자석 위에서 도는 원반이 전기를 만든다 — 단극 발전기

탐구 주제

IYPT 2008 문제 14 ‘Faraday Generator’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2008 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「전기와 자기」(전류의 자기 작용) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(전기 에너지의 생산과 효율)·과학탐구실험1(측정과 오차) / 물리학 「전기와 자기」(전자기 유도) · 진로선택 「전자기와 양자」(로런츠 힘·기전력) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

전자기 유도, 운동 기전력, 로런츠 힘, 자기 선속, 자속 밀도, 단극(homopolar) 발전기, 패러데이 원반, 브러시·미끄럼 접점, 접촉 저항, 내부 저항, 맴돌이 전류, 줄 열, 각속도, 관성 모멘트, 에너지 전환 효율, 패러데이 역설

원리 살펴보기

발전소의 발전기는 코일이 자석 앞을 지날 때마다 전류의 방향이 뒤집혀 교류를 낸다. 그런데 세상에서 가장 먼저 만들어진 발전기 — 1831년 패러데이가 돌린 구리 원반 — 는 정류자가 하나도 없는데 처음부터 한쪽으로만 흐르는 직류를 낸다. 자석 위에 올린 금속 원반을 돌리기만 하면 축과 가장자리 사이에 전압이 생기고, 아무리 빨리 돌려도 그 부호는 바뀌지 않는다. 이 문제는 그 장치를 직접 만들어, 전압이 무엇에 달려 있는지와 넣은 힘이 얼마나 전기로 바뀌는지를 따져 보자는 것이다.

원리는 코일이 아니라 전자 하나에 있다. 원반 속 자유 전하는 원반과 한 몸으로 원운동을 하는데, 자기장 속을 속도 v로 움직이는 전하는 로런츠 힘 qv×B를 받고 그 힘이 반지름 방향을 가리킨다. 전하가 한쪽으로 몰리면 중심과 가장자리 사이에 전위차가 쌓인다. 반지름 r인 곳의 속력은 ωr이므로 중심에서 가장자리까지 이 힘을 더하면(적분) 기전력은 ε = B·ω·R²/2가 된다(자기장이 원반 전체에 고르게 걸릴 때) — 회전이 이어지는 동안 방향이 뒤집힐 일이 없으니 곧 직류다. 다만 원반은 두꺼운 도체 한 덩어리라 저항이 아주 작아서, 이 발전기는 전압은 수 mV로 초라하고 전류는 크게 흐를 수 있는, 아주 치우친 전원이 되고, 회로에서 가장 큰 저항이 원반도 도선도 아닌 브러시의 접촉 저항인 경우가 많다.

이 치우침은 결점이자 쓸모다. 펄스 전원 장치(회전자에 모아 둔 운동 에너지를 짧은 순간에 대전류로 쏟는다), 초전도 선박 추진 전동기(저전압·대전류라는 성질이 초전도 자석과 잘 맞아 시험되어 왔다), 대전류 저항 용접·전기화학 공정(전압은 낮고 전류만 커야 하는 곳), 전자기 유도의 교육 표준 장치로 이어진다.

실험 설계

준비물

두꺼운 알루미늄 또는 구리 원반, 원반을 물릴 축(볼트·황동 봉), 소형 직류 모터나 전동드릴, 강력 네오디뮴 원반 자석 여러 장, 축과 가장자리에 닿을 흑연·구리 브러시와 이를 물릴 거치대, 밀리볼트를 읽는 디지털 멀티미터, 수 Ω급 부하 저항과 니크롬선, 전류계, 포토게이트 회전수계, 스탠드·클램프, 보안경.

변인

독립변인은 원반의 각속도 ω로, 구동 모터에 거는 전압으로 조절한다(한 번에 이 값만 바꾼다). 이어 자속 밀도 B(자석을 겹치는 장수)와 유효 반지름 R(가장자리 브러시를 대는 위치)을 따로 바꾼다. 자석이 원반보다 작으면 자석 바깥에서는 자기장이 되돌아 나가므로, 브러시를 자석 가장자리 밖으로 옮겼을 때도 기전력이 계속 커지는지부터 확인한다. 종속변인은 개방 회로 기전력과, 부하를 걸었을 때의 단자 전압·전류에서 얻는 전기 출력이다. 통제변인은 브러시의 재질과 누르는 힘, 원반의 재질·두께, 자석과 원반 사이의 간격, 축의 정렬과 베어링 상태이다.

실험 순서

1. 원반을 축에 고정해 자석 바로 위에서 돌게 만들고, 축에 한 접점을, 가장자리에는 거치대에 물린 흑연 브러시를 살짝 닿게 해 다른 접점을 만든다. 멀티미터를 mV 범위에 두고 정지 상태에서 0을 확인한 뒤 돌려, 부호가 바뀌지 않는 전압이 나오는지와 회전 방향·자석 극을 뒤집으면 부호가 뒤집히는지를 본다.

2. 구동 모터의 전압을 단계적으로 올리며 회전수를 포토게이트로 재고, 각 회전수에서 개방 회로 기전력을 읽는다. 이어 자석 장수로 B를, 브러시 위치로 R을 바꾸며 되풀이한다.

3. 작은 저항들을 차례로 부하로 걸어 단자 전압 V와 전류 I를 함께 재고, V–I 관계의 기울기에서 내부 저항과 접촉 저항의 합을 얻는다. 브러시 재질과 누르는 힘을 달리해 그중 접촉이 차지하는 몫을 가른다.

4. 기계 입력은 감속법으로 잰다 — 모터를 떼고 같은 각속도에서 부하 유무로 감속을 견주어, 관성 모멘트와 각가속도 차이로 제동 일률을 얻는다. 모터 입력 전력의 차이는 모터 자신의 손실 변화가 섞이므로 어림 교차 확인으로만 쓴다. 효율은 η = 전기 출력 ÷ 기계 입력인데, 마찰까지 포함한 총효율과 부하 차이로 얻는 전기 효율은 자릿수가 다르므로 어느 쪽을 재는지 먼저 정한다. 자석이 원반을 넓게 덮게 해 기전력을 키우고 접점 저항을 낮춰야 감속 차이가 보인다.

안전 안내

강력 네오디뮴 자석은 서로 또는 철붙이에 순식간에 달라붙어 손가락이 끼이고, 부딪히면 깨져 파편이 튄다 — 보안경과 장갑을 쓰고 한 번에 하나씩 다루며 심장 박동기·자기 저장 매체에서 멀리 둔다. 고속으로 도는 금속 원반은 가장자리가 날카롭고 축에서 빠져 날아갈 수 있으니 축을 단단히 고정하고, 드릴은 가장 낮은 단으로만 돌리며, 투명 가림판을 세우고 회전면 옆에는 서지 않는다. 브러시는 손으로 대지 말고 거치대에 물려 고정하며, 브러시·자석·원반을 바꿀 때는 전원을 끄고 완전히 멈춘 뒤에 한다. 자석을 돌리는 실험도 축 한가운데에 물려 최저 단으로만 한다. 자석 위에서 도는 금속 원반은 맴돌이 전류로 자석을 되끌어 돌리므로, 자석도 따로 고정해 딸려 돌거나 튀지 않게 한다. 전동드릴·모터에 머리카락·옷소매·측정선이 말려 들어가지 않게 묶고 걷는다. 저전압·대전류라 단락시키면 브러시와 도선이 순식간에 뜨거워지므로 부하는 반드시 저항을 통해 건다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

원반의 회전수를 두 배로 올리면 기전력도 두 배가 될까, 아니면 그보다 더 빠르게 커질까? 그리고 그렇게 얻은 전기 출력은 원반을 돌리는 데 넣은 기계 일의 몇 퍼센트나 될까 — 아니면 퍼센트로 적기 어려울 만큼 작을까?

자료 정리

각속도 ω를 가로축, 개방 회로 기전력을 세로축으로 찍어 원점을 지나는 직선이 되는지 보고 그 기울기를 B·R²/2와 견준다. 자석 장수를 바꾼 실험은 ε–B로, 브러시 위치를 바꾼 실험은 ε–R² 그래프로 따로 정리한다. 부하 실험은 V–I 그래프로 모아 세로축 절편에서 기전력을, 기울기에서 전체 내부 저항을 읽고, 부하에 대한 출력 P = V·I 곡선에서 최대점을 찾는다. 효율은 회전수에 대한 η 곡선으로 정리한다. (그래프는 축과 개형만 잡고, 실측 전에는 수치를 채우지 않는다.)

결과의 의미

기전력은 ω와 B에 대해 직선으로, 반지름에 대해서는 제곱으로 커지는 경향을 보일 것으로 예상된다. ω와 B의 의존성이 확인되고 반지름 의존성이 자석이 덮는 범위 안에서 성립하면 ε = B·ω·R²/2, 곧 기전력의 근원이 코일의 자속 변화가 아니라 원반 속 전하가 받는 로런츠 힘임이 뒷받침된다. 반대로 효율은 아주 낮게 나올 것으로 예상된다. 기전력이 수 mV대에 머무는 탓에 브러시의 접촉 저항이 회로에서 큰 몫을 차지해 출력의 상당 부분이 접점에서 열로 사라지고, 마찰과 원반 안을 되돌아 흐르는 전류가 여기에 더해지기 때문이다. 전압이 낮은 전원에서는 접촉 저항 하나가 전기 쪽 효율을 지배한다는 것이 이 장치의 진짜 교훈이며, 그래서 실제 단극 기계는 액체 금속 접점이나 초전도 자석 같은 특별한 처방을 쓴다.

더 탐구하기

1. 자석을 원반과 함께 돌려 보자 — 원반만, 자석만, 둘을 함께 돌릴 때의 기전력을 모두 재는 것이다. 자기장이 자석과 함께 도는가를 묻는 190년 묵은 ‘패러데이 역설’이며, 문헌은 자속 규칙도 로런츠 힘 법칙도 실패하지 않는다고 정리하지만(Zengel 2019) 세 경우를 갈라 재는 일 자체가 만만치 않다.

2. 거꾸로 돌려 보자 — 같은 장치에 전지를 물려 단극 모터로 만들고(Chiaverina의 ‘가장 간단한 모터’), 모터로 쓸 때와 발전기로 쓸 때의 효율을 견주어 보자.

3. 원반의 재질(알루미늄·구리·황동)과 두께, 가장자리의 거칠기를 바꾸고 브러시도 흑연·구리로 바꿔 가며 접촉 저항과 효율이 어디까지 달라지는지 보자.

4. 자석을 원반 축에서 한쪽으로 치우치게 놓아 자기장이 축에 대해 비대칭이 되게 한 뒤 브러시 거치대를 둘레의 여러 각도로 옮겨 보자 — Smith가 패러데이의 ‘첫 발전기’에서 다룬 비대칭 배치로, 브러시 위치에 따라 개방 전압이 달라지는지 확인한다.

연결 주제

IYPT 2016 문제 8 ‘자기 기차’와 IYPT 1999 문제 3 ‘마법 모터’는 이 장치를 거꾸로 돌린 쪽 — 전류를 넣어 운동을 얻는 전동기다(자기 기차는 단극 모터의 직선형 사촌이다). IYPT 2014 문제 16 ‘자기 브레이크’는 같은 v×B 유도이지만 도체 안에서 맴돌이 전류가 열로 흩어지는 손실 쪽을 다루는데, 그 손실이 곧 이 발전기의 효율을 깎는 기제다. IYPT 2006 문제 17 ‘자기유체역학’은 도체가 고체 원반이 아니라 액체라는 점이 다를 뿐 뿌리는 같은 로런츠 힘이다.

참고문헌

[학생] K. Zengel, “The handheld and hand-powered homopolar generator,” Phys. Teach. 56(1), 61 (2018) · R. B. Clark, “The Simplest Generator from the Simplest Motor?,” 같은 학술지 44(2), 121 (2006) (단극 모터를 거꾸로 발전기로 쓰기; DOI 10.1119/1.2165447) · C. Chiaverina, “The Simplest Motor?,” 같은 학술지 42(9), 553 (2004) (DOI 10.1119/1.1828728) · 『파인만 물리학 강의』 II권 §17-2 ‘자속 규칙의 예외’(아래 Zengel 2019와 함께 읽는다) / [심화] G. S. Smith, “Faraday’s first dynamo: A retrospective,” Am. J. Phys. 81(12), 907–917 (2013) (첫 원반 발전기의 맴돌이 전류·브러시 위치별 개방 전압; DOI 10.1119/1.4825232) · R. D. Eagleton, “Two laboratory experiments involving the homopolar generator,” Am. J. Phys. 55(7), 621–623 (1987) (기전력 수치 적분과 실측 비교; DOI 10.1119/1.15076) · H. Montgomery, “Current flow patterns in a Faraday disc,” Eur. J. Phys. 25(2), 171–183 (2004) (부하 시 원반 속 전류 흐름; DOI 10.1088/0143-0807/25/2/004) · K. Zengel, “The history of the Faraday paradox of the unipolar generator,” Eur. J. Phys. 40(5), 055202 (2019) (자속 규칙도 로런츠 힘 법칙도 실패하지 않음을 보임; DOI 10.1088/1361-6404/ab2345). ※ 위 문헌들은 기전력과 원반 내부 전류, 역설의 해소를 덮지만, 학교 장비로 수 mV급 전압과 브러시 접촉 저항을 갈라 재고 기계 입력을 산정해 효율을 확정하는 일은 이 탐구의 개방 지점이다.