2026년 9월 30일 · 용티IYPT 2014 · 문제 10 · 열·상전이, 유체역학

어디로 갈지 몰라도, 얼마나 퍼질지는 안다 — 확산계수

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 2014 문제 10 ‘Coefficient of diffusion’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2014 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「기체의 성질」(입자의 운동·확산)·「물질의 구성」 / 고등학교 통합과학1 「물질과 규칙성」 / 진로선택 「역학과 에너지」의 ‘열과 에너지’(분자 운동론·열운동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

브라운 운동, 확산, 확산 계수, 무작위 걸음, 평균제곱변위, 아인슈타인 관계, 스토크스–아인슈타인 식, 점성, 볼츠만 상수, 열운동, 병진 확산·회전 확산

원리 살펴보기

현미경으로 물에 띄운 1 마이크로미터짜리 알갱이를 보면, 아무도 건드리지 않는데 제자리에서 끊임없이 부들부들 떨며 아무 데로나 떠돈다. 이 떨림은 눈에 보이지 않는 물 분자들이 사방에서 초당 수십억 번 알갱이를 두들기기 때문이다. 두들김의 방향은 매 순간 제멋대로 어긋나서, 그때그때 남는 알짜 힘이 알갱이를 이리저리 밀어 술 취한 사람처럼 갈지자로 걷는 무작위 걸음을 만든다. 알갱이가 작고 가벼울수록 이 떨림은 더 크고 빠르게 보인다.

어디로 갈지는 도무지 알 수 없지만, 놀랍게도 ‘얼마나 퍼지는가’는 정확한 법칙을 따른다. 출발점에서 벗어난 거리의 제곱을 많은 알갱이에 대해 평균한 평균제곱변위 ⟨x²⟩는 시간에 정비례해 ⟨x²⟩ = 2Dt로 커진다(평면 영상에서 두 방향을 함께 보면 ⟨r²⟩ = 4Dt). 이 비례상수 D가 확산 계수다. 아인슈타인은 1905년 이 D를 알갱이 크기와 연결지었다 — 구형이라면D = kT / (6πηr)여서, 온도 T가 높고 물의 점성 η이 묽고 반지름 r이 작을수록 알갱이는 빠르게 퍼진다. 그래서 D 하나만 재도 눈에 안 보이는 분자 세계의 크기를 가늠할 수 있다.

크기만이 아니라 모양도 D를 바꾼다. 같은 부피라도 길쭉한 알갱이는 물을 헤치기 더 어려워 느리게 퍼지고, 나아가 긴 축과 짧은 축의 퍼지는 속도가 달라지며 스스로 도는 회전 확산까지 함께 나타난다(페랭 마찰 계수). 이 원리는 잉크·오염 물질이 번지는 속도 예측, 단백질·바이러스의 크기를 확산으로 재는 동적 광산란, 세포 안 물질 수송과 약물 전달 연구에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

광학 현미경(400배 이상)과 접안 CCD 카메라 또는 스마트폰 어댑터, 크기가 고른 폴리스티렌 마이크로구(지름 0.5~2 μm) 현탁액, 슬라이드글라스·커버글라스, 스포이트, 증류수, 눈금자 슬라이드, 입자추적 소프트웨어(ImageJ, Tracker), 온도계.

변인

독립변인은 알갱이의 반지름 r(그리고 모양)이다. 종속변인은 궤적에서 구한 확산 계수 D이다. 통제변인은 물의 온도와 점성, 현탁액 농도(알갱이끼리 부딪히지 않게 충분히 묽게), 촬영 프레임 간격·노출 시간과 배율, 관찰 깊이(바닥·표면에서 떨어진 곳)이다.

실험 순서

  1. 마이크로구 현탁액을 증류수에 아주 묽게 풀어 슬라이드글라스에 한 방울 얹고 커버글라스를 덮는다. 알갱이가 제자리에서 떠는 초점면을 찾는다(흐름이 있으면 잠시 기다린다).

  2. 한 알갱이를 골라 일정한 시간 간격(예: 0.1~0.5초)으로 수 분 동안 동영상으로 찍되, 노출 시간은 프레임 간격보다 충분히 짧게 둔다 — 길면 운동 흐림이 ⟨r²⟩를 깎아 절편이 4ε²보다 작아지거나 음수가 된다. 같은 배율로 눈금자 슬라이드를 찍어 픽셀당 실제 거리(μm)를 교정한다.

  3. ImageJ의 TrackMate나 Tracker로 프레임마다 좌표를 따내 궤적을 얻는다. 시간 간격 t마다의 변위를 제곱해 여러 구간·여러 알갱이로 평균하면 평균제곱변위 ⟨r²⟩다.

  4. 슬라이드에 달라붙어 움직이지 않는 알갱이를 같은 조건으로 찍어 위치 측정 오차를 먼저 재 두고, 한 시야의 여러 알갱이의 프레임별 평균 변위를 빼어 시야가 함께 흐르는 몫을 지운다(평균에 쓰는 알갱이는 열 개 이상으로 한다 — 적으면 참 변위의 1/N까지 함께 지워져 D가 그만큼 깎인다). ⟨r²⟩–t 직선은 원점을 지나도록 강제하지 말고 기울기만 읽어 확산 계수 D를 구한다. 지름이 다른 마이크로구로 같은 과정을 반복해 D가 크기에 따라 어떻게 변하는지 모은다.

  5. 막대 모양이나 두 구가 붙은 길쭉한 알갱이로도 같은 측정을 해, 부피가 비슷한 구와 D를 견준다.

안전 안내

⚠ 안전

마이크로구 현탁액과 증류수는 먹지 말고, 다룬 뒤 손을 씻는다. 커버글라스·슬라이드글라스의 깨진 모서리에 베이지 않도록 조심한다. 현미경 조명이 뜨거워질 수 있으니 오래 켜 두지 않고, 강한 램프를 눈으로 직접 들여다보지 않는다. 쓰고 난 시료는 정해진 방법으로 버린다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

알갱이의 반지름을 절반으로 줄이면 확산 계수 D는 커질까 작아질까, 몇 배가 될까? 그리고 같은 부피라도 공 모양 대신 길쭉한 모양이면 더 빨리 퍼질까 느리게 퍼질까?

자료 정리

알갱이마다 ⟨r²⟩–t 그래프의 기울기에서 D를 구하고 절편이 따로 잰 4ε²와 맞는지 확인한 뒤 표로 모으고, 가로축을 1/r로 하여 D를 그린다. 아인슈타인 관계가 맞으면 원점을 지나는 직선이 되고, 그 기울기 kT/(6πη)에서 거꾸로 볼츠만 상수를 어림해 볼 수도 있다. 모양이 다른 알갱이는 부피가 비슷한 구와 D를 나란히 비교한다.

결과의 의미

구형 알갱이의 D는 1/r에 비례하는 직선을 그릴 것으로 예상된다 — 작은 알갱이일수록 눈에 띄게 빨리 퍼진다. 여기서 핵심은 제멋대로인 개별 운동에서 정확한 물리량인 확산 계수가 걸러져 나온다는 점이다. 아인슈타인 관계가 맞으면 눈에 보이는 알갱이의 춤에서 눈에 안 보이는 물 분자의 존재와 크기(볼츠만 상수)까지 읽어 낼 수 있는데, 바로 이것이 페랭이 원자의 실재를 증명한 방식이다. 길쭉한 알갱이가 같은 부피의 구보다 느리게 퍼진다면, 확산이 크기뿐 아니라 모양에도 민감함을 눈으로 확인한 것이다.

더 탐구하기

  1. 물에 설탕·글리세린을 조금 섞어 점성 η을 바꾼 뒤, D가 점성에 반비례하는지 확인해 보자.

  2. 시료의 온도를 바꿔 가며 D를 재어, 절대온도 T에 비례해 커지는지 살펴보자.

  3. 길쭉한 알갱이가 도는 정도(회전 확산)를 영상에서 재어, 곧게 나아가는 병진 확산과 어떻게 다른지 비교해 보자.

연결 주제

같은 해 문제 2 ‘긁힘홀로그램’은 다루는 원리는 다르지만, 현미경·스마트폰으로 미세 구조를 촬영하고 영상에서 크기를 재는 측정 도구를 공유한다. 여기서 익힌 입자 추적·평균제곱변위 분석은 미세 입자의 운동을 다루는 다른 탐구에 그대로 옮겨 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘브라운 운동’·‘아인슈타인 관계’·‘스토크스 법칙’·‘페랭 마찰 계수(Perrin friction factors)’(문제 배경 자료, 확산 계수와 크기·모양의 관계를 개관) / 입자 추적은 ImageJ의 TrackMate 플러그인이나 Tracker 매뉴얼 참고 / [심화] A. Einstein, “Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung…”, Ann. Phys. 17, 549–560 (1905) (확산 계수·평균제곱변위를 분자운동론으로 유도) · J. Perrin, “Mouvement brownien et réalité moléculaire”, Ann. Chim. Phys. 8e série 18, 5–114 (1909) (현미경 관찰로 아인슈타인 관계를 검증하고 아보가드로수를 구함) · P. Nakroshis, M. Amoroso, J. Legere, C. Smith, “Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion,” Am. J. Phys. 71(6), 568–573 (2003), DOI 10.1119/1.1542619 (폴리스티렌 구를 영상 추적해 ⟨x²⟩=2Dt에서 k≈1.4×10⁻²³ J/K 측정 — 이 탐구의 방법 표준) · R. Newburgh, J. Peidle, W. Rueckner, “Einstein, Perrin, and the reality of atoms: 1905 revisited,” Am. J. Phys. 74(6), 478–481 (2006), DOI 10.1119/1.2188962 (CCD 카메라로 페랭 실험을 손쉽게 재현) · Y. Han, A. M. Alsayed, M. Nobili, J. Zhang, T. C. Lubensky, A. G. Yodh, “Brownian Motion of an Ellipsoid,” Science 314, 626–630 (2006), DOI 10.1126/science.1130146 (타원체의 병진·회전 확산이 방향에 따라 다름을 영상 현미경으로 측정 — 모양 의존성). ※ 학교 현미경으로 구형 입자의 D가 1/r에 비례함은 재현할 수 있으나, 비구형 입자의 병진·회전 확산을 분리해 재는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.

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