왜 하나같이 당근 모양일까 — 고드름

탐구 주제

IYPT 1998 문제 17 ‘Icicles’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1998 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「물질의 상태 변화」(응고와 응고열)·「열과 우리 생활」(전도·대류) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」(열의 이동과 에너지 전환) / 진로선택 「역학과 에너지」(열역학·유체의 흐름) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

상태 변화, 응고와 응고 잠열, 과냉각, 열의 이동(전도·대류), 자연 대류 열 경계층, 점성 박막 흐름, 자기 유사 형태, 거듭제곱 법칙, 형태 불안정성, 물결무늬(리플), 이온 불순물, 젖음성

원리 살펴보기

처마에서 물이 뚝뚝 떨어질 뿐인데, 얼음은 왜 아래로 길쭉하게만 자랄까? 열쇠는 물이 얼면서 내놓는 응고 잠열을 어디로 버리느냐다. 흘러내리는 물은 얼음을 두께 수십 μm의 얇은 막으로 덮으며 초당 몇 mm로 미끄러져 내린다. 막 안쪽이 얼며 나온 잠열은 물막을 가로질러 찬 공기로 빠져나가야 하는데, 막이 워낙 얇아 병목은 물이 아니라 얼음을 감싼 공기 쪽 열 경계층에 생긴다. 고드름이 자라는 속도는 물이 얼마나 찬지가 아니라 공기가 열을 얼마나 빨리 실어 가는지가 정하는 셈이다.

고드름 표면은 물막 덕분에 0 °C 근처인데 둘레의 공기는 그보다 더 차다. 그래서 얼음에 닿은 공기는 오히려 데워져 가벼워지고 끝에서부터 위로 떠오르는데, 이 자연 대류 경계층은 끝에서 얇고 위로 갈수록 두꺼워진다. 경계층이 얇은 곳일수록 열이 잘 빠져나가므로 끝에 가까울수록 얼음이 빨리 붙고, 그 결과 원뿔보다 살짝 볼록한 ‘당근 모양’이 저절로 만들어진다. 이론은 끝에서의 거리 ζ와 반지름 ρ 사이에 ρ ∝ ζ^(3/4)라는 거듭제곱 법칙을 내놓는데, 석회동굴 종유석의 형태 법칙과 똑같다 — 물질도 화학도 다른데 형태를 지배하는 수학만 같다. 길이가 느는 방식은 또 달라서, 끝에 매달린 물방울이 바깥부터 얼어 속 빈 얼음관을 남기고 그 관이 이어지며 길어진다. 많은 고드름의 표면에는 파장이 약 1 cm인 규칙적인 가로 물결무늬가 돋고, 그 무늬는 자라는 동안 느리게 위로 기어 올라간다.

같은 물리가 겨울철 안전과 산업 곳곳에 나온다. 항공기·풍력 발전기의 착빙은 특히 과냉각 물방울이 막을 이루며 어는 ‘습식 착빙’에서 고드름과 열전달 구조가 같고, 송전선과 철탑의 결빙은 전선을 무겁게 만들어 정전과 도괴를 부른다. 건물 처마의 아이스댐과 낙빙은 단열이 부실한 지붕에서 녹은 물이 처마 끝에서 다시 얼며 생겨 누수·사고로 이어지고, 제빙·방빙 표면 설계는 물막이 잘 흘러내리거나 붙지 않도록 표면의 젖음성을 조절하는 연구다.

실험 설계

준비물

−10~−15 °C로 맞출 수 있는 냉동고, 스탠드와 끝을 깎은 나무 막대(지지대), 점적 조절기가 달린 수액 세트·가는 실리콘 관과 물통, 보온재, 물받이 트레이, 온도계, 증류수·수돗물·소금과 전자저울, 모눈 배경판과 자, 삼각대와 스마트폰, 방한 장갑.

변인

독립변인은 공급하는 물의 이온 불순물 농도다(증류수 → 소금물 0.002 wt% → 0.01 wt%. 문헌 실험에서는 소금기가 늘수록 축대칭이 점차 무너지고 0.05 wt% 부근을 넘으면 물결무늬의 움직임이 복잡해졌다고 하니 그 아래에 머물고, 수돗물은 녹지 않은 입자가 따로 작용하므로 별도 조건으로 본다). 종속변인은 물결무늬가 생기는지 여부와 그 파장, 무늬가 처음 보이기까지 걸린 시간, 그리고 시간에 따른 고드름의 길이와 굵기이다. 통제변인은 냉동고 온도, 물 공급 유량(분당 방울 수), 지지대의 재질·모양, 물이 떨어지는 지점, 공기 흐름(냉동고 팬·성에 제거가 도는 동안은 기록해 조건으로 함께 적는다), 총 성장 시간, 촬영 조건이다.

실험 순서

1. 냉동고 온도를 −10~−15 °C로 맞추고(문헌의 실험도 이 범위), 안에 스탠드를 세워 끝을 뾰족하게 깎은 나무 막대를 수평으로 고정한다. 아래에 물받이 트레이를, 뒤에는 모눈 배경판을 둔다.

2. 물통을 냉동고 밖 높은 곳에 두고 수액 세트의 가는 관을 문 가스켓 틈으로 넣어 막대 끝 위로 뺀다. 관은 보온재로 감싸고 냉동고 안 구간을 짧게 해 얼지 않게 한 뒤, 점적 조절기로 유량을 분당 20~40 방울(약 1~2 g/min)로 맞춘다. 문헌은 냉장 챔버·연동 펌프·가온 노즐을 썼고 여기서는 냉동고와 점적 장치로 각색했으니, 관이 얼어붙은 회차는 버린다.

3. 증류수로 첫 고드름을 몇 시간에 걸쳐 기른다. 20~30분마다 문을 10초 이내로 열어, 삼각대의 같은 자리에서 모눈 배경과 함께 사진을 찍고 그때의 내부 온도를 적는다.

4. 온도·유량·공기 흐름을 그대로 둔 채 공급수만 바꿔(증류수에 소금 0.002 wt%, 0.01 wt%를 녹인 물, 그리고 별도 조건으로 수돗물) 같은 시간 동안 같은 방식으로 고드름을 기른다. 조건마다 최소 2회 반복한다.

5. 사진에서 전체 길이와 여러 높이의 지름을 재고, 가로 물결무늬가 보이면 마루 사이 간격을 여러 곳에서 잰다. ImageJ 같은 이미지 분석 프로그램을 쓰면 윤곽선 추출이 쉽다.

안전 안내

−15 °C의 금속과 얼음에 맨손이 닿으면 순식간에 들러붙어 저온 화상·동상을 입는다. 반드시 방한 장갑을 끼고 냉동고 안에 오래 머무르지 않는다. 자란 고드름은 부러져 떨어질 수 있으니 아래에 손발을 두지 말고 트레이로 받는다. 녹은 물로 바닥이 미끄러우니 즉시 닦고, 전원선·콘센트에 물이 닿지 않게 하며 젖은 손으로 만지지 않는다. 문틈으로 관을 뺀 동안에는 성에가 끼고 압축기에 무리가 가므로 장시간 무인 가동을 피하고 교사와 함께 진행한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

수돗물 대신 증류수를 흘려 주면 고드름 표면의 규칙적인 물결무늬는 더 뚜렷해질까, 아니면 사라질까?

자료 정리

조건별 길이–시간 그래프의 기울기로 성장 속도를 비교한다. 형태는 윤곽선에서 끝으로부터의 거리 ζ와 반지름 ρ를 재어, 두 축을 로그로 그린 그래프의 기울기가 3/4에 가까운지 확인한다 — 끝의 물방울 구간은 빼고, 끝점 위치를 조금 달리 잡아도 기울기가 유지되는지 보며, 기울기는 고드름 하나가 아니라 반복해 기른 여러 개에서 견준다. 물결무늬는 파장을 여러 개 재어 평균·오차막대로 나타내고, 가로축을 소금 농도로 하여 파장과 ‘무늬가 보이기까지 걸린 시간’을 나란히 그린다. 한쪽 면만 찍으므로 좌우 지름도 재어 비대칭을 기록한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

증류수로 기른 고드름은 표면이 비교적 매끄럽고, 소금을 아주 조금 녹인 물이나 수돗물로 기른 고드름에서 규칙적인 물결무늬가 나타날 것으로 예상된다. 문헌이 보고한 파장 평균은 1.04 ± 0.01 cm였고 기온·유량·공기 흐름을 바꿔도 거의 변하지 않았다. 불순물이 무늬를 만든다는 결과는 얼음이 붙는 방식이 순수한 열전달만으로 정해지지 않는다는 뜻으로 읽힌다. 파장은 농도를 바꿔도 1 cm 부근에서 잘 움직이지 않는다고 보고되었으니 평평한 그래프가 나와도 실패가 아니다 — 농도에 반응하는 쪽은 무늬가 뚜렷해지기까지 걸리는 시간이다. 다만 학교 냉동고는 온도 변동이 커 무늬가 자라기 전에 실험이 끝날 수 있으니, 안 보였다고 없다 단정하지 말고 성장 시간·온도 기록을 함께 제시하자. 3/4 거듭제곱도 끝에서 충분히 떨어진 구간에서만 성립하니, 어디서부터 어긋나는지 밝히는 편이 오히려 좋은 결과다.

더 탐구하기

1. 고드름 주변 공기를 작은 팬으로 저어 보자 — 문헌은 정지한 공기에서 기른 고드름의 끝이 여러 갈래로 갈라지는 경향을 보고했다.

2. 처마를 흉내 낸 긴 막대에 고드름 여러 개를 동시에 길러, 일정한 간격으로 늘어서는지 재어 보자.

3. 식용 색소나 형광 잉크를 조금 섞은 물로 길러, 불순물이 얼음 속에 어떤 무늬로 갇히는지 자외선 손전등으로 비춰 보자.

4. 다 자란 고드름을 세로로 쪼개어 속이 빈 관인지, 끝 안쪽에 물이 갇혀 있는지 확인해 보자.

연결 주제

상변화와 잠열, 그리고 얇은 액체막 아래에서 고체가 자라며 스스로 형태를 만드는 현상을 다루는 탐구로 이어진다. 같은 해 문제 10 ‘반복 결빙’과 문제 16 ‘이상한 운동’에, 여기서 익힌 시간 간격 촬영과 윤곽선 분석 방법을 그대로 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] 토론토대 물리학과 ‘The Icicle Atlas’(실험실에서 기른 고드름 237개의 사진·영상·3D 파일을 CC BY 4.0으로 공개) / 영상 검색어 “icicle growth time lapse” / [심화] L. Makkonen, “A model of icicle growth,” J. Glaciol. 34(116), 64–70, 1988 (DOI 10.3189/S0022143000009072; 속 빈 얼음관 모형) · M. B. Short, J. C. Baygents, R. E. Goldstein, “A free-boundary theory for the shape of the ideal dripping icicle,” Phys. Fluids 18(8), 083101, 2006 (DOI 10.1063/1.2335152; 병목은 물막이 아니라 공기의 열 경계층, ρ ∝ ζ^(3/4)) · K. Ueno, “Characteristics of the wavelength of ripples on icicles,” Phys. Fluids 19(9), 093602, 2007 (DOI 10.1063/1.2775484; 파장이 유량·굵기·기온에 둔감함) · A. S.-H. Chen, S. W. Morris, Phys. Rev. E 83, 026307, 2011 (DOI 10.1103/PhysRevE.83.026307) 및 “On the origin and evolution of icicle ripples,” New J. Phys. 15, 103012, 2013 (DOI 10.1088/1367-2630/15/10/103012; 순수한 물에는 무늬가 안 생기고 이온 불순물이 필요, 파장 평균 1.04 ± 0.01 cm) · J. Ladan, S. W. Morris, “Experiments on the dynamic wetting of growing icicles,” New J. Phys. 23, 123017, 2021 (DOI 10.1088/1367-2630/ac3cf4; 물막의 불완전한 젖음). ※ 전체 형태는 이론·실험이 잘 맞지만 물결무늬의 기원은 미해결이다 — 이론은 순수한 물에서도 무늬를 예측하는데 실험은 이온 불순물을 요구하고, 농도 의존성을 설명한 이론이 없다. 파장이 왜 조건과 무관하게 1 cm 부근인지도 개방 지점이다.