왜 흐름은 원이 아니라 손가락으로 번질까 — 점성 손가락(Viscous fingering)

탐구 주제

IYPT 2012 문제 11 ‘Flat flow’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2012 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 특성」(점성 등 물질의 성질) · 「여러 가지 힘」(압력) / 고등학교 통합과학1 · 과학탐구실험1(측정과 오차·패턴 관찰) / 물리학 · 진로선택 「역학과 에너지」(유체의 압력과 흐름) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

점성, 점성비, 표면장력·계면장력, 헬레-쇼 셀(Hele-Shaw cell), 점성 손가락, 새프먼-테일러 불안정, 다르시 법칙, 압력 기울기, 유효 2차원 흐름, 계면 불안정, 손가락 폭, 가지치기(tip-splitting), 주입 유량, 셀 간극, 모세관 수(섞이지 않는 짝 전용), 페클레 수, 라플라스 성장, 섞이는·섞이지 않는 액체

원리 살펴보기

가운데 구멍으로 액체를 밀어 넣으면 왜 흐름은 동그란 원이 아니라 손가락처럼 갈라져 번질까? 두 판 사이의 얇은 틈에서 액체는 흙 속을 스미는 물처럼 흐른다 — 빠르기가 압력 기울기에 비례하고(다르시 법칙), 위아래로 갇혀 있어 위에서 보면 사실상 2차원 평면 흐름이 된다. 이때 밀어 넣는 액체가 밀려나는 액체보다 묽으면(점성이 작으면), 경계에 생긴 작은 혹이 앞의 되직한 액체 쪽으로 삐져나가고, 그 앞은 압력 기울기가 더 가팔라 혹이 더 빨리 앞서 나간다. 그래서 삐져나온 혹은 스스로 자라 손가락이 되고, 매끈해야 할 경계가 갈래갈래 갈라진다. 물로 꿀을 밀어내는 장면을 떠올리면 된다.

무엇이 손가락의 굵기와 개수를 정할까? 여기에는 서로 맞서는 두 힘이 있다. 점성 대비는 작은 요철을 손가락으로 키워 불안정을 부추기고, 잔주름을 지워 손가락을 굵게 다듬는 쪽은 두 액체가 섞이는지에 따라 갈린다 — 섞이지 않는 짝에서는 계면장력이, 이 실험의 기본 짝처럼 섞이는 짝에서는 확산이 그 일을 한다. 이 줄다리기가 손가락의 폭을 정하므로, 주입을 빠르게 하거나 점성비를 키우면 손가락이 가늘어지고 끝이 둘로 쪼개지며(가지치기) 나뭇가지 같은 무늬로 번진다. 결정적으로, 점성이 큰 액체를 묽은 액체 속으로 밀어 넣으면 경계는 매끈한 원으로 퍼진다 — 순서만 뒤바꿔도 안정과 불안정이 갈리는 셈이다.

이 손가락 무늬는 겉보기와 달리 산업의 골칫거리이자 열쇠다. 석유 회수(묽은 물이 되직한 기름을 손가락처럼 뚫고 먼저 빠져나가 기름을 남기는 것이 회수율을 떨어뜨린다 — 새프먼·테일러가 파고든 이유다), 인쇄·코팅(롤러 사이 잉크가 갈라지는 결무늬를 다스려 인쇄 품질을 지킨다), 크로마토그래피(컬럼에서 시료가 번지면 성분 분리가 흐려진다), 이산화탄소 지중 저장(CO₂를 대수층에 밀어 넣을 때 손가락 흐름이 저장 효율과 안전을 좌우한다)에 두루 닿아 있다.

실험 설계

준비물

투명한 아크릴판(또는 유리판) 두 장, 얇은 스페이서(약 1 mm, 와셔·양면테이프·얇은 플라스틱), 위판 중앙에 미리 뚫은 작은 구멍, 집게(클램프), 점성이 큰 투명 액체(글리세린·물엿. 투명 헤어젤은 항복응력이 있어 무늬가 달라지므로 심화용), 뭉툭한 팁을 단 주사기와 연결 튜브, 식용색소를 탄 물(점성이 작은 주입 액체), 스마트폰(위에서 촬영), 모눈 배경지와 자.

변인

독립변인은 구멍으로 밀어 넣는 주입 유량이다(주사기 눈금과 영상 시각으로 확인한 평균 유량으로 적고, 한 번에 하나씩 바꾼다). 종속변인은 무늬의 손가락 개수와 평균 손가락 폭·간격(이웃 손가락 사이 파장), 끝이 갈라지는 가지치기 횟수, 그리고 무늬의 유형(매끈하게 퍼지는 원인가, 손가락으로 갈라지는가)이다. 통제변인은 두 액체의 종류와 점성, 셀 간극(스페이서 두께), 구멍 지름, 판의 크기와 수평 상태, 온도이다. 점성비와 셀 간극은 다음 단계에서 하나씩 바꿔 가며 조사한다.

실험 순서

1. 투명 아크릴판 두 장 사이에 약 1 mm 스페이서를 끼워 얇고 일정한 틈을 만들고(위판에는 중앙에 작은 구멍을 미리 뚫어 둔다), 판이 수평이 되도록 받침을 맞춘 뒤 집게로 고정한다.

2. 틈을 점성이 큰 투명 액체(글리세린·물엿)로 가득 채우되, 기포가 남지 않도록 한쪽에서 천천히 밀어 넣는다.

3. 주사기에 식용색소를 탄 물(점성이 작은 액체)을 담아 구멍에 연결하고, 일정한 속도로 밀어 넣으며 무늬가 퍼지는 모습을 바로 위에서 모눈 배경과 함께 연속 촬영한다. 주사기 눈금과 영상 시각을 함께 읽어 시행마다 평균 주입 유량 Q =(밀어 넣은 부피)÷(걸린 시간)을 구해 적는다 — 손으로 미는 속도는 눈금으로 확인하기 전까지 독립변인이 아니다.

4. 주입 유량을 몇 단계로 바꿔 가며, 손가락 개수·평균 폭과 끝의 가지치기 횟수를 조건마다 3회씩 측정한다.

5. 채우는 액체의 점성(글리세린 농도)과 스페이서 두께(셀 간극)를 바꿔 앞 단계를 반복한다.

6. 반대로 점성이 큰 액체를 점성이 작은 액체 속으로 밀어 넣어, 무늬가 손가락 없이 매끈한 원으로 퍼지는지 대조한다.

안전 안내

유리판은 깨지기 쉬우니 되도록 아크릴판을 쓰고, 판을 조이거나 옮길 때 모서리와 뚫은 구멍의 날카로운 가장자리에 손이 베이지 않도록 한다. 구멍은 어른의 도움을 받아 뚫는다. 글리세린·물엿·식용색소는 대체로 무해하지만 바닥에 흘리면 매우 미끄러우니 즉시 닦는다. 주사기는 바늘 대신 뭉툭한 팁을 쓰고, 갑자기 세게 밀어 액체가 튀지 않도록 천천히 다룬다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

점성이 작은 색소 물을 점성이 큰 액체 속으로 밀어 넣으면 경계는 매끈한 원으로 퍼질까, 아니면 손가락처럼 갈라질까? 그리고 두 액체의 점성 순서를 뒤바꾸면 무늬는 어떻게 달라질까?

자료 정리

주입 유량(또는 점성비·셀 간극)을 가로축, 손가락 개수나 평균 손가락 폭을 세로축으로 삼아 경향 그래프를 그린다. 무늬 유형(매끈한 원·굵은 손가락·잘게 갈라진 가지)을 조건별로 분류해 「점성비–주입 유량」 상태 그림으로 정리한다. 점성이 큰 액체를 밀어 넣은 대조 실험도 같은 그림에 겹쳐 경계를 비교한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

매끈하게 퍼지리라는 소박한 예상과 달리, 점성이 작은 액체를 큰 액체 속으로 밀어 넣으면 경계는 손가락처럼 갈라질 것으로 예상된다. 이 갈라짐을 정하는 것은 점성 대비와, 요철을 지우는 쪽의 줄다리기다 — 지우는 쪽은 섞이지 않는 짝에서는 계면장력, 섞이는 짝에서는 확산이다. 주입을 빠르게 하거나 점성비를 키우면 손가락이 가늘어지고 끝이 갈라지며(가지치기), 반대로 점성이 큰 액체를 밀어 넣으면 경계는 매끈한 원으로 퍼진다 — 밀어 넣는 순서만 바꿔도 안정과 불안정이 뒤바뀐다는 것이 이 문제의 핵심이다. 섞이는 짝과 섞이지 않는 짝을 견주면 이 ‘지우는 힘’이 바뀌면서 무늬의 성격이 또 달라지는 것도 확인할 수 있다.

더 탐구하기

1. 기본 짝(색소 물↔글리세린)은 섞이는 조합이니, 섞이지 않는 조합(물↔식용유)으로도 해 보고 확산이 지울 때와 계면장력이 지울 때 무늬가 어떻게 달라지는지 비교해 보자.

2. 주입 액체로 공기를 써서 점성비를 극단으로 키우면, 손가락이 얼마나 가늘어지고 잘게 갈라지는지 관찰해 보자.

3. 주입 속도를 일정하게 유지하지 말고 중간에 멈췄다 다시 밀어(단속 주입) 손가락의 갈라짐을 억제할 수 있는지 시험해 보자.

4. 판 사이에 얇은 홈을 새기거나 판을 살짝 기울여, 판의 거칠기·기울기가 손가락 무늬의 방향과 개수를 어떻게 바꾸는지 살펴보자.

연결 주제

같은 해 문제 16 ‘떠오르는 기포(Rising bubble)’(점성이 큰 액체 속을 오르는 큰 공기 방울의 운동) — 글리세린 같은 점성 액체를 다루고 액체 속 경계를 촬영해 분석하므로, 점성 액체 준비와 영상 측정법을 이어 쓸 수 있다. 다만 그쪽은 부력에 의한 상승, 이쪽은 주입에 의한 계면 불안정으로 물리의 핵심은 다르다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘헬레-쇼 흐름(Hele-Shaw flow)’·‘점성 손가락(viscous fingering)’(2차원 셀 흐름과 불안정 개념) / 영상 검색어 “viscous fingering Hele-Shaw cell”, “점성 손가락 실험” / [심화] P. G. Saffman, G. I. Taylor, “The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid,” Proc. R. Soc. Lond. A 245, 312–329 (1958), doi:10.1098/rspa.1958.0085 — 점성이 큰 액체를 덜 점성인 액체로 밀어낼 때의 새프먼-테일러 불안정 원논문 · L. Paterson, “Radial fingering in a Hele Shaw cell,” J. Fluid Mech. 113, 513–529 (1981), doi:10.1017/S0022112081003613 — 가운데 구멍으로 주입해 손가락이 방사상으로 자라는, 이 문제와 꼭 같은 기하를 분석(섞이지 않는 짝. 손가락 개수가 주입 유량·점성·계면장력에 어떻게 의존하는지 제시) · L. Paterson, “Fingering with miscible fluids in a Hele Shaw cell,” Phys. Fluids 28, 26–30 (1985), doi:10.1063/1.865195 — 섞이는 짝의 원형 셀 실험으로 손가락의 파장(이웃 손가락 사이 간격) λ가 판 사이 간극 b의 약 4배(λ≈4b)임을 예측·확인 · G. M. Homsy, “Viscous Fingering in Porous Media,” Annu. Rev. Fluid Mech. 19, 271–311 (1987), doi:10.1146/annurev.fl.19.010187.001415 — 안정성·손가락 폭·섞임 여부로 정리한 표준 리뷰. ※ 문헌은 이상적인 셀을 다루므로, 학교에서 만든 아크릴 셀의 간극 오차와 판 거칠기가 손가락 개수·가지치기에 주는 영향을 정량화하는 일이 이 탐구의 개방 지점이다.