록은 300회 중 68 %였다.

이 원리는 암호·인터넷 보안(클라우드플레어는 라바램프 100개의 벽과 이중 진자를 촬영해 암호 키의 씨앗을 얻는다), 복권·카지노(공 추첨기와 정밀 규격 주사위의 공정성을 규제기관이 통계 검정으로 감사한다), 몬테카를로 시뮬레이션(난수의 품질이 나쁘면 물리·금융 계산의 답 자체가 틀어진다), 임상시험의 무작위 배정(환자를 치료군에 나누는 난수가 편향되면 결론이 무너진다)에 두루 닿아 있다.

실험 설계

준비물

같은 종류의 동전 여러 닢, 플라스틱 자(30 cm)와 클램프, 당김 깊이를 정하는 멈춤쇠용 나무토막, 딱딱한 쟁반과 두꺼운 천(착지면 교체용), 스마트폰(느린 배속 촬영), 기록지(또는 스프레드시트), 심화용 주사위와 컵.

변인

독립변인은 동전의 시작 면, 발사대의 당김 깊이(공중 회전수), 착지면의 반발(튕김 횟수)로, 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 얻어진 0/1 수열에서 계산한 같은 면(앞면) 비율과 런 길이 분포다. 통제변인은 동전의 종류, 발사 높이와 각도, 조건별 시행 횟수, 판정과 기록 방법이다.

실험 순서

  1. 책상에 클램프로 고정한 플라스틱 자 끝에 동전 자리를 만들고 당김 깊이 멈춤쇠를 달아, 매번 같은 힘과 회전을 주는 발사대를 만든다 — 느린 배속 촬영으로 공중 회전수가 일정한지 먼저 확인한다.

  2. 조작 모드: 동전을 늘 앞면이 위로 오게 얹고 두꺼운 천 위(튕김 없음)에서 100회, 착지면만 딱딱한 쟁반으로 바꿔 다시 100회 — 시작 면과 같은 면이 나온 비율로, 튕김이 기억을 지우는 정도를 분리한다.

  3. 무작위 모드: 직전에 나온 면을 그대로 다음 시작 면으로 쓰는 방식까지 더해 시작 면을 섞고, 최종 설계로 200회 이상 던져 0/1 수열을 만든다.

  4. 각 조건의 같은 면 비율을 공정한 동전의 이항분포 기대 범위와 견주고, 같은 면이 이어지는 런의 길이 분포까지 세어 기댓값과 비교한다.

  5. 몰래 조작 시험: 당김 깊이를 한 눈금 바꾸거나 시작 면을 고정하는 조작을 일부러 넣고, 방금의 검정이 몇 회 시행 만에 그것을 잡아내는지 평가한다.

안전 안내

⚠ 안전

당겨 둔 자·스프링이 갑자기 풀리며 손가락이나 얼굴을 때릴 수 있으니 장전 상태로 방치하지 않는다. 튕겨 나간 동전이 눈으로 향하지 않도록 발사 방향은 사람이 없는 쪽, 눈높이 아래로 둔다. 바닥에 흩어진 동전은 밟고 미끄러지기 전에 바로 줍는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

매번 정확히 같은 조건으로 동전을 던지는 완벽한 기계는 완벽한 난수를 만들까, 아니면 완벽하게 예측 가능한 결과를 만들까?

자료 정리

조건별 같은 면 비율을 막대그래프로 그리고, 막대마다 이항분포의 표준 오차 √(p(1−p)/N)를 오차 막대로 붙여 0.5 기준선과 견준다. 시행 순서에 따른 누적 비율 곡선을 덧그리면 큰 수의 법칙이 눈에 보인다. 수열에서는 같은 면이 이어지는 런의 도수분포를 세어, 공정한 동전의 기댓값(길이가 하나 늘 때마다 도수가 절반)과 나란히 놓는다.

결과의 의미

초기 조건을 고정하고 튕김을 없앤 조작 모드에서는 같은 면 비율이 0.5를 훌쩍 넘고, 튕김과 시작 면 섞기를 더할수록 이항분포의 기대 범위 안으로 들어올 것으로 예상된다. 무작위성이 장치의 고유한 성질이 아니라 초기 조건의 정보를 얼마나 지워 냈는가의 정도라는 것이 수치로 드러나는 셈이다. 주의할 점 — 검정 통과는 무작위임의 증명이 아니라, 이 시행 수의 이 검정으로는 우리가 넣어 본 조작을 못 찾았다는 뜻이다. 100회로는 55 % 안팎의 편향도 우연과 구별되지 않으니, 몇 회를 던져야 어떤 크기의 조작이 들통나는지가 곧 장치의 보안 수준이다.

더 탐구하기

  1. 주사위를 컵으로 아주 살살 굴릴 때와 높은 곳에서 세게 굴릴 때, 처음 위를 향해 넣은 면이 그대로 나오는 비율을 비교해 보자 — 던지기 에너지가 편향을 지우는 정도를 재는 실험이다.

  2. 못을 격자로 박은 판에 구슬을 흘리는 갈톤 보드를 만들어 보자 — 이번에는 균등분포가 아니라 이항분포가 옳은 답이므로, 분포의 모양 자체를 검정하는 연습이 된다.

  3. 내 장치의 수열을 스프레드시트 의사난수(RAND)와 RANDOM.ORG의 참난수 수열과 나란히 같은 검정에 넣어, 세 난수원의 성적표를 한 표로 비교해 보자.

  4. 친구에게 규칙 안에서 초기 조건을 마음껏 고르는 공격자 역할을 맡겨, 만들 수 있는 최대 편향을 재어 보자 — 보안 분야에서 말하는 적대적 시험이다.

연결 주제

같은 해 문제 4 ‘슈퍼 볼’(두 판 사이에서 튕기는 탄성 공) — 결과를 예측 불가능하게 만드는 튕김의 역학과 느린 배속 촬영 분석을 공유한다. 완성편 2022년 문제 7 ‘삼면 주사위’ — 착지 확률을 수백 회 시행과 이항분포의 표준 오차로 읽는 통계 설계가 그대로 이어진다.

참고문헌

[학생] Numberphile 영상 “Fair Dice (Part 1·2)” — 퍼시 디아코니스가 공정한 주사위의 조건과 굴림 기계를 설명한다 / Cloudflare 학습 페이지 “How do lava lamps help with Internet encryption?”(라바램프 벽으로 암호용 난수를 만드는 운영 사례) / RANDOM.ORG(대기 잡음 기반 참난수 서비스 — 내 수열과 비교할 대조군) / [심화] P. Diaconis, S. Holmes, R. Montgomery, “Dynamical bias in the coin toss,” SIAM Review 49(2), 211–235 (2007), doi:10.1137/S0036144504446436 (초기 조건을 고정한 던지기 기계는 매번 같은 면을 내고, 사람의 던지기도 세차 운동 탓에 시작 면이 다시 나올 확률이 약 51 % — 35만여 회의 실측 F. Bartoš 외, arXiv:2310.04153 (2023)이 0.508로 확인) · M. P. A. Clark, B. D. Westerberg, “How random is the toss of a coin?” CMAJ 181(12), E306–E308 (2009), doi:10.1503/cmaj.091733 (13명 전원이 연습만으로 앞면을 더 많이 냈고 최고 68 % — 동전 던지기가 조작될 수 있음을 보인 실험) · M. Kapitaniak, J. Strzałko, J. Grabski, T. Kapitaniak, “The three-dimensional dynamics of the die throw,” Chaos 22(4), 047504 (2012), doi:10.1063/1.4746038 (튕김과 에너지 소산을 넣은 주사위 3차원 모형과 고속 촬영 — 현실적인 던지기 에너지에서는 처음 가장 낮았던 면 위로 그대로 멈출, 곧 처음 위를 향한 면이 나올 확률이 가장 높다. 부드러운 바닥에 튕김 없이 내려앉으면 그 확률이 0.548까지 오른다) · A. Rukhin 외, NIST Special Publication 800-22 Rev. 1a (2010) (빈도 검정·런 검정을 포함한 난수 검정 15종의 표준 모음 — 이 원고의 검정은 그 축소판). ※ 문헌은 동전·주사위의 역학과 난수 검정법을 각각 다룬다 — 학교 재료로 만든 발사대에서 튕김 횟수와 시작 면 섞기가 편향을 지우는 정도의 정량 지도, 그리고 주어진 시행 수로 잡아낼 수 있는 최소 조작 크기의 추정은 이 탐구의 개방 지점이다.

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