안정한 물속에 자라는 손가락 — 소금 손가락

탐구 주제

IYPT 2015 문제 8 ‘Sugar and Salt’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2015 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「수권과 해수의 순환」(해수의 층상 구조·염분과 밀도)·「빛과 파동」(빛의 굴절) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(지구 시스템) / 지구과학 「대기와 해양」(해수의 수온·염분·밀도) / 진로선택 「전자기와 양자」(굴절률) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

확산, 확산 계수, 이중 확산 대류, 소금 손가락, 밀도 성층, 안정도 비(밀도 비), 부력, 불안정, 굴절률 구배, 그림자 사진법(shadowgraph), 슐리렌 사진법, 열염 순환, 수온약층

원리 살펴보기

가벼운 물이 위에, 무거운 물이 아래에 — 이보다 더 얌전할 수 없는 배치인데, 이 물은 왜 스스로 손가락을 뻗으며 섞이기 시작할까? 비밀은 설탕과 소금이 물속을 퍼져 나가는 속도가 다르다는 데 있다. 설탕물 덩어리가 아래 소금물 쪽으로 조금 내려갔다고 하자. 소금은 발이 빨라서 금세 그 덩어리 안으로 밀려 들어오지만, 설탕은 굼떠서 미처 밖으로 빠져나가지 못한다. 그 결과 덩어리는 원래 지고 있던 설탕에 새로 얻은 소금까지 함께 지게 되어 주변보다 무거워지고, 더 깊이 가라앉는다. 한번 내려가기 시작하면 같은 일이 되풀이되어, 덩어리는 멈추지 못하고 가늘고 긴 손가락이 되어 뻗어 내린다.

소금의 확산 계수는 설탕의 약 3배다. 이 속도 차 하나가 불안정의 유일한 원동력이며, 그래서 이 현상을 이중 확산 대류라 부른다. 얼마나 안정한지를 재는 값이 안정도 비로, 소금물이 물보다 무거워진 정도를 설탕물이 물보다 무거워진 정도로 나눈 값이다. 이 값이 1보다 작으면 위층이 더 무거워 층이 통째로 뒤집히고(보통의 대류다), 확산 계수 비인 3을 넘으면 소금의 안정화가 너무 강해 손가락이 생기지 못한다. 손가락은 안정도 비가 1과 3 사이인 좁은 창에서만 자란다. 이 무늬가 그림자에 드러나는 것은 농도가 다른 곳마다 굴절률이 달라 빛이 휘기 때문이고, 이렇게 굴절률 구배를 명암으로 바꿔 보는 방법을 그림자 사진법이라 한다.

이 불안정은 실험실 밖에서 훨씬 큰 규모로 벌어진다. 바다에서는 따뜻하고 짠 물이 차고 싱거운 물 위에 놓일 때 같은 일이 벌어져(빨리 퍼지는 쪽이 소금 대신 열이다) 열과 염분을 아래로 실어 나르고, 별의 내부에서는 무거워진 물질이 위에 쌓일 때 돋아난 손가락이 원소를 섞는 통로가 된다. 마그마 챔버에서 조성이 다른 마그마가 겹칠 때, 그리고 액체 금속과 합금의 응고에서도 같은 손가락이 나타난다 — 바다부터 별까지, 무대만 다를 뿐 원리는 이 수조 안의 것과 같다.

실험 설계

준비물

설탕(자당), 소금, 증류수, 폭에 비해 두께가 얇은 투명한 수조, 전자저울, 비커와 눈금실린더, 비중계(또는 일정 부피의 무게를 달아 밀도를 구할 도구), 위층을 조용히 얹을 스펀지·거름종이나 주사기, 점광원에 가까운 밝은 손전등과 흰 스크린, 스마트폰(일정 간격 촬영), 자와 모눈 배경판, 온도계.

변인

독립변인은 안정도 비다 — 소금물이 물보다 무거워진 정도를 설탕물이 물보다 무거워진 정도로 나눈 값으로, 설탕물 쪽은 고정하고 소금물의 농도만 바꿔 조절한다. 종속변인은 손가락이 생기는지 여부와, 손가락의 길이가 시간에 따라 자라는 방식이다. 통제변인은 두 용액의 온도(확산 계수가 온도에 민감하다), 각 층의 두께, 수조의 두께, 조명과 스크린까지의 거리, 위층을 얹는 방법과 그때 생기는 교란의 정도다.

실험 순서

1. 설탕물과 소금물을 따로 만들고, 눈금실린더로 부피를 정해 저울에 달아 각각의 밀도와 물보다 무거워진 정도를 구한다. 소금물이 설탕물보다 조금 더 무겁도록(안정도 비가 1보다 크도록) 맞추되, 첫 조건은 안정도 비 2쯤 — 손가락이 사라지는 상한 3과 대류로 넘어가는 1 사이의 한가운데 — 을 겨냥해 농도를 조절한다.

2. 수조에 소금물을 먼저 붓고, 그 위에 설탕물을 스펀지나 거름종이 위로 아주 천천히 흘려 넣어 경계면이 흐트러지지 않게 얹는다.

3. 손전등을 수조 한쪽에, 흰 스크린을 반대쪽에 두어 경계면의 그림자를 투영하고, 얹은 순간부터 일정한 간격으로 사진을 찍는다.

4. 사진에서 손가락이 처음 보이는 시각을 읽고, 시간마다 손가락이 뻗어 나간 길이를 모눈 배경에 대고 측정한다.

5. 설탕물은 그대로 두고 소금물의 농도만 바꿔 안정도 비를 1 근처부터 3 너머까지 여러 값으로 훑으며, 조건마다 ②~④를 되풀이한다(조건당 3회).

안전 안내

설탕물·소금물 자체는 위험하지 않지만 바닥에 흘리면 몹시 미끄러우므로 즉시 닦는다. 유리 수조와 비커가 깨져 베이지 않도록 조심하고, 물 묻은 손으로 손전등이나 전원을 만지지 않는다. 밝은 손전등이나 LED를 눈으로 직접 들여다보지 않는다(이 실험에 레이저는 필요 없다). 쓴 용액은 충분히 희석해 흘려보내고, 며칠 두면 곰팡이가 피므로 그날 정리한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

위층이 가벼워 겉보기에 완벽히 안정한데도 손가락이 자란다면, 소금물의 농도를 계속 높여 아래층을 훨씬 더 무겁게 만들면 손가락은 더 잘 자랄까, 아니면 오히려 사라질까?

자료 정리

먼저 조건마다 안정도 비를 계산해, 가로축을 안정도 비로 놓고 손가락이 생겼는지 여부를 표시한 그림을 만든다. 1과 3 사이에서만 손가락이 나타나는지, 그 경계가 어디인지가 한눈에 보인다. 다음으로 한 조건을 골라 시간에 따른 손가락 길이를 두 축 모두 로그로 잡아 그리고 기울기를 읽는다. 기울기가 1/2이면 길이가 시간의 제곱근으로, 1이면 시간에 비례해 자란다는 뜻이다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

안정도 비가 1과 3 사이일 때만 손가락이 나타나고, 1보다 작으면 층이 통째로 뒤집히며, 3을 넘으면 경계면이 밋밋하게 남을 것으로 예상된다. 손가락의 길이는 안정도 비가 3에 가까우면 시간의 제곱근으로, 1에 가까우면 시간에 비례해 자라는 쪽으로 갈릴 것으로 보인다. 위아래 밀도만 보면 완벽히 안정한 물이 스스로 섞이기 시작한다는 사실이야말로 이 실험의 핵심이다. 불안정을 부른 것은 밀도가 아니라 두 용질의 확산 속도 차이이고, 그래서 “무거운 것이 아래에 있으니 안정하다”는 익숙한 판정만으로는 유체의 안정성을 정할 수 없다. 다만 위층을 얹을 때의 교란만으로도 비슷한 무늬가 잠깐 스쳐 갈 수 있으므로, 무늬가 계속 자라는지, 그리고 같은 방법으로 얹은 안정도 비 3 초과 조건에서는 그런 무늬가 이내 사라지는지를 견주어야 확산 때문이라고 말할 수 있다.

더 탐구하기

1. 두 층을 바꿔 소금물을 위에, 설탕물을 아래에(설탕물이 더 무겁도록) 놓아 보자. 굼뜬 쪽이 위에서 불안정을 일으켜야 손가락이 생긴다는 설명이 옳다면 이 배치에선 손가락이 생기지 않아야 한다. 정말 그런지 확인해 보자.

2. 두 용액의 온도를 함께 높이거나 낮춰 확산 계수를 바꿔 보고, 손가락이 나타나기까지 걸리는 시간이 어떻게 달라지는지 알아보자.

3. 수조의 두께를 얇게(거의 2차원) 또는 두껍게 바꿔 가며, 손가락의 폭과 간격이 용기의 두께에 얽매이는지 확인해 보자.

4. 볼록 렌즈로 평행광을 만들고 스크린까지의 거리를 바꿔 가며, 그림자 무늬의 대비가 어떻게 달라지는지 살펴 그림자 사진법 자체를 최적화해 보자.

연결 주제

물리 2020 문제 5 ‘달콤한 신기루’는 설탕 용액의 굴절률 구배가 빛을 휘게 하는 바로 그 원리를 다루어, 손가락이 왜 그림자에 드러나는지를 광학 쪽에서 보충해 준다. 물리 2026 문제 11 ‘설탕 단색화 장치’가 쓰는 편광 회전은 설탕과 소금의 밀도 기여를 따로 재는 측정 도구가 된다. 물리 2025 문제 10 ‘레일리–베나르 대류’와 물리 2023 문제 1 ‘프랙탈 손가락’은 대류와 손가락을 다루지만 기제가 다르다 — 앞은 열 하나만 확산하는 단일 확산 대류이고, 뒤는 점성 차와 표면 장력 구배가 함께 만드는 손가락이다. 물리 2000 문제 10 ‘열염 손가락’은 이 원고와 같은 소금 손가락이되 빠른 확산자가 설탕이 아니라 열(확산비 약 100)이라, 손가락이 자라는 밀도비의 창이 훨씬 넓다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘Shadowgraph’(굴절률의 2차 미분에 반응해 농도 구배를 명암으로 드러낸다 — 칼날을 쓰는 슐리렌과 구별) / 영상 검색어 “salt fingers”, “double diffusive convection” / [심화] R. M. Heavers, L. A. Colucci, “Sugar Fingers and Double-Diffusive Convection,” J. Chem. Educ. 86(11), 1326–1329, 2009 (DOI 10.1021/ed086p1326; 설탕 용액을 약간 더 무거운 소금 용액 위에 얹어 스크린에 투영하는 학교 실험. 편광 회전으로 두 용질의 밀도 기여를 따로 잰다) · J. R. Taylor, G. Veronis, “Experiments on double-diffusive sugar–salt fingers at high stability ratio,” J. Fluid Mech. 321, 315–333, 1996 (DOI 10.1017/S0022112096007744; 아래 소금·위 설탕 배치. 손가락 존재의 상한이 곧 소금 대 설탕의 확산 계수 비인 3임을 명시. 안정도 비가 높으면 손가락 길이가 시간의 제곱근으로, 1에 가까우면 시간에 비례해 자란다 — 다만 이 실험 대부분은 안정도 비 2.5~3 구간이었고, 시간에 비례하는 성장은 대류 전복이 손가락 끝을 쓸어낸 뒤의 국면이다) · M. E. Stern, “The ‘Salt-Fountain’ and Thermohaline Convection,” Tellus 12(2), 172–175, 1960 (DOI 10.1111/j.2153-3490.1960.tb01295.x; 소금 손가락 개념의 출발점) · R. W. Schmitt, “The characteristics of salt fingers in a variety of fluid systems, including stellar interiors, liquid metals, oceans, and magmas,” Phys. Fluids 26(9), 2373–2377, 1983 (DOI 10.1063/1.864419). ※ 문헌은 실험실 규모의 깨끗한 두 층과 정밀 광학계를 전제로 한다. 학교 수준의 수조와 손전등으로 상한(안정도 비 3)을 재현할 수 있는지, 길이 성장의 지수가 1/2과 1 중 어디로 가는지, 교란을 어디까지 줄여야 확산 때문임을 주장할 수 있는지는 이 탐구의 개방 지점이다. 안정도 비 1~2.5 구간은 위 실험이 촘촘히 훑지 않았으니, 저울로 안정도 비를 직접 재어 자기 장비에 맞는 출발점을 찾는 일부터가 탐구의 몫이다.