물 한 겹이 밟는 브레이크 — 컵 회전목마

탐구 주제

IYPT 2009 문제 6 ‘Roundabout’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2009 공식 문제 보기

이 원고는 개정 후 재검증 대기 상태입니다. 문헌에 바탕을 둔 탐구 설계이며, 직접 수행한 실험 결과가 아닙니다.

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(마찰력 등 여러 가지 힘) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학 시스템), 과학탐구실험1(다양한 도구를 활용한 측정과 해석) / 물리학 「힘과 에너지」(뉴턴 운동 법칙·돌림힘) · 진로선택 「역학과 에너지」(회전 운동 — 점성 유체는 교육과정 밖 심화) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

점성, 전단 응력(shear stress), 점착 조건(no-slip), 쿠에트 흐름(Couette flow), 윤활 근사, 속도 구배, 돌림힘, 회전 관성, 각속도, 지수 감쇠, 반감 시간, 레이놀즈 수, 스퀴즈 막(squeeze film), 메니스커스

원리 살펴보기

컵을 돌렸을 때 컵을 붙잡는 것은 바닥이 아니라 그 사이에 낀 액체다. 액체는 맞닿은 면에 들러붙는다(점착 조건). 층의 맨 아래는 바닥에 붙어 멈춰 있고 맨 위는 컵을 따라 도니, 그 사이 액체는 카드 다발을 비스듬히 밀어 펼치듯 층층이 미끄러진다. 이렇게 두 면 사이에 일정한 속도 구배가 서는 흐름이 쿠에트 흐름이고, 이 미끄러짐에 저항하는 성질이 점성이다. 그 저항이 컵 바닥 전체에 깔려 회전을 거스르는 돌림힘이 된다.

브레이크의 세기는 무엇이 정할까. 층이 얇을수록 같은 속도 차가 좁은 틈에 몰려 미끄러짐이 가팔라지므로, 층이 얇을수록, 그리고 액체가 끈끈할수록 감속은 빨라진다. 컵 바닥 반지름의 효과는 유난히 세다 — 바깥쪽일수록 더 빨리 움직이고, 지렛대 팔이 길고, 고리 면적까지 넓어 세 효과가 겹치며 돌림힘은 반지름의 네제곱 경향으로 자란다. 다만 컵 아래의 틈은 우리가 부은 층 두께가 아니다 — 컵은 뜨지 못하고 액체를 옆으로 밀어내며 가라앉아, 틈은 컵의 무게와 액체의 점도, 기다린 시간, 그리고 바닥 반지름이 함께 정한다. 바닥이 넓으면 액체가 빠져나가기 어려워 틈도 함께 두꺼워지므로, 실제로 재게 되는 반지름 의존은 네제곱보다 한참 약해진다. 게다가 저항 돌림힘이 각속도에 비례하므로, 회전은 일정 시간마다 같은 비율로 줄어드는 지수 감쇠를 보일 것이다.

이 얇은 막의 물리는 산업의 급소다. 미끄럼 베어링·엔진 윤활(회전축을 기름 막이 떠받쳐 마모를 막고, 점성 돌림힘은 손실이 된다), 회전 점도계(원리를 거꾸로 써서 돌림힘으로 액체의 점도를 잰다), 하드디스크 공기 베어링(헤드가 나노미터 두께 공기 막 위에 떠서 미끄러진다), 스핀 코팅(웨이퍼를 돌려 액체 막을 마이크로미터 두께로 고르게 편다)에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

바닥이 매끈한 플라스틱 컵 여러 개(바닥 지름이 다른 것 포함), 평평한 트레이 또는 테두리 있는 유리판, 수평계, 주사기(부피 계량), 물과 농도별 설탕물, 스마트폰(240 fps 고속 촬영), 표식 테이프, 동전 여러 개(추가 하중), 자, 온도계.

변인

독립변인은 액체의 점도(설탕물 농도), 컵을 올려놓고 돌리기 전까지 기다리는 시간, 컵에 더한 하중, 그리고 컵 바닥의 반지름이다 — 부은 층 두께가 아니라 이 넷이 컵 아래 실제 틈 두께를 정한다. 종속변인은 각속도가 절반으로 줄어드는 데 걸리는 반감 시간이다. 통제변인은 바닥면의 종류, 액체의 온도, 트레이에 붓는 층의 명목 두께(바닥이 마르지 않게 덮는 값으로 고정)이며, 컵의 종류와 바닥 지름은 한 번에 하나씩만 바꾼다.

실험 순서

1. 트레이를 수평계로 수평을 맞추고, 주사기로 잰 부피의 물을 부어 바닥 전체를 덮는 층을 만든다 — 부피를 트레이 바닥 넓이로 나눈 값은 부은 층의 명목 두께일 뿐, 컵 아래 실제 틈은 이보다 훨씬 얇다.

2. 옆면에 세로 표식을 붙인 컵을 한가운데 올려놓고 정한 시간(예: 10 초)을 기다린 뒤, 손목으로 가볍게 비틀어 돌리고 바로 위에서 240 fps로 촬영한다.

3. 영상에서 표식이 한 바퀴 도는 데 걸린 프레임 수로 시간에 따른 각속도를 읽어, 컵이 멎을 때까지 추적한다. 같은 조건에서 3회 반복한다.

4. 올려놓고 기다리는 시간을 3초·10초·30초·60초로 바꾸며 같은 측정을 반복하고, 이어서 설탕물 농도로 점도를 세 단계로 바꿔 되풀이한다. 마지막으로 붓는 부피를 두 배로 늘려 한 번 더 재어, 결과가 실제로 거의 달라지지 않는지 확인한다.

5. 컵 안 한가운데에 동전을 겹쳐 쌓아 무게를 늘린 조건을 비교한다 — 옆으로 벌려 놓으면 회전 관성이 함께 커져 효과가 상쇄되므로 회전축에 최대한 붙인다. 마지막으로 바닥 지름이 다른 컵으로 바꿔 같은 측정을 되풀이한다.

안전 안내

유리판을 쓸 경우 모서리를 테이프로 감싸 베임을 막는다. 바닥에 흘린 물·설탕물은 미끄러짐 사고의 원인이므로 바로 닦는다. 그 밖의 큰 위험은 없는 실험이다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

컵을 올려놓고 오래 기다렸다 돌리면 더 빨리 멈출까, 더 천천히 멈출까? 끈끈한 설탕물 위에서는 어느 쪽일까?

자료 정리

조건별 시간–각속도 그래프를 그리고, 세로축을 로그로 바꿔 직선이 되는지 본다 — 직선이면 지수 감쇠이고 기울기가 감쇠율이다. 지수 감쇠라면 반감 시간은 처음 얼마나 세게 돌렸는지와 무관하므로, 손으로 돌려 시작 속도가 조금씩 달라도 비교가 성립하는지부터 확인한다. 이어서 감쇠율을 점도·기다린 시간·하중에 대해 각각 그려 경향을 읽고, 점도와 기다린 시간을 곱한 것의 제곱근에 대해서도 그려 본다 — 눌려 얇아지는 막의 이론이 맞다면 이쪽이 더 곧게 늘어선다. 하중 계열은 회전 관성이 함께 바뀌므로 이 그래프에 섞지 말고 따로 정리한다.

결과의 의미

오래 기다렸다 돌릴수록, 액체가 끈끈할수록 빨리 멈추고, 바닥이 넓은 컵이 눈에 띄게 빨리 서는 경향이 예상된다. 부은 층을 두 배로 늘려도 결과가 거의 달라지지 않는다면, 그것이 바로 컵 아래 틈이 부은 층과 다르다는 증거다. 로그 그래프의 직선은 저항 돌림힘이 각속도에 비례한다는 뜻으로, 얇은 층의 점성 전단이 이 브레이크의 정체라는 직접 증거다. 동전으로 무게만 늘렸는데 감속이 빨라진다면, 그것은 이 해석의 강한 증거가 된다 — 동전은 회전 관성도 함께 키워 감속을 늦추는 쪽으로 작용하는 데다 점성 공식에는 무게가 들어 있지 않으므로, 그럼에도 빨라졌다면 무게가 막을 눌러 얇게 만들었다고 읽을 수밖에 없다. 세게 돌린 초반이 직선을 벗어나거나 마지막에 지수 꼬리 없이 뚝 멈춘다면, 그것은 오차가 아니라 관성 흐름·가장자리 접촉 같은 다른 물리가 끼어든 신호다.

더 탐구하기

1. 같은 컵을 액체 없는 마른 바닥에서 돌려 감속 곡선의 개형을 비교해 보자 — 고체 마찰이면 각속도가 직선으로, 점성 마찰이면 지수로 줄어들어 곡선의 모양이 마찰의 종류를 구별해 준다.

2. 바닥이 판판한 컵과 가장자리 굽만 닿는 컵을 비교해, 실제로 젖는 면의 모양이 감속을 얼마나 바꾸는지 확인해 보자.

3. 식용유로 바꿔 보자 — 물보다 점도는 높고 표면장력은 낮아, 점도만으로 설명되지 않는 차이가 드러나는지 볼 수 있다.

4. 아주 세게 돌린 직후 구간만 따로 분석해, 감쇠가 지수보다 빨라지는(관성 효과가 끼어드는) 문턱 각속도가 있는지 찾아보자.

연결 주제

IYPT 2004 문제 7 ‘회전 동전’ — 잦아드는 회전을 고속 영상으로 추적하는 같은 측정법을 쓰되, 거기서는 구름 접촉이, 여기서는 액체 막이 에너지를 삼킨다. IYPT 2018 문제 6 ‘링 오일러’ — 회전축과 링 사이 기름 막의 점성이 운동을 결정하는, 같은 얇은 막 물리의 짝 문제다.

참고문헌

[학생] OpenStax 대학물리 1권 14.7 ‘점성과 난류(Viscosity and Turbulence)’ — 두 판 사이 액체를 전단하는 힘이 점도·넓이·속도에 비례하고 틈 두께에 반비례함을 정리 / 영상 검색어 “Couette flow”, “rotational viscometer” / [심화] O. Reynolds, “On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower’s experiments,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London 177, 157–234 (1886), doi:10.1098/rstl.1886.0005 — 얇은 액체 막이 하중을 떠받치며 점성 저항을 만드는 윤활 이론의 원전(막이 눌려 얇아지는 스퀴즈 흐름 포함) / T. von Kármán, “Über laminare und turbulente Reibung,” ZAMM 1, 233–252 (1921), doi:10.1002/zamm.19210010401 — 깊은 유체 속 회전 원판이 받는 마찰 돌림힘과 경계층 이론(층이 두꺼운 반대 극한) / H. K. Moffatt, “Euler’s disk and its finite-time singularity,” Nature 404, 833–834 (2000), doi:10.1038/35009017 — 도는 원반 아래 얇은 공기 막의 점성 소산이 회전을 유한 시간 안에 멈춰 세운다는 같은 구조의 해석. ※ 컵–액체 막 계를 직접 정량 측정한 논문은 확인하지 못했다. 컵 아래 실제 틈 두께는 부은 층 두께와 같지 않고 무게에 눌려 시간에 따라 얇아진다 — 감쇠율의 시간 변화와 하중 의존이 이 탐구의 개방 지점이다.