수영장 바닥의 빛 그물 — 밝은 물결

탐구 주제

IYPT 2012 문제 5 ‘Bright waves’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2012 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(빛의 굴절, 파동의 파장·진동수·진폭) / 고등학교 물리학 「빛과 물질」(굴절) · 과학탐구실험1(측정과 탐구) / 진로선택 「전자기와 양자」(빛의 굴절·반사), 「역학과 에너지」(파동·표면파) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

빛의 굴절, 스넬 법칙, 파면 곡률, 렌즈 효과(집속), 초점 심도, 커스틱(caustic·초선), 접선 포락선, 첨점(cusp) 특이점, 카타스트로피 광학, 표면파, 중력–모세관파, 파장, 진동수, 진폭, 파형 급경사도(steepness), 분산 관계, 수심, 명암 대비, 물결파 투영 장치(리플 탱크)

원리 살펴보기

맑은 날 수영장 바닥에는 왜 그물처럼 얽힌 밝은 무늬가 끊임없이 일렁일까? 잔잔한 수면은 빛을 곧게 통과시키지만, 물결이 일면 표면이 오르내리는 곡면이 된다. 빛이 이 곡면을 지나며 굴절될 때(스넬 법칙), 볼록하거나 오목하게 휜 곳마다 표면은 하나하나가 약한 렌즈처럼 작용해 빛살의 방향을 조금씩 틀어 준다. 그래서 어떤 자리에서는 이웃한 빛살들이 한데 모여 바닥에 밝은 선을 긋고 그 사이는 빛이 성겨져 어두워진다 — 이렇게 빛살이 겹쳐 쌓여 만드는 밝은 포락선을 커스틱(caustic·초선)이라 부른다. 수면의 물결이 움직이면 이 렌즈들의 배치가 시시각각 바뀌므로, 바닥의 밝은 그물도 함께 춤춘다.

그렇다면 물결의 무엇이 무늬의 무엇을 정할까? 세 가지가 맞물린다. 첫째, 밝은 무늬가 되풀이되는 주기는 물결의 파장을 따라가, 파장이 짧아질수록(진동수를 높일수록) 무늬도 촘촘해진다. 다만 한 파장 안에 밝은 선이 둘 생길 수 있어, 이웃한 두 선의 간격이 곧 파장인 것은 아니다. 둘째, 밝은 선이 또렷한 초점으로 맺히려면 물탱크가 어떤 초점 심도보다 깊어야 하는데, 이 초점 심도는 파장이 길수록 깊어지고 물결이 가팔라질수록(진폭이 클수록) 얕아진다. 그래서 얕은 물이나 완만한 물결에서는 흐릿한 명암만, 깊은 물이나 가파른 물결에서는 뾰족한 첨점(cusp)을 가진 밝은 선이 나타난다. 셋째, 한 방향 물결은 나란한 밝은 줄무늬를, 서로 어긋난 두 물결은 첨점이 촘촘히 박힌 2차원 그물을 만든다. 수심을 더 키우면 밝은 선들이 자꾸 겹쳐 이론적으로는 프랙탈에 가까운 복잡한 그물로 치닫는다.

물결이 빛을 엮는 이 재주는 물놀이 밖에서도 일한다. 컴퓨터 그래픽스·영화 CG(수영장·바닷속 장면의 커스틱을 물리적으로 계산해 실감을 낸다), 커스틱 광학 설계(투명판의 곡면을 거꾸로 깎아 햇빛을 원하는 그림으로 맺게 하는 “매직 윈도”를 만든다), 해양 원격탐사(수면 잔물결이 햇빛을 윤슬로 바꾸는 정도에서 바람·파랑의 세기를 위성으로 읽는다), 광학 검사(렌즈·유리판의 굴절 결함을 커스틱 무늬의 일그러짐으로 잡아낸다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

투명한(또는 흰 바닥) 물탱크·수조, 물결을 일으킬 물결파 투영 장치(리플 탱크)의 진동 막대나 작은 진동 모터·스피커 진동판(또는 손가락·스포이트·떨리는 자로 대신), 밝은 점광원 하나(스탠드 전등·스마트폰 손전등, 또는 맑은 날 햇빛), 흰 스크린이나 흰 종이(유리 바닥 탱크의 아래 받침), 스마트폰(사진·고속 촬영), 자와 모눈 배경지, (선택) 물결을 멈춰 보이게 할 스트로보스코프 앱, 파형을 눈에 띄게 할 색소나 부유 가루.

변인

독립변인은 물결을 일으키는 가진 진동수(이 값이 물결의 파장을 정한다)와 진동 진폭, 그리고 물의 깊이이다(한 번에 하나만 바꾼다). 종속변인은 탱크 바닥의 무늬가 되풀이되는 주기, 명암 대비, 그리고 뾰족한 밝은 첨점이 처음 또렷해지는 물 깊이(초점 심도)이다. 통제변인은 점광원의 높이·각도와 밝기, 광원–수면–바닥 사이의 거리, 탱크의 크기, 물의 맑기(기름막·티끌 제거), 그리고 어두운 실내 조명 조건이다.

실험 순서

1. 흰 바닥(또는 유리 바닥 아래에 흰 종이를 깐) 물탱크를 준비하고, 위에서 밝은 점광원 하나로 고르게 비춰 잔잔한 수면일 때 바닥이 균일하게 밝은 상태를 만든다 — 이것이 물결이 없는 기준이다.

2. 물결파 투영 장치의 진동 막대(또는 스포이트·떨리는 자)로 일정한 진동수·진폭의 곧은 물결을 일으키고, 바닥에 나타난 밝고 어두운 그물을 스마트폰으로 촬영한다. 스트로보스코프 앱으로 물결을 멈춰 보이게 하면 파장을 재기 쉽다.

3. 진폭을 고정한 채 가진 진동수를 단계적으로 바꾸며(그때마다 자·스트로보로 물결의 파장을 따로 잰다), 무늬가 되풀이되는 주기와 또렷함이 어떻게 달라지는지 기록한다(조건마다 3회).

4. 이번에는 진동수를 고정하고 진폭을, 다음에는 물의 깊이를 바꾸며, 흐릿한 명암이 뾰족한 첨점을 가진 밝은 선으로 바뀌는 문턱(초점 심도)을 찾는다.

5. 진동 막대 두 개(또는 벽에 반사시킨 물결)로 서로 어긋난 두 물결을 겹쳐, 한 방향 물결의 나란한 줄무늬가 첨점이 박힌 2차원 그물로 바뀌는 모습을 앞의 무늬와 견준다.

안전 안내

물과 전기 기구(전등·진동 모터·스피커·전원)를 함께 쓰므로 감전에 주의한다 — 배선과 전원부는 수조에서 멀리 두고 물이 튀지 않게 하며, 젖은 손으로 전원을 만지지 않는다. 가능하면 건전지·USB 같은 저전압으로 구동하고, 물이 튀면 즉시 전원을 끈다. 유리 수조는 모서리와 깨짐에 주의해 다루고, 밝은 전등은 오래 켜면 뜨거워지므로 종이·손이 닿지 않게 한다. 점광원을 눈으로 직접 오래 바라보지 말고, 햇빛을 쓸 때도 반사광을 정면으로 응시하지 않는다. 흘린 물은 바로 닦아 미끄러짐을 막는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

물결의 파장을 짧게(진동수를 높게) 하면 바닥의 밝은 그물은 더 촘촘해질까, 성글어질까? 그리고 물결을 더 가파르게(진폭을 크게) 하면, 뾰족한 밝은 선은 더 얕은 물에서도 맺힐까?

자료 정리

가로축을 물결의 파장, 세로축을 무늬가 되풀이되는 주기로 하여 두 값이 함께 커지는지(비례 경향)를 그래프로 확인한다 — 이웃한 두 선의 간격이 아니라 같은 무늬가 되돌아오는 거리를 여러 주기에 걸쳐 재어 나눈다. 또 가로축을 진폭(또는 파형 급경사도), 세로축을 첨점이 또렷해지는 초점 심도로 하여, 물결이 가파를수록 초점이 얕아지는 경향을 살핀다(이론적으로는 초점 심도 ∝ 파장²/진폭의 대략적 경향이 예상되므로 그 개형과 비교한다). 다만 밝은 무늬는 수면 모양을 그대로 베낀 그림이 아니라 굴절된 빛살의 포락선이므로, 무늬만 보고 물결의 모양을 거꾸로 읽어내기는 어렵다는 점에 유의한다(수치는 실제 측정으로 채우고, 여기서는 축과 개형만 제시한다).

결과의 의미

무늬가 되풀이되는 주기는 물결의 파장을 따라 촘촘해지고, 초점이 또렷한 밝은 첨점은 물탱크가 초점 심도보다 깊을 때 — 즉 물결이 가파르거나 물이 깊을 때 — 비로소 나타날 것으로 예상된다. 이는 바닥의 밝은 그물이 물결의 ‘사진’이 아니라, 굽은 수면이 렌즈처럼 빛을 모아 그린 커스틱 — 굴절된 빛살들의 포락선 — 임을 확인하는 지점이다. 그래서 무늬는 수면의 곡률을 비선형으로 확대해 보여 주며, 파장·진폭·수심이라는 세 손잡이가 주기·대비·첨점의 출현을 함께 조율한다. 두 물결이 첨점 박힌 그물을 만들고 수심을 키울수록 겹겹이 복잡해지는 모습까지 확인하면, 수영장 바닥의 흔한 무늬가 카타스트로피 광학의 교실판임을 알게 된다.

더 탐구하기

1. 점광원을 빨강·파랑 두 색으로 바꿔, 물의 굴절률이 색에 따라 달라지는 만큼 밝은 무늬가 어긋나는지(색수차) 살펴보자.

2. 빛이 수면을 통과해 바닥에 맺는 굴절 커스틱 대신, 수면에서 반사되어 천장·벽에 맺는 반사 커스틱을 나란히 만들어 두 무늬를 비교해 보자.

3. 한 방향의 곧은 평면파, 점에서 퍼지는 원형파, 여러 물결이 뒤섞인 불규칙한 수면을 각각 만들어, 나란한 줄무늬·동심 고리·복잡한 그물로 무늬가 어떻게 갈리는지 정리해 보자.

4. 깊은 물탱크에서 밝은 선들이 자꾸 겹쳐 갈라지는 복잡한(프랙탈에 가까운) 그물이 나타나는지 관찰하고, 얕은 물의 단순한 무늬와 견주어 보자.

연결 주제

IYPT 2016 문제 10 ‘물줄기 빛의 고리(Light Rings)’(물리_2016_10) — 굽은 물 표면이 빛을 굴절시켜 스크린에 밝은 커스틱을 맺고 그 무늬를 촬영해 표면의 기하와 잇는다는 광학의 뿌리가 똑같다(두 색 광원으로 색에 따른 변화를 살피는 아이디어도 공유한다). 다만 그쪽은 정지한 원통형 물기둥이 만드는 고정된 고리이고, 이쪽은 움직이는 물결이 만드는 춤추는 그물이다. 또 IYPT 2016 문제 9 ‘물결이 만드는 표류(Water Waves)’(물리_2016_09)와는 수조에 진동 막대로 곧은 물결을 일으켜 파장·진폭을 재는 물결파 투영 장치(리플 탱크)를 똑같이 쓴다 — 그 장치를 그대로 두고 위에서 빛만 비추면 이 실험이 된다.

참고문헌

[학생] 영국물리학회 IOPSpark ‘Measuring waves in a ripple tank’(spark.iop.org) — 물결 하나하나가 렌즈처럼 빛을 모아 밝은 선을 긋는 학교 표준 장치 / 하버드 물리 시연 ‘Ripple Tank Wave Phenomena’(harvard.edu 과학시연) / 위키백과 ‘Caustic (optics)’ / 영상 검색어 “swimming pool caustics”, “물결 커스틱”. [심화] C. Upstill, "Light caustics from rippling water," Proc. R. Soc. Lond. A 365(1720), 95–104 (1979), doi:10.1098/rspa.1979.0008 — 물결 수면을 두 평면파로 모형화해 커스틱을 계산하고 리플 탱크·홈판 유리로 실측한 이 현상의 정면 연구(흔히 보이는 무늬 속의 미세 구조를 드러냄). / J. V. Hajnal, R. H. Templer, C. Upstill, "A ripple tank for studying optical caustics and diffraction," Eur. J. Phys. 5(2), 81–87 (1984), doi:10.1088/0143-0807/5/2/004 — 학교 리플 탱크로 커스틱을 정량 연구하고, 무늬만으로 수면을 역추론할 때의 오류를 경고(이 원고 설계·개방 지점의 근거). / M. V. Berry, C. Upstill, "Catastrophe optics: morphologies of caustics and their diffraction patterns," Progress in Optics 18, 257–346 (1980), doi:10.1016/S0079-6638(08)70215-4 — 안정한 커스틱(주름·첨점 등)의 분류와 회절 무늬를 세운 표준 이론. / J. F. Nye, Natural Focusing and Fine Structure of Light: Caustics and Wave Dislocations, IOP Publishing (1999), ISBN 978-0-7503-0610-2 — 수영장 바닥의 무늬를 수학적으로 분석한 자연광 초점화의 결정판. ※ 커스틱 광학 자체는 교과서급 정설이지만, 자작 리플 탱크·스마트폰으로 파장 대 무늬 주기와 초점 심도 대 진폭(∝ 파장²/진폭 경향)을 정량 교정한 자료는 한데 정리돼 있지 않고, 무늬에서 수면을 거꾸로 읽는 역문제도 까다롭다 — 그 교정과 역문제가 개방 지점이다(파일럿 미수행).